矩阵论研究报告

矩阵论在方程解耦及最小二乘法中的应用摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值（也称为固有值）与系统的特征矢量（也称为固有矢量，或者主振型）二者共同来表示的；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，其可以使得耦合方程组解耦。作用于一个n维自由度系统，可以转换到模态坐标下来解耦，确定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下的响应。惯常使用中，将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[1]。

在科学实验和工程计算中，我们希望从给定的数据出发,构造一个近似函数，使数据点均在离曲线的上方或下方不远处，所求的曲线称为拟合曲线，它既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大的波动，更能反映被逼近函数的特性，使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小，这就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[2]，则需要范数的知识。

关键字：模态，方程解耦，最小二乘

一、引言

数学中解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算。通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合。

对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一个次数很高的多项式，比较复杂，而且由于龙格振荡现象，这个高次的插值多项式可能并不接近原函数。最小二乘法在实际工程数据处理中应用广泛，在工程问题中，使用最小二乘法根据两个变量的几组实验数据可

1

2

以轻松的找出这两个变量的函数关系的近似表达式,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势[5]。 二、预备知识 2.1 坐标变换

设

Θ是线性空间上的线性变换，（1

ε，…，n

ε

）和（1ε*，…，n ε*）是Θ的

两组基，Θ在这两个基下的表示矩阵分别为A ，B 则：

Θ（1

ε

，…，n ε）=（1ε，…，n ε）A ；Θ（1ε*，…，n ε*）=（1ε*，…，n ε*）B

设基变换公式为（1ε*，…，n ε*）=（1ε，…，n ε）C ，C 为变换矩阵 则 B=1C AC - 2.2 范数

如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V 的任以向量χ，对应于一个实数函数

χ

，它满足如下三个条件。 i. 非负性当0χ≠时0

χ>；当0χ=时，0

χ=；

ii. 齐次性

,a a V

χχχ=∈；

iii.

三角不等式

,,V

χζχζχζ+≤+∈；则称

χ

为V 上χ的范数。

可以证明对于向量12(,,,)n χξξξ= 的长度2

2

2

12n

χξξξ=+++ 是一种

范数，我们称为2-范数，记为

2

χ

。

三、坐标变换和2-范数在工程实践中运用 3.1 坐标变换在多自由度振动系统解耦中的运用

3

3.1.1 多自由度系统运动方程描述

多自由度系统一般运动方程0KX X

M =+ n R ∈X ,M 为质量矩阵，K 为刚度矩阵，M 、K n n R ?∈且都为正定矩阵。

振动响应：)sin(?ω+=t φX 代入运动方程：0)(2=-φM K ω

φ有非零解的充分必要条件：0M K =-2ω （3-1）

得到特征多项式22(1)2110n n n n a a a ωωω--++++= 得出每一阶固有圆频率i ωi=1,2…..n

其中：ω为特征值（固有频率），φ为特征向量（模态）。

推出2()()i i ω-=K M 0φ （3-2）

()i φ描述了系统做第i 阶主振动时具有的振动形态，称为第i 阶主振型，或第i 阶

模态。

3.1.2 模态关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性 由（3-2）式，得：

转置后右乘()j φ()()i T j K φφ=2()()i T i i ωM φφ

左乘()i T φ()()i T j K φφ=2()()i T i j

ωM φφ 两式相减：（2i ω-2j ω）

()()i T i M φφ=0 恒成立 （3-3）

当i j ≠时， i j ωω≠

()()0i T j =M φφ模态关于质量矩阵正交，()()0i T j =K φφ模态关于刚度矩阵正交

当i ＝j 时

()()i T i pi m =M φφpi m 第i 阶模态主质量，()()i T i pi k =K φφpi k 第i 阶模态主刚度，其

中()i φ为第i 阶主模态。

()

2

()

()2()i i i

j j j ωω?=??=??K M K M φφ

φφ

3.1.3 运动方程的解耦

将()(1~)i i n =φ组成矩阵(1)()[]n =Φ φφn n R ?∈,Φ称为模态矩阵。分别对M 、K 处理，得以下等式

(1)()(1)()[][]

T n T n =ΦM ΦM φφφφ(1)(1)()()[]T n n T ????=??????M φφφφ(1)(1)()()[]T n n T ????=??????M M φφφφ(1)(1)(1)()()(1)()()T T n n T n T n ????=??????M M M M φφφφφφφφ100

p pn m m ????=?????? （3-4）

(1)()(1)()[]K[]

T n T n K =ΦΦ φφφφ(1)(1)()()[]T n n T K ????=?????? φφφφ(1)(1)()()[]T n n T K K ????=?????? φφφφ(1)(1)(1)()()(1)()()T T n n T n T n ????=?????? φK φφK φφK φφK φ100

p pn k k ????=?????? （3-5）

即11(,,)(,,)T p pn p T p pn p diag m m diag k k ?==??==??

ΦM ΦM ΦK ΦK p M 为主质量矩阵，p K 为主刚度矩阵

坐标变换：Y =X Φ则运动方程0KX X

M =+ 变为 0T T +=ΦM ΦY

ΦK ΦY （3-6）

0P P

+=M Y K Y （3-7）

5

在主坐标下成为n 个独立的单自由度运动方程，可见实现了解耦，展开写即：

11110p p m y k y ??

+=， 第1阶固有频率

1ω=

22220p p m y k y ??

+= 第2阶固有频率

2ω=

……

第n 阶固有频率

n ω=

3.22-范数在最小二乘问题中的运用 3.2.1 实际问题描述

一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：

表1

水平距离/m 0 250 500 750 1000 高度/m

0 8

15

19

20

我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。 问题：预测该导弹在什么水平距离着地？ 3.2.2直线拟合基本理论

已知数据点()m i y x i i ,,2,1,, =，分布大致为一条直线。作拟合直线

x a a x y 10)(+=，该直线不是通过所有的数据点()i i y x ,，而是使偏差平方和

∑=-+=m i i i y x a a a a F 1

21010)(),(为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为

i i i i y x a a y x y -+=-10)(m i ,,2,1 =根据最小二乘原理，应该取0a 和1a 是),(10a a F 有极小值，故和应满足下列条件：

0pn n pn n m y k y ??

+=

6

???????=-+=??=-+=??∑∑==0

)(2),(0)(2)

,(1101

101100

10i

m

i i i m

i i i x y x a a a a a F y x a a a

a a F （3-8） 即得如下正规方程：

???????

=+=+∑∑∑∑∑=====m

i i i m i m i i i m i i m i i y x x a x a

y x a m a 11

10211

110 （3-9） 3.2.3 多项式拟合基本理论

有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线，这时仍用直线拟合显然是不合适的，可用多项式拟合[7]。对于给定的一组数据(),,1,2,,i i x y i m = 寻求次数不超过n (n<

()m

n

j i j i i j Q y a x ===-∑∑为最小，由于Q 可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, n)的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。

令0,0,1,2,,k Q k n a ?==? ，得10

()0,0,1,,m n

j k i j i i i j y a x x k n ==-==∑∑ ，即有

0121

011201n i n i i

n i i n i i i

n n n n i i n i i i a m a x a x y a x a x a x x y a x a x a x x y ++?+++=?+++=??

?

?+++=?

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （3-10） 这是关于系数j a 的线性方程组，通常称为正规方程组，有惟一解。 3.2.4 最小二乘问题的数值结果

导弹沿抛物线飞行，设导弹前进方向为x 轴，垂直高度为y 轴，建立直角坐标系。

7

表2

设所求导弹飞行抛物线方程为2012y a a x a x =++ 计算可得：

5

12500i

i x

==∑5

21

1875000

i i x ==∑5

31

1562500000i

i x

==∑

5

412

1 1.382812510

i

i x

==?∑5

1

62

i

i y

==∑5

1

43750i

i i x

y ==∑

5

21

34937500i i

i x

y ==∑

则得到方程组：

01201212

0125250018750006225001875000156250000043750

18750001562500000 1.38281251034937500

a a a a a a a a a ?++=?

++=??++?=? 写成矩阵形式为

0112252500187500062156250000043750250018750003493750018750001562500000 1.382812510a a a ?????? ?????= ????? ?????

??

????? 解之得：0120.22857,0.039829,0.000019429a a a =-==- 平方误差：2*22

[y ]0.457142882m

i i y δ

==-=∑

则所求抛物线方程为：20.228570.0398290.000019429y x x =-+-

i

1 2 3 4 5

i x 0 250 500 750 1000 i y

0 8

15

19

20

8

再由y=0，得x=2044.233m

即导弹着地时的水平距离约为2044m 。 应用MATLAB 得到图1

图1

程序见附录。

参考资料

[1] 胡海岩. 机械振动与冲击[M]. 航空工业出版社, 2002. [2] 故海岩. 机械振动基础[M]. 北京航空航天大学出版社, 2005. [3] 季文美. 模态分析技术[M]. 科学出版社

, 1985.

[4] 郑兆昌. 机械振动（上册）[M]. 机械工业出版社, 1980.

[5] 许君一. 方向控制最小二乘法理论[M]. 清华大学出版社, 2004.

[6] 李德葆. 实验模态分析与应用[M]. 科学出版社, 2005.

[7] 刘炳涛. 最小二乘法[M]. 测绘出版社, 2001.

附录

clc

clear

x=[0 250 500 750 1000];

y=[0 8 15 19 20];

p=polyfit(x,y,2);

hold on;

plot(x,y,'o')

plot(x,polyval(p,x),'r');

9