不等式经典题型专题练习含答案
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不等式经典题型专题练习（含答案）
姓名：__________ 班级：___________
一、解答题
1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 2
5233x x
-+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集．
2．若不等式组21
{ 23x a x b -<->的解集为-1 3．已知关于x ，y 的方程组???=+=+31 35y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 4．由方程组 21 2 x y x y a += ? ? -= ? 得到的x、y的值都不大于1，求a的取值范围． 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取 值范围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组{x?a≥0 3?2x>?1的整数解共有5个，求a的取值范围． 3/ 14 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值范围. 10．解不等式组 5134 1 2 2 x x x x ->- ? ? ? -- ??≤ 并求它的整数解的和． 11．已知x，y均为负数且满足： 23 2 x y m x y m +=- ? ? -= ? ① ② ，求m的取值范围． 5 / 14 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225x y m x y m +=+??-=-? 的解是一对正数，则： （1）求m 的取值范围 （2）化简：42 m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 16．某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，如果全住一楼，若按每间4人安排，则房间不够；若按每间5人安排，则有的房间住不满5人．如果全住在二楼，若按每间3人安排，则房间不够；若按每间4人安排，则有的房间住不满4人，试求该宾馆一楼有多少间客房? 17．3个小组计划在10天内生产500件产品（计划生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产一件产品，就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多少件产品？ 18．学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满；则学校有多少间宿舍，七年级一班有多少名女生？ 19．为了参加2011年西安世界园艺博览会，某公司用几辆载重为8吨的汽车运送一批参展货物．若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满．请问：共有多少辆汽车运货？ 20．某校选派一部分学生参加“六盘水市马拉松比赛”，要为每位参赛学生购买一顶帽子．商场规定：凡一次性购买200顶或200顶以上，可按批发价付款；购买200顶以下只能按零售价付款．如果为每位参赛学生购买1顶，那么只能按零售价付款，需用900元；如果多购买45顶，那么可以按批发价付款，同样需用900元．问： （1）参赛学生人数x在什么范围内？ （2）若按批发价购买15顶与按零售价购买12顶的款相同，那么参赛学生人数x是多少？ 21．实验中学为了鼓励同学们参加体育锻炼，决定为每个班级配备排球或足球一个，已知一个排球和两个足球需要140元，两个排球和一个足球需要230元． （1）求排球和足球的单价． （2）全校共有50个班，学校准备拿出不超过2400元购买这批排球和足球，并且要保 7/ 14 证排球的数量不超过足球数量的3 7，问：学校共有几种购买方案？哪种购买方案总费用 最低？ 22．5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨． （1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案； （2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率． 23．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 24．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元． （1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ （3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a＞0），市政府如何确定方案才能使费用最少？ 9/ 14 25．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力 也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次1 2．已 知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为a cm，求a的取值范围． 26．关于x的不等式组： 4 1 {32 x x x a + >+ -< ， （1）当a=3时，解这个不等式组；（2）若不等式组的解集是x（1，求a的值. 11 / 14 27．某房地产开发公司计划建A （B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房的成本和售价如表： （1）该公司对这两种户型住房有哪几种方案？ （2）该公司如何建房获利利润最大？ （3（根据市场调查（每套B 型住房的售价不会改变（每套A 型住房的售价将会提高a 万元(0)a ，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 不等式与不等式组专题复习 (一)不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。 例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 例1.判断下列数中哪些是不等式 的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法 知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（ ） 5032 >x 0-1-2 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。 （1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。 （2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C． 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 11 22-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 均值不等式的常见题型 一基本习题 2、已知正数a,b 满足ab=4，那么2a+3b 的最小值为() A10B12C43D46 3、已知a ＞0,b ＞0，a+b=1则 b a 11+的取值范围是() A(2,+∞)B[2,+∞)C(4,+∞)D[4,+∞) 4、设x,y 为正数，(x+y)( +x 1y 4)的最小值为（） A 6B 9C 12D 15 5、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是() A 4)11)((≥++b a b a B ab ab b a 22 2≥+C 21≥+ab ab D ab b a ab ≤+2 6、设0,0>>b a ，则下列不等式中成立的是（） A 221≥++ab b a B 4)11)((≥++b a b a C b a ab b a +≥+22D ab b a ab >+2 8、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是() A0个B1个C2个D3个 9、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是（） A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞- 二有关范围问题 1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是. 以及b a +的取值范围. 2、已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值. 3、已知0,0x y >>且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是——————————。 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为． 14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案． 祖π数学新人教七年级下册之高分速成 1 【题型1】列不等式用不等式表示: (1)x的2 3 与5的差小于1: ;(2)y的9倍与b的 1 3 的和是负数: . (3)x的1 7 与9的倒数的和大于y的15%:____________________________. (4)a的30%与a的和大于a的2倍与10的差:_____________________________. 【变式训练】 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 4.用不等式表示 (1)x的2倍与5的差不大于1 ； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5 ； (4)a的20%与a的和大于a的3倍 . 5.用不等式表示 (1)a比6小__________; (2)x与1的和大于2___________; (3)a的2倍小于b__________; (4)m的相反数是正数___________; (5)x的4倍与7的差大于3___________; (6)a、b两数的平方和大于4__________; （7） m不大于－5 ; （8） x的4倍大于3 . 6.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x、?y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________. 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1； 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a － b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、a b > C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞ 0 1.与2x <6不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析 （1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ 3-a b ，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x － 41141+ 均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 不等式与不等式组专题 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( D )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人 分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( B )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤不等式经典题型专题练习(含答案)-
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