福建省养正中学、惠安一中、安溪一中2017届高三上学期期中联考数学(文)试题(附答案)$723419

安溪一中、养正中学、惠安一中2014级高三上学期期中联考试卷

数学（文）试题

命题人:廖全育 审核人:林婉查 周培辉

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有

一项是符合题目要求的．） 1．复数z 满足13i

z i i

+=+，则||z =( ) A

B ．2

C

D

2．下面四个条件中，使a b >成立的充要条件是( ) A ．||||a b > B ．11

a b

> C ．22a b > D ．22a b > 3．已知3cos 25

α=

，则44

sin cos αα-的值为( ) A ．35- B ．15- C ．15 D ．35

4．设函数3log y x =与3y x =-的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是( )

A ．(0,1）

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知,x y 满足0

50210x x y x y ≥??

+-≤??--≤?

，则(01)z mx y m =+<<的最大值

是( )

A ．1- B. 5 C. 7 D. 23m +

7．为了得到??

?

?

?+=3sin πx y 的图象，可将函数x y sin =的图象向左平移1A 个单位长度或者

向右平移2A 个单位长度，1A 和2A 均为正数，则21A A -的最小值为 ( ) A.

34π B.32π C.3

π

D.π2 8．在R 上的函数)(x f 满足：13)2()(=+?x f x f ，若4)3(=f ，则=)2017(f ( ) A.4 B.

4

13

C.26

D.52 9．函数x x x x x f sin cos 2cos sin )(23--+=的最大值等于( ) A.

274 B. 275 C. 13

D. 2716 10．若点M 是ABC ?所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，则MBC ?与ABC ? 的面积比为( )

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

11．在等差数列{}n a 中，若11

10

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，则n = ( )

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

12．已知实数,a b 满足2

25ln 0a a b --=，c R ∈，( )

A ．

12 B C D ． 92 第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知数列{}n a 满足: )

2

111,1n a a +==

,则5a = ．

14. 已知集合{}2

|230A x x x =--≤，集合{}2|log 1B x x =

>，则A

B = 。

15．平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，4AB AD =，点P 在边CD 上，则PA PB 的最大值

是 。

16.已知函数()()2lg ,064,0

x x f x x x x ?-

10f x bf x -+=有8个不

同根，

则实数b 的取值范围是______________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 设p ：关于x 的不等式21

x a a x

+

≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立； q ：关于x 的方程|1|2x x a +-=有实数解。若p q ∧为真，求实数a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）

在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C

所对的边，且222()tan a b c C +-． ⑴ 求角C 的大小；

2

cos cos B B B +的取值范围。

19．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，233=

a ，2

9

3=S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

22

6log +=n n a b ，且{}n b 为递增数列，若1

1

+?=

n n n b b c ，求证：

4

1

321<

+???+++n c c c c ．

20．（本小题满分12分）

某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°（如图），考虑到防洪堤

坚固性及石块用料等因素，

设计其横断面要求面积为平方米，

记防洪

堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）为y （米）。 （1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；

（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰

长x 应在什么范围内?

（3）当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面

的水泥用料最省（即横断面的外周长最小）? 求此时外周长的值。

21.（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-， （1）当1

2

a <

时，讨论函数()f x 的单调性； （2）设2

4()23g x x bx =-+，当13

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,3]x ∈，

使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围。

22．（本小题满分12分）

已知函数()(21)x

f x x e =-，()()

g x ax a a R =-∈.

（1）若()y g x =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；

（2）已知a < 1，若关于x 的不等式()()f x g x <的整数解只有一个x 0， 求实数a 的取值范围.

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数学（文）参考答案

CDACBB ABBACC

13、25 14、(2,3] 15、8 16、17(2,]4

17、解：

对于p ，当(0,)x ∈+∞时，1

2x x

+

≥，当且仅当1x =时取等号，…………………2分 所以22a a ≥-，得12a -≤≤。 …………………………4分

对于q ，由21,1

2|1|1,1x x a x x x -≥?=+-=?

函数21,1

1,

1x x y x -≥?=?

2

a ≥

。 …………………………8分 因为p q ∧为真，等价于p 和q 都为真。

所以1212a a ?

≥

???-≤≤?

， 得 122a ≤≤ …………………………10分

18.【解】⑴

由已知得，222tan 22

a b c C ab +-=

, …………1分

则cos tan C C ? …………2分

∴sin 2

C = …………3分

又锐角△ABC ， ∴C ＝3

π

…………4分

（2

2

cos cos B B B

+1cos 2222

B

B +=

+

1sin(2)62B π=++，………7分

又ABC ?为锐角三角形，且3C π

=7(,)2(,)62626

B B πππππ

∴∈?+∈，………10分 ∴13

sin(2)(0,)622

B π

++∈ …………12分

19．解析：（1）1=q 时，23

=

n a ； ………2分 1≠q 时，得116,2a q ==-，1

)21(6--?=n n a ． ………5分

（2）由题意知：1)21(6--?=n n a ， ∴n

n a )4

1(612?=+．

∴n b n 2=． ………8分 ∴)1

11(41)1(141)22(21+-=+?=+?=

n n n n n n c n ， ………10分

∴4

1)111(41321<+-=

+???+++n c c c c n ． ………12分 考点：1、等比数列通项公式；2、列项相消法求和；3、对数的运算法则．

20．解：（1

）依题意，1

()2

AD BC h =

+， 其中2

2x AD BC BC x

=+=+，h x =

………2分

∴1(22BC x =

+，得182x BC x =-

………3分

由1802h x BC x ?=≥????=->??

， 得26x ≤< ………4分 ∴1832(26)2

x

y BC x x x =+=+≤< ………6分 （2）由18310.52

x y x =

+≤得34x ≤≤ ∴腰长x 的取值范围是[3,4]。 ………9分 （3）1836322

x y x x =

+≥=

当且仅当

1832

x x =

即x =

∴外周长的最小值为x

为 ………12分

21．解：（1）()f x 的定义域为(0,+∞），

2

(1)(1)

'()x ax a f x x

-+-=

………2分 当0a =时，'()0f x >得1x >，∴ ()f x 的递增区间为(1,)+∞

'()0f x <得01x <<，∴ ()f x 的递减区间为(0,1) ………3分

当0a <时，'()0f x >得1x >，∴ ()f x 的递增区间为(1,)+∞

'()0f x <得01x <<，∴ ()f x 的递减区间为(0,1) ………4分

当102a <<

时，'()0f x >得11a x a -<<，∴ ()f x 的递增区间为1(1,

)a

a

- '()0f x <得01x <<或1a x a ->

，∴ ()f x 的递减区间为(0,1)和1(,)a

a

-+∞……6分 （2）当1

3

a =时，由（1）知，()f x 在(0,1)递减，在(1,2)递增

∴min 2

()(1)3

f x f ==- ………8分

依题意有2min 2

()()3

g x f x ≤=-在2[1,3]x ∈有解

22

2

2b x x ?≥+

在2[1,3]x ∈有解

又22

2

x x +

≥

2x ………10分

∴b ≥ ………12分

22．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()e (21)x

f x x '=+，

设切点000(e (21))x x x -，

，则切线的斜率000()e (21)x

f x x '=+， ∴切线为：00000e (21)e (21)()x

x

y x x x x --=+-，

()y g x =∵恒过点(10)，，斜率为a ，且为()y f x =的一条切线，

000000e (21)e (21)(1)x x x x x --=+-∴，

03

02

x =∴或，由00

e (21)=+x a x ，

得1=a 或32

4e =a …………………………4分

（Ⅱ）令()e (21)x

F x x ax a =--+，x ∈R ，()e

(21)x

F x x a '=+-，

当0x ≥时，e 1x ∵≥，211x +≥，e (21)1x

x +∴≥

，

又1a <，()0F x '>∴，()(0)F x +∞∴在，上递增，

(0)10=-+，

则存在唯一的整数00x =使得0()0F x <，即00()()f x g x <； ……………6分 当0x <时，为满足题意，()(0)F x -∞在，上不存在整数使()0F x <，

即()(1]F x -∞-在，上不存在整数使()0F x <，

1x -∵≤，e (21)0x x +<∴， …………………………8分

①当01a <≤时，()0F x '<，()(1]F x -∞-∴在，上递减，

∴当1x -≤时，3()(1)20e F x F a -=-+≥≥，得3

2e a ≥，

3

12e

a <∴

≤； …………………………10分

②当0a <时，3

(1)20e

F a -=-+<，不符合题意．…………………………11分

综上所述，

3

12e

a <≤． …………………………12分