能级简并度
讨论：
1、能级的简并度 对能级2
022n
a e
E n -
=，n 为主量子数。
及波函数),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。 由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r
而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即
l l l m ----=,,2,1,0,,1,
即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为
2
1
2
1
)12(1)32()12()12(n n n n n l n l =?+-=
++-+-=+∑-= (等差数列)
能级E n 的简并度为21
)12(n l n l =+∑-=
比起一般中心力场的简并度2l +1要高。
一般中心力场粒子的能级l n r
E 依赖于量子数r n 和l
但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1
故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。所以库仑场具有更高的对称性。 （对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是r
r V 1)(∝导致的。
2、径向位置几率分布
态),,(?θψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为
r r r r r R r r nl nl nlm
d )]([d )]([d d ||2
2222χψ
==Ω?
两个等号分别对应：角向部分积分掉，r
r r R nl nl )
()(χ=
)(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r
其中n r =0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时2
1,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为
a n r n 2
=， ,3,2,1=n
n r 称为最可几半径。
如a
r e
r a
/223
2
104||-=
χ的极大位置由
0||d d 2
10=χr
确定。
且a r =（玻尔半径）为最小半径，与旧量子论一致，见图
基态： n =1, l = 0 o
22
01A 529.0π4≈=
me
h r ε—玻尔半径
电子出现在 r = r 1 的单位厚度球壳层内的概率最大
3、几率密度分布随角度的变化
态),,(?θψr nlm 中，在),(?θ方向的立体角元Ωd 中找到电子的几率为 ()Ω→Ω??
?????????∞d |)(cos |d ),(d 2
2220θ?θm l
l lm nl P Y r r r R 利用了1||2
=±?
im e
。
显然，几率沿z 轴旋转对称。
因为L z 是守恒量，故可以用通过z 轴的任意平面的曲线描述几率分布随θ角的变化。如
π
41||2
00=
Y θ2210cos π
43||=
Y θ2
2
11s i n π
83||=
±Y
s 电子 p 电子
4、电流分布与磁矩 由几率流密度分布表达式
)(2**nlm nlm nlm nlm i j ψψψψμ
?-?-=
（表示单位时间通过某一截面的粒子数） 可得电子的电流密度（电子荷电量-e)
)(2**nlm nlm nlm nlm ie j ψψψψμ
?-?-=
利用球坐标中
?
θθ
?θ??
+??+??=?sin 1?1??r e
r e
r
e
r
容易求出j
的各分量
对)(2*
*nlm nlm nlm nlm ie j ψψψψμ
?-?-= ，
考虑到波函数中含r 部分)(r R nl 为实，含θ部分是)(cos θm
l P 亦为实。
所以括号内对r ，θ来说两项相同，即，
0==θj j r
但)(sin 1
2*
*
nlm nlm
nlm nlm
r ie j ψ?
ψψ?
ψθ
μ???-??=
，且
?
?
?
im im ime
e
=??)(，
22
||sin 1||2sin 1
2nlm
nlm
r m e im r ie j ψ
θ
μ
ψ
θ
μ??-
=?=
∴
?j 是绕z 轴的环电流密度。见图。
通过d σ的电流元为
σ?d d j I =
对磁矩的贡献为c I S M /d d z =
（光速c 是由高斯单位制所带来的常数） 其中2)sin (θπr S =是环面积。 因此总磁矩为
????-
=-=?=
=τ
ψ
μσθπψμσ
θπ?d ||2d sin 2||2d sin 1d 122
2
2z
nlm
nlm
c
m e r c m e j r c
I S c
M
其中σθπτd sin 2d r =是细环的体积元。 利用归一化条件后有
m c
m e M
B μμ-=-
=2z
其中c
e B μμ2 =
为Bohr 磁子。
注意：M z 是很重要的，因为M z B 是相互作用能以后经常碰到。 可见，磁矩与m 有关，m 称之为磁量子数。 对s 态，l=0，m=0，故磁矩为0，电流为0。 另外，由上式可知
c
e m M μ2z -
=
m 为轨道角动量的z 分量。
上式比值称为回转磁比值或g 因子。
取
c
e μ2为单位，则g 因子为－1。
5、类氢离子
类氢离子，如+H e ，++Li ，+
++B e
共同特点：原子实+一个核外电子 上述结果也都适用。只需 ①核电荷+e→+Ze 或e 2→+Ze 2 ②约化质量μ→相应的约化质量 比如对能级公式
2
2
42n
e
E n μ-
=→2
2
242n
Z e E n μ-
=
作业：p189， 1，3，4 §4 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V (r )中运动
2
22
1)(r r V μω=
ω是刻画势阱强度的参量。 径向方程为
0)1(21(2222
2222
=??
????+--++
l l
l R r l l r E dr dR r dr
R d μωμ 仍然采用自然单位来化简方程。 令1===ωμ ，则径向方程
0)1(21(22222222
=??
????+--++
l l
l R r l l r E dr dR r dr
R d μωμ 化为
0)1(2222
22
=??
????+--++
l l
l R r l l r E dr dR r dr
R d 上式出现两个奇点：r =0为正则奇点；r =∞为非正则奇点。必须把奇异性分离出来。 r =0时径向方程
0)1(2222
2
2
=??
????+--++
l l
l R r l l r E dr dR r dr
R d 可写为0)1(22
=+-
'+
''l l l R r
l l R r
R ，
R l (r )有两个解：l l r r R ~)(，)1(+-l r 。
但因0≥l ，解)1(+-l r 不满足波函数在r =0处的有界条件， 因此，只能取l l r R ~，)0~(r
r →∞时，方程近似化为
02
2
2
=-l l R r dr
R d ，
其渐近行为是2
21~r
l e
R ±。
但2
2
1
~r
l e R 不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），故弃之
因此，只能取有界解2
2
1~r l e R -，)(∞→r 。
这样方程的解可表为
)()(2
2
1r u e
r r R r
l
l -
=
将式)()(2
2
1r u e
r r R r
l
l -
=代入方程 0)1(2222
22
=??
????+--++
l l
l R r l l r E dr dR r dr
R d 可知u (r )满足
0)]32(2[)
1(22
2
2
=+-+-++
u l E dr
du r l r
dr
u d
令2
r =ξ通过复合函数求导，上式化为
022/32)23(22
=??
?
??+-+??????-++u l E d du l d u d ξξξ
ξ
这是合流超几何方程，相应参数为
)2
3(21E l -+
=
α，2
3+
=l γ
方程有两个线性独立的解
),,(~1ξγαF u
),2,1(~12ξγγαξ
γ
-+--F u
由于0→r 时，∞→---121~l r γξ，故有界解为
],23),2
3(21[
),,(~ξξγα+
-+
=l E l F F u
但前已经证明，∞→ξ时，ξξγαe F ~),,(。
不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式，即α=0或负整数。
即r n E l -=-+
=2/)2
3(α， ,2,1,0=r n
加上能量的自然单位，得
ω )2
32(+
+=l n E r ， ,2,1,0=r n
令l n N r +=2，则
ω )2
3(+
==N E E N ， 2,1,0=N
加上长度单位μω
α
=
-1（r
1∝
，非整数参数）
可得相应的波函数为三项之积。
??
?
??+--222
1,23,)(~)(22r l n F e
r r R r r l
l n r ααα
归一化后得
???
??+-??????????+++=--+222121
2
22
3,23,)(]!)!12[(!!)!122(2)(2
2r l n F e r l n n l r R r r l r r n l l n r
r ααπα
α 此时?∞
=0
221)]([dr r r R l n r
。
n r 表示径向波函数的节点数。 N r =0，1，2的径向波函数分别为
2
22
121
2
2
30)(!)!12(2r l l l e
r l R ααπα
-+??
????+=
??? ??-+???
?
?????+=-+222
1
21
3
231232)(!)!32(22
2r l e r l R r l l l
ααπαα ??? ??++-++??
?
????+=-+44222
121
3
2
32)52(4)52)(32()(!)!52(22
2r r l l l e r l R r l l l αααπα
α 知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为
),()(),,(?θ?θψlm l n lm
n
Y r R r r r =
讨论： 1、能级简并度
ω )2
3(+
==N E E N ， 2,1,0=N
能级也是等间距的。
但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。 这表现在N E E =，l n N r +=2。
同一个N ，可有不同的n r ，l ，这是V(r) ∝r 2的结果。 对于给定的E N 或N ，n r =0,1,2,…(N -1)/2或N /2 1,,4,2,2 --=-=N N N n N l r （N 为奇）
或0（N 为偶） 如N 为偶，能级简并度（包括角向部分）为
)
2)(1(2
1)
12(21)12(1
2951)12(,,2,0++=
+++=+++++=+∑=N N N N N
l N
l
如N 为奇，能级简并度为
)
2)(1(2
1)121
(23)12(1
273)12(,,3,1++=
+-++=++++=+∑=N N N N N
l N
l
可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度。
这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要高。 比如1
2
->>r r r S S S 。
2、在直角坐标系中求解
三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相同。 体系的哈密顿算符为
()
)(2
1???21?2222222z y x p
p p H z y x +++++=μωμ Schr?dinger 方程为
()
),,(),,()(21???212222222z y x E z y x z y x p p p z y x ψψμωμ=??
??
??+++++ 用分离变量法，哈密顿算符可写为
z
y x H H H H ????++= 其中2222
1?21?i i i x p H μωμ+=，),,(3,2,1z y x i =。 令)()()(),,(z y x z y x z y x z
y x n n n n n n
ψψψψ=，相应的本征能量为
z y x z y x n n n n n n E E E E ++=
其中
?
?
??
?
????
=??? ?
?
+==??? ??
+==??? ??
+= ,2,1,021,2,1,021,2,1,021z z n y y n x x n n n E n n E n n E z y x ω
ω
ω
则
ω ??? ?
?
+=++=23N E E E E z y x n n n N
其中
z y x n n n N ++=，),2,1,0( =N
能级简并度：
由上式可以看出，满足z y x n n n N ++=的x n ，y n ，z n 的值事实上不止一组，这意味着三维谐振子的能级具有简并特点。
对于给定N ，利用z y x n n n N ++=有
N N n x ,1,...,2,1,0-= 0,1...,,2,1,--=+N N N n n z y
则(n x , n y )可能取值的数目(注意ny 取值的个数)
1,2...,,1,,1-+N N N
即当N 给定时, n x 可取0,1,2,…,N 等N +1个值。
当n x 固定时，n y 有0，1，2，…，x n N -等1+-x n N 个取法。 n x ,n y 都取定后,n z 只有一种取法,即y x z n n N n --=。
所以),,(z y x n n n 可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为
2
)
2)(1()1(2
)
11(1
23)1()1()1(0
++=
+++=
++++-+++=+-=
∑=N N N N N N N n N
f N
n x N x
根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：
对体系的两个彼此不对易的守恒量F 和G ，若ψ是F 和H 的共同本征函数，则G ψ也是H 的本征函数,即体系的能级是简并的，本征值均为E .
因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。 选ψ? 选守恒量完全集 [F ,H ] 选G ψ? 选守恒量完全集 [H ] 这相当于选不同的守恒量完全集 。
在球坐标系中，力学量完全集为H ?，2?L ，z L ?；相应的量子数为r
n ，l ，m 。 其共同本征函数为),,(?θψ
r lm
n r 。
在直角坐标系中，力学量完全集为x
H ?，y H ?，z H ?，相应的量子数为x n ，y n ，z n 。 其共同本征函数为),,(z y x z y x n n n ψ。
对于基态N =0，能级是不简并的，两种守恒量完全集的共同本征态应该相同。 事实上，
2
/4
/32/30
,0,02
2r m l n
e
r
απ
αψ-====
2
3
4
/12/10
,0,02
2
2
2
22z
y x n n n
e z y x
αααπαψ++-===???
? ?
?=
二者显然是相等的。 作业：p190 7
能级简并度
讨论： 1、能级的简并度 对能级2 022n a e E n - =，n 为主量子数。 及波函数),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。 由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r 而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即 l l l m ----=,,2,1,0,,1, 即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为 2 1 2 1 )12(1)32()12()12(n n n n n l n l =?+-= ++-+-=+∑-= (等差数列) 能级E n 的简并度为21 )12(n l n l =+∑-= 比起一般中心力场的简并度2l +1要高。 一般中心力场粒子的能级l n r E 依赖于量子数r n 和l 但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1 故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。所以库仑场具有更高的对称性。 （对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是r r V 1)(∝导致的。 2、径向位置几率分布 态),,(?θψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为 r r r r r R r r nl nl nlm d )]([d )]([d d ||2 2222χψ ==Ω?
两个等号分别对应：角向部分积分掉，r r r R nl nl ) ()(χ= )(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r 其中n r =0称为圆轨道----无节点。 可以证明，此时2 1,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为 a n r n 2 =， ,3,2,1=n n r 称为最可几半径。 如a r e r a /223 2 104||-= χ的极大位置由 0||d d 2 10=χr 确定。 且a r =（玻尔半径）为最小半径，与旧量子论一致，见图 基态： n =1, l = 0 o 22 01A 529.0π4≈= me h r ε—玻尔半径 电子出现在 r = r 1 的单位厚度球壳层内的概率最大 3、几率密度分布随角度的变化 态),,(?θψr nlm 中，在),(?θ方向的立体角元Ωd 中找到电子的几率为 ()Ω→Ω?? ?????????∞d |)(cos |d ),(d 2 2220θ?θm l l lm nl P Y r r r R 利用了1||2 =±? im e 。 显然，几率沿z 轴旋转对称。 因为L z 是守恒量，故可以用通过z 轴的任意平面的曲线描述几率分布随θ角的变化。如
Landua能级
§7.2 Landau 能级 7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正z 轴方向有强度为B 的均匀磁场，一个质量为μ，电荷为q 的带电粒子在XY 平面内运动，初始速度为v ，那么根据电磁学可知，在Lorentz 力q r ?B 的作用下，电子将沿一个园轨道运动，从XY 平面的上方（正z 轴的方向）向下看，0q >时粒子沿顺时针方向运动，0q <时沿逆时针方向运动。设粒子在园轨道上的角速度为c v /R ω=，R 是园的半径，那么它的运动方程是 2c c v ,(v )q B R R μωω== 所以 c .qB ωμ= 这就是说，c ω只取决于粒子的荷质比 (/q μ) 和磁场强度，而与它的速度或轨道半径无关。角频率c ω称为粒子的同步回旋(cyclotron)频率。 7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动 Landau 能级 不难证明强度为B 的均匀磁场的矢量势可以取为 1,2A r =B? 这是因为 ()111()()()(3),222A r r r ??=??B?=B ??-B??=B -B =B 而且 11()()0.22A r r ??=??B ?=-B ???= 如果 ,(0)z e B =B B > 那么， 11,,0,22A y x ??=-B B ??? 设电子在XY 平面内运动，那么它的Hamiltonian 算符是（注意q e =-） 2222222222222L L 1???2221????()()()28211???()(),22 x y x y y x x y z e e H P y P x e e P P x y xP yP P P x y L μμμμ μωωμ??B B ????=-++?? ? ????????? B B =++++-=++++ 其中 L c 122eB ωωμ == 称为拉莫尔(Larmor)频率。 显然，现在的力学量完全集是??{,}z H L ，适合采用平面极坐标系(,)ρ?求解，并可设 i (,)().(0,1,2,)e m R m ?ψρ?ρ==±± 平面极坐标系中的Laplace 算符是 2222222211,x y ρρρ ρ?????≡?+?=++???
基态简并度
简并度取决于粒子有几个自由度，那么一维单粒子基态是非简并的。.. 所谓的基态原子是对于激发态而言的，说的是：核外电子处于能量最低的轨道上，不会出现改变轨道而放出光子的状态。这里说的轨道也是在微观物理里面的定义，和宏观轨道无关。大部分的情况下使用来波尔理论对于氢原子核外电子运动是的波现象。波尔理论也是第一次运用宏观的“轨道”理论揭示微观现象的。当激发态向基态转换的时候会出现光子的现象，其中光子的能量和轨道的转换状态有关，能量为普朗克常数乘以光子频率。而同时轨道是固有不变的，所以能量也是“一份一份”的。 1 原子基态：原子的能量最低状态。处于基态的原子最为稳定。不受外界作用时，原子可无限长时间处于基态，因此原子基态能级的宽度为零。通常在没有外加激发条件下，由于热运动，并非全部原子都处于基态。热平衡时，原子在各能态上的分布遵从玻耳兹曼分布律。在常温下，绝大多数原子处于基态。在外加激发条件下，原子吸收能量跃迁到较高的原子激发态。 2.简并度：在物理学中，简并是指被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细物理状态。例如在量子力学中，原子中的电子，由其能量确定的同一能级状态，可以有两种不同自旋量子数的状态，该能级状态是两种不同的自旋状态的简并态。具有相同能量的粒子可以处在不同的量子态（即不同的波函数），即每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常由好几条非常接近的精细谱线所组成。量子力学中把能级可能有的微观状态称为该能级的简并度，用符号g表示。简并度亦被称为退化度或统计权重。在统计物理学中，宏观上由压强、体积、温度确定的同一宏观热力学状态，在微观上可以对应大量不同的微观状态，该热力学状态是这些微观状态的简并态。 3.氦原子基态简并度1 n=1 l=0 m=0 电子填充第一层s亚层中的轨道，s亚层只有1个轨道，没有其它简并轨道
三维各向异性谐振子的能级简并
各向异性谐振子的能级简并 刘永宏 指导教师：焦志莲 （太原师范学院物理系，太原030031） 【摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各 向异性谐振子的能级简并问题。 【关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。 0. 引 言 各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理。所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。 1. 各向异性谐振子的能级及波函数 1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数 当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在oxy 坐标系中可以表示为 2 22222(,) 112222 y x x y x y P P H x y μωμωμμ=+++ （1） 令 2 2222211,2222 y x x x y y P P H x H y μωμωμμ=+=+ （2） 求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为 ,11 ()()22 x y n n x x y y E n n ωω=+++ （3） ,(,)()()x y x y n n n x n y x y x y ααψ=ψψ （4） 其中，各维波函数为 221 ()exp()(); 0,1,2,2 x n x x x x x x x x N x H x n ααααψ=-= = （5）
第三章 统计热力学
第六章统计热力学 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) (A) 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系； (B) 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系； (C) 统计热力学是热力学的理论基础； (D) 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科。 2. 在统计热力学中，物系的分类常按其组成的粒子能否被辨别来进行，按此原则，下列 说法正确的是：( ) (A) 晶体属离域物系而气体属定域物系；(B) 气体和晶体皆属离域物系； (C) 气体和晶体皆属定域物系；(D) 气体属离域物系而晶体属定域物系。 3. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U，这是因为 所研究的体系是：( ) (A) 体系是封闭的，粒子是独立的；(B) 体系是孤立的，粒子是相依的； (C) 体系是孤立的，粒子是独立的； (D) 体系是封闭的，粒子是相依的。 4. 某种分子的许多可能级是εo、ε1、ε2，简并度为g0 = 1、g1 = 2、g2 = 1。5个可别粒子，按N0 = 2、N1 = 2、N2 = 1的分布方式分配在三个能级上，则该分布方式的样式为：( ) (A) 30 ；(B) 120 ；(C) 480 ；(D) 3 5. 假定某种分子的许可能级是0、ε、2ε和3ε，简并度分别为1、1、2、3。四个这样的 分子构成的定域体系，其总能量为3ε时，体系的微观状态数为：( ) (A) 40 ；(B) 24 ；(C) 20 ；(D) 28 6. 对热力学性质(U、V、N)确定的体系，下面描述中不对的是：( ) (A) 体系中各能级的能量和简并度一定；(B) 体系的微观状态数一定； (C) 体系中粒子在各能级上的分布数一定；(D) 体系的吉布斯自由能一定。 7. 对于定位体系，N个粒子分布方式D所拥有微观状态数W D为：( ) (A) W D = N!πN i g i/N i！；(B) W D = N!πg i Ni/Ni！； (C) W D = N!πg i Ni/Ni；(D) W D = πg i Ni/Ni！。 8. 设一粒子体系由三个线性谐振子组成，体系的能量为(11/2) hν,三个谐振子分别在三 个固定点a、b、c上振动，体系总的微观状态数为：( ) (A) 12 ；(B) 15 ；(C) 9 ；(D) 6 9. 使用麦克斯韦- 玻尔兹曼分布定律，要求粒子数N很大，这是因为在推出该定律时：( ) (A) 假定粒子是可别的；(B) 应用了斯特令近似公式； (C) 忽略了粒子之间的相互作用；(D) 应用拉氏待定乘因子法。 10. 式子∑N i = N和∑N iεi = U的含义是：( ) (A) 表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子平衡体系； (B) 表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子非平衡体系； (C) 表示密闭的独立粒子平衡体系； (D) 表示密闭的非独立粒子平衡体系。 11. 下面关于排列组合和拉格朗日求极值问题的描述正确的是：( ) (A) 排列组合都是对可别粒子而言的，排列考虑顺序，组合不考虑顺序； (B) 排列是对可别粒子而言的，而组合是对不可别粒子而言的； (C) 拉格朗日未定因子法适用于自变量相互独立的多元函数的求极值问题； (D) 拉格朗日未定因子法适用于一定限制条件下的不连续多元函数的求极值问题。 12. 对于玻尔兹曼分布定律n i =（N/Q）·g n·exp(-εi/kT) 的说法：⑴n i是第i能级上的粒 子分布数；⑵随着能级升高，εi增大，n i总是减少的；⑶它只适用于可区分的独立粒子体系；⑷它适用于任何的大量粒子体系。其中正确的是：( ) (A) ⑴⑶；(B) ⑶⑷；(C) ⑴⑵；(D) ⑵⑷
第六章中心力场习题
一． 选择题 37.氢原子的能级为D A.- 222 2e n s μ.B.-μ22222e n s .C.24 2n e s μ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为B A.r r R nl )(2 . B.22 )(r r R nl . C.rdr r R nl )(2 . D. dr r r R nl 2 2 )(. 39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为D A.),(?θlm Y . B. 2 ),(?θlm Y . C. Ωd Y lm ),(?θ. D. Ωd Y lm 2 ),(?θ. 40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F 为厄密算符的定义是C A.ψ φτφψτ * ** F d F d =?? . B.ψφτφψτ * * ( )F d F d =?? . C.( ) **F d F d ψφτψφτ=??. D. ***F d F d ψφτψφτ=? ?. 41. F 和 G 是厄密算符,则D A. FG 必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p i x x =- ? ?,则A A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符. 43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为B A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A A.1212/()/π . B.12/()π . C.1232 /()/π . D.122 /()π 45.角动量Z 分量的归一化本征函数为C A.1 2π? exp() im . B. ) exp(21r k i ?π . C. 1 2π?exp()im . D. )exp(21 r k i ?π. 46.波函数)exp()(cos )1(),(?θ?θim P N Y m l lm m lm -= C A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数. B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数.
高等物化复习题 (2)
高等物化复习题 1 试比较经典热力学与统计热力学在研究内容和方法上的异同。 2量子力学的两个基本假设是什么？=∧ H ，称做 。 3 一（或三）维势箱中自由粒子的定态薛定谔方程及其解是什么，由此得到的结论是什么？ 4一维谐振子的定态薛定谔方程及其解是什么，由此得到的结论是什么？ 5 二体刚性转子的定态薛定谔方程及其解是什么，由此得到的结论是什么 6 设定域子系统只有3个一维谐振子，它们分别在A 、B 、C 三个定点上振动，总能量为92hv （或 112 hv ） 。①该系统可能具有的能级分布方式及根据；② 能级分布与状态分布的关系（设各能级均为非简并能级）并计算各能及分布的微态数和体系总的微态数。 7 气体碰撞理论突出了什么？能定量解释什么？它的局限性是什么？ 8用“势能面”解释基元反应的“详细机理”。 9有人曾测得氯仿的光氯化反应 324hv C H C l C l C C l H C l +?? →+ 的速率方程为[] 4d CCl k dt = 请提出一种可能的反应机理，并验证之。 10 用雅布伦斯基图解释分子的能态及各种光物理过程 11 用驰豫法设计测定一级快速对峙反应动力学方程。 12 如何区分“最概然分布”“平衡分布”及“玻耳兹曼分布”这些概念，它们之间的关系如何？ 13交通灯为什么以红色信号作为禁行信号？ 14 解释晴朗的天空呈现蓝色，晨曦与晚霞呈火红色。 15 溶胶的布朗运动的原因及爱因斯坦布朗运动公式使我们认识到什么。 16在碱性溶液中用H C H O 还原4H A u C l 以制备金溶胶，反应式表示为： O H N a C l N a A u O N a O H H A u C l 224345++?→?+H H C O O N a Au NaOH HCHO NaAuO 2 2 23232++?→?++ ①此处- +2AuO Na 是稳定剂，写出胶团结构式；②已知该金溶胶中含()s Au 微粒的质量 浓度()300.1-?=m kg Au ρ，金原子的半径m r 10 110 46.1-?=， 3 3 103.19-??=m kg ρ，假设每个金的微粒皆为球形，其半径m r 8 210 00.1-?=，试求 （a ）每立方厘米溶胶中含有多少金胶粒；（b ）每个胶粒含有多少金原子。 17 用双电层理论解释动电现象