分形之Julia集及其算法实现
成绩：课程名称：智能信息处理概论
分形之Julia集及其算法实现
摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。
关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现
引言
大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？
正文
分形概述
分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】
两种定义
其一：具有自相似性结构的叫做分形；
其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。
若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。
当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】
特征
1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果；
2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果；
3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复；
4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨
迹；
5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过
递归或者迭代产生的复杂、精细的结构；
6.无确定的标度且具有分数维数。【3】
分数维
拓扑维：又称橡皮几何学。研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，称为拓扑性质。
豪斯道夫维数：1919年提出连续空间的定义：即空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，既可
以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定维数。——分数性质
豪斯道夫维数有三种求解方法：
1.放大求解：豪斯道夫维的几何对象，每个棱边长度放大L倍，几何对象对应放大K倍。那么，由
，可推导出。
2.缩小求解：豪斯道夫维的几何对象，等分成N个小的几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的r维。而N个小图形的总和应为。那么，分维为。
3.测量学求解：对一个体积为A，分维为的几何对象，要用半径为r的小球去测度，则所需小球数目为。其中，C为结构因子。所以分维为。这里的分维也称为科尔莫哥诺夫容量维。
定义容量维为，且其与相一致。
各棱边放大L倍，相应的几何对象体积放大K倍，则所需小球数目应为。
若小球半径r缩小L倍，而A保持不变，则所需小球数目仍应为N’。那么所需小球数目的表达式应
为。
由上述两个式子可得。即可得到结论容量维与豪斯道夫维相一致。【4】
分形举例——Julia集
Julia 集是由法国数学家Gaston Julia 和Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。其也是一个典型的分形，只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学方法描述。
Julia集与Mandelbort集来自于复数非线性映射。通过给定的不同初始值，经过无穷次的迭代产生的分形图集。当C给定初始值，而Z值作为一个变量，通过无数次迭代产生的分形图集称为Julia 集;当Z给定初始值，而C值作为一个变量，通过无数次迭代产生的分形图集称为Mandelbort集。
特点
对于映射而言，若, , 则有二维映射
例如取C=0+0i，则有以下情况发生：
如果，则在复Z平面上迭代结果；那么，零是的吸引子。复平面上所有与该吸引子相距小于1的点，都产生趋向吸引子的序列。
如果，则在复Z平面上迭代结果；那么，无穷是的吸引子。复平面上所有与零点的距离超过1的点，都产生趋向无穷的序列。
如果，则；那么，产生的序列总出现在上面两个吸引区域之间的边界上。此时，边界恰为复平面上的单位圆周，就是Julia集。
然而，当时，其吸引子不再是0，而变为一个区域，被吸进去的点会遍历整个区间，这个区域被称做混沌区。与此同时，分割混沌区和向逃逸的分界线不再是单位圆，而是一个不规则、非光滑的分界线。当C值越来越大时，复平面上甚至会产生几个离散的吸引区域，而每个孤岛的分界线都是不滚则和不光滑的。
Julia集的实际例子是求解三次方程。三个根的Newton迭代法是：
或。上述式子的三个根是1，和，即该式有三个吸引子。那么，从复平面上任何地方的初值开始迭代，最终应该滑到其中的一个吸引子。自然而然，我们所得到的三个吸引区的边界也应该是简单，明显的。然而，绘图时发现，三个扇形区域的边界具有一种特别的性质，即上面的每个点都隔开所有三个区域，形成了一种复杂的边界。当我们把这边界放大时，又会形成自相似的结构。因此，Julia集通常被认为具有分数维结构，并且在这个集上的迭代过程是一种混沌运动。
刚刚，Julia集是在复数平面上考虑的；那么，让我们从复参数平面上进行。此时取定，经过无数次迭代产生的使有界的点集就是Mandelbort集。【5】【6】
逃逸时间算法
Julia集是复数映，当C为某一固定值时的一个吸引域，其中, , 则有二维映射。
从逃逸时间算法的角度看，Julia集的内部收敛于某一点或某几个点，而Julia集的外部随着逃逸时间t 的增加将发散至，其逃逸边界便是Julia集。
我们可以根据点逃向的速度决定逃逸区中个点的着色。
设计思路：
假设绘图窗口的图形分辨率是点，可显示颜色K+1种，以数字0~K表示，且0表示黑色。
1.选定参数，, M=100 ; 令,
, 对所有的点, 及，完成如下步骤的循环。
2.令, , t=0。
3.根据下式的迭代过程从算出，计数t=t+1。
4.计算：
如果, 则选择颜色t，转至步骤5；
如果, 则选择颜色0（黑色），转至步骤5；
如果且则转至步骤5。
5.对点着颜色t并转至下一点，再从头做步骤5。【7】【8】
程序设计：
CJuliaView: :CJuliaView()
{
//TODO: : add construction code here
K=100;//逃逸时间
m=500;//逃逸半径
Mx=800; My=600;//绘图范围
xs= -1.5;
x1= 1.5;
ys= -1.5;
y1= 1.5;
//复平面上C的坐标
p=0.32;
q=0.043;
}
void CJuliaview: :OnDraw(CDC* pDC) {
CJuliaDoc* pDoc = GetDocument(); ASSERT_V ALID(pDoc);
// TODO: add draw code for native data here
xb=(x1-xs)/Mx;
yb=(y1-ys)/My;
for(nx=0;nx<=Mx;nx++)
{
for(ny=0;ny<=My;ny++)
{
x0=xs+nx*xb;
y0=ys+ny*yb;
k=0;
loop1:
xk=x0*x0-y0*y0+p;
yk=2*x0*y0+q;
k=k+1;
r=xk*xk+yk*yk;
x0=xk;
y0=yk;
if(r>m)
{
H=k;
goto loop2;
}
If(k==K)
{
H=int(r*10);
goto loop2;
}
If(r<=m&&k goto loop1; loop2: pDC->SetPixel(nx,ny,H*1000); } } } 在Julia View.h文件夹定义变量如下：public: double x1,xs; double y1,ys; double x0,y0; double xb,yb; double xk,yk; double r; double p,q; int H,K,k,m; int Mx,My; int nx,ny; c =0.194-0.6557i c =0.31+0.04i c =-1.25 c =-0.12+0.74i 复平面上的IFS算法： 相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换，仿射变换是指在不同方向上变化的比率可以不同的一种比例变换。相似变换可放大或缩小甚至旋转，但不变形；而仿射变换可能会变形。 仿射变换的数学表达式为其中，代表仿射变换，x和y 是变换前图形的坐标值， 和是变换后的图形的坐标值；a, b, c, d, e, f 是仿射变换系数。 对于一个比较复杂的图形，可能需要多个不同的仿射变换来实现，放射变换族控制着图形的结构和形状，由于仿射变换的形式是相同的，所以不同的形状取决于仿射变换的系数。另外，仿射变换族 中，每一个仿射变换被调用的概率是不一定等同的，也就是说，落入图形各部分中点的数目是不一定相同，这就引入了一个新的量，即仿射变换被调用的概率P。从而，6个仿射变换系数（a, b, c, d, e, f）和一个概率（P）便组成了IFS算法最关键的部分——IFS码。 设计思路： 对于复映射，设为给定点，我们寻找Z 使得，由此给出两个反函数，即和。 则可以将看成是一个IFS ，然后取概率, 分别画。具体步骤如下： 1.当k=0(k为迭代的次数)时，压栈，画点Z0； 2.从栈顶取一点（Z，k）； 3. 根据概率，分别计算和，画点，将压 栈，令； 4.重复步骤3直至； 5.画点和； 6.判断栈是否为空，若栈空，则停止，否则重复2~6 。【9】【10】程序设计： ///CJULIA View drawing void CJULIAView: :OnDraw(CDC* pDC) { CJULIADoc* pDoc = GetDocument(); ASSERT_V ALID(pDoc); //TODO: add draw code for native data here float k; for(i=0;i<32000;i++) { m=(int)(2000/15*x+3500/15); n=(int)(2000/15*y+3000/15); if(i>10) //CClientDC pDC(this); pDC->SetPixel(m,n,m_pColor); wx=x-cx; wy=y-cy; if(wx>0) theta=atan(wy/wx); if(wx<0) theta=PI+atan(wy/wx); if(wx==0) theta=PI/2; theta=theta/2; r=sqrt(wx*wx+wy*wy); k=(float)rand(); rnd=(float)(k/RAND_MAX); if(rnd<0.5) r=sqrt(r); else r=-sqrt(r); x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); } ///CJULIAView message handlers void CJULIAView: :OnParamSet() { //TODO: Add your command handler code here CCsetPara dlg; cx=dlg.m_cx; cy=dlg.m_cy; x=dlg.m_x; y=dlg.m_y; } Invalidate(); } 结论 分形是一种由简单的直线或者方程通过无穷次简单的迭代形式而产生的具有无比精细的结构，这个过程又称之为混沌。其两者是密不可分的。 分形理论表现出两个重要原则——自相似原则和迭代生成原则。而这两种原则正是分形算法实现的重要依据。 自然界的奥秘是无穷的，它还有许许多多的分形结构等着我们去探索、去发现。我们一定不能放慢脚步，要勇于创新，把大自然留给我们的宝藏发掘出来，为之己用！ 参考文献 [1]作者：孙博文；书名[M]：分形算法与程序设计——Visual C++实现；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：2004年11月；起止页码：1-1. [2]作者：林鸿溢、李映雪；书名[M]：分形论——奇异性探索；版本：第一版；出版地：北京；出版者：北京理工大学出版社；出版年：1992年9月；起止页码：62-63. [3]作者：孙博文；书名[M]：分形算法与程序设计——Visual C++实现；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：2004年11月；起止页码：2-4. [4]作者：林鸿溢、李映雪；书名[M]：分形论——奇异性探索；版本：第一版；出版地：北京；出版者：北京理工大学出版社；出版年：1992年9月；起止页码：54-57. [5]作者：刘式达，刘式适；书名[M]：分形和分维引论；版本：第一版；出版地：北京；出版者：气象出版社；出版年：1993年9月；起止页码：44-48. [6]作者：齐东旭；书名[M]：分形及其计算机生成；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：1994年11月；起止页码：24-26. [7]作者：齐东旭；书名[M]：分形及其计算机生成；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：1994年11月；起止页码：26-30. [8]作者：孙博文；书名[M]：分形算法与程序设计——Visual C++实现；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：2004年11月；起止页码：113-114. [9]作者：齐东旭；书名[M]：分形及其计算机生成；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：1994年11月；起止页码：55-62. [10]作者：孙博文；书名[M]：分形算法与程序设计——Visual C++实现；版本：第一版；出版地：北京；出版者：科学出版社；出版年：2004年11月；起止页码：105-105. 经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。 基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形 如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一 分形维数算法． 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形， 如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 -D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： 1-D（2-22）L=Nλ～λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3． ）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比， 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测 几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线: 分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是 分形维数算法 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。 %这是一个生成树的主函数，它的输入分别为每叉树枝的缩短比、树枝的偏角、生长次数. %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %%小提示：若用做函数，请将虚线框内语句删去。 function f=tree(w,dtheata,NN) %%%--------------------虚线框--------------------%%% clear;clc;clf;w=0.8;dtheata=pi/6;NN=8;%建议生长次数NN不要超过10 %%%--------------------虚线框--------------------%%% n=2^NN;%从主枝算起，共需生成2^NN个树枝 for NNK=1:n x1=0; y1=0; r1=1; theata1=pi/2; dataway=ten2twoN(NNK,NN); %把每一个树枝的编号转化为一个NN位的二进制数 for NNL=1:NN if dataway(NNL)==0 [x2,y2,r2,theata2]=antmoveleft(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%若路径数组上对应的数字为0，则向左生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) else [x2,y2,r2,theata2]=antmoveright(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%否则，数字为1，向右生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) end end end hold off %-------------------------------------------------------------------------- 《分形算法与应用》教学大纲 1 课程的基本描述 课程名称：分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号：5301A36 课程性质：专业课适用专业：计算机专业 教材选用：孙博文编著，《分形算法与程序设计》，科学出版社，2004.11 总学时：32学时理论学时：32学时 实验学时：0学时课程设计：无 学分：2学分开课学期：第七学期 前导课程：算法分析 后续课程：毕业设计 2 教学定位 2.1 能力培养目标 通过本课程的学习，培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力，以及算法设计与分析能力，程序设计和实现能力。一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法，以便实现对不规则对象的算法设计。另一方面，学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。 2.2 课程的主要特点 本课程是一门重要的专业课，有理论性、设计性与实践性的特点。介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。不仅为后续专业课提供了必要的知识基础，也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。 2.3 教学定位 通过本课程的学习，使学生达到知识和技能两方面的目标： 1．知识方面：从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度，系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法，了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案，不同运算实现的原则和方法。 2．技能方面：系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想，从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧，使分析问题和解决问题的能力得到提高。 3 知识点与学时分配 3.1掌握分形的基本概念 分形简介 分形 分维 分形的测量 共2学时 3.2分形图生成算法之一 分形图的递归算法 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Peano曲线、分形树等的递归算法。 共2学时 3.3分形图生成算法之二 文法构图算法 LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、 随机LS文法生成。 共2学时 3.4分形图生成算法之三 迭代函数系统 《高频电子线路》课程设计指导书 一、课程设计基本信息 核心课程名称（中文）高频电子线路核心课程名称（英文）High-frequency Electronic Circuits 课程设计名称高频电子线路课程设计 课程设计编号课程设计类型实物制作 相关辅助课程电路分析、电子线路（线性部分） 教材及实验指导书教材《电子线路（非线性部分）》,谢嘉奎，高等教育出版 课程设计时间：第五学期18 周 面向专业电子信息科学与技术 二、课程设计的目的 《高频电子线路》课程是电子信息专业继《电路理论》、《电子线路（线性部分）》之后必修的主要技术基础课，同时也是一门工程性和实践性都很强的课程。课程设计是在课程内容学习结束，学生基本掌握了该课程的基本理论和方法后，通过完成特定电子电路的设计、安装和调试，培养学生灵活运用所学理论知识分析、解决实际问题的能力，具有一定的独立进行资料查阅、电路方案设计及组织实验的能力。通过设计，加深对调幅的理解，学会电路的调整；进一步培养学生的动手能力 三、主要仪器设备 序号实验项目名称仪器设备名称仪器设备编号 1调幅收音机设计高频信号发生器、数字示波器、稳压电源 四、课程设计的内容与要求 1、内容：根据所学知识，设计一超外差调幅收音机电路，选择合适的元器件，进行安装和调试电路；应能接收正常广播，且接收的广播节目不少于3套° 序 号 名称目的方式场所要求 1调幅收音机设计加深对调幅的理解，学会 电路的调整；进一步培养 学生的动手能力 实物制作 通信学 院 2、要求 1设计电路图； 2供电电压：直流3V 3 接收频段：535kHz ~ 1605kHz; 4输出功率：P o> 1W。 5为满足偷出功率要求，采用两级放大电路； 6采用互补推挽功率放大器作为输出级。 五、考核与报告 考核内容：1实际操作：包括电路设计、安装、焊接及调试 2设计报告：包括原理、电路图、元器件的选择 成绩评定：实际操作和设计报告各占50%o 六、主要参考文献 1、《电子线路（非线性部分）》，谢嘉奎，高等教育出版社 2、《实用电子电路手册》，孙肖子，高等教育出版社 3、《电子技术技能训练》，张大彪，电子工业出版社七、课程设计报告 1、报告内容 目的、原理、电路图、安装注意事项、调试过程及结果。 2、版面格式 （1）A4纸打印，上、下、左、右边距为2. 5cm,段落间距0,行间距1. 5倍; （2）标题使用四号黑体、居中，正文使用小四号宋体; 一级标题：小四号黑体（如：1、2、3……）； 一，分形插值算法 ——分形图的递归算法1，分形的定义 分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述： 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ，则称该集合为分形集，简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。本文主要研究有规分形。 2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程 成绩：课程名称：智能信息处理概论 分形之Julia集及其算法实现 摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。 关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现 引言 大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？ 正文 分形概述 分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】 两种定义 其一：具有自相似性结构的叫做分形； 其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。 若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。 当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】 特征 1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果； 2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果； 3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复； 4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨 迹； 5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过 递归或者迭代产生的复杂、精细的结构； 6.无确定的标度且具有分数维数。【3】 （1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42]; 分形（二）——分形树 上次我们画出了谢尔宾斯基三角形，这次我们所画分形图形同样也是比较简单的——分形树，记得在上次的递归里~我们传入的参数是所绘的点的坐标，但这种方法并不一定的最好的，在绘制分形图案的时候，使用递归，所传参数应根据实际情况来定：（可以是角度，变长等） 同学们可以自己也试着画一下分形：这是今天的题目： 分形树一次递归调用： 分形树两次递归调用： 分形树六次递归调用： 分形树十次递归调用： 分形树二十五次递归调用 后面的我不敢往下试了——机子会爆掉的…… 下面是绘制次分形树的方法： package Elps; import java.awt.Graphics; import javax.swing.JFrame; public class Main extends JFrame { /** * @param args */ p ublic static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Main a = new Main(); a.draw(); } public void draw(){//绘制窗体，添画布 this.setSize(1000,700);// this.setLocationRelativeTo(null); this.setDefaultCloseOperation(3); this.setVisible(true); Graphics g = this.getGraphics(); } public void paint(Graphics g){ super.paint(g); this.Show(500,550,100, Math.PI/2,0,Math.PI/6,25,g); //(Math.PI为180°) } public void Show(double x0,double y0,double l,double a,double b,double c,double count,Graphics g){ double x2; double y2; double x3; double y3; double x4; double y4; double x5; double y5; if(count<1) { return; }//判断是否继续进行递归调用，注意：判断一定要放在递归调用之前，否则这段代码将永远不会被执行 x2 = x0 - l*Math.cos(a); y2 = y0 - l*Math.sin(a); x3 = x2 - l*Math.cos(b); y3 = y2 - l*Math.sin(b); x4 = x0 - l*Math.cos(b); y4 = y0 - l*Math.sin(b); x5 = x2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.cos(c); y5 = y2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.sin(c); //计算五个点的位置，以右下点为（X0，Y0） g.drawLine((int)x0, (int)y0, (int)x2, (int)y2); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x3, (int)y3); g.drawLine((int)x3, (int)y3, (int)x4, (int)y4); g.drawLine((int)x4, (int)y4, (int)x0, (int)y0); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x5, (int)y5); g.drawLine((int)x5, (int)y5, (int)x3, (int)y3); //划线——注意方法所需要的数据类型 Show(x2,y2,l*Math.cos(Math.PI/6),a+Math.PI/6,b+Math.PI/6,c+Math.PI/6,count-1,g); 软件导刊?２００６?１２月号ＴｈｅＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＡＬｏｓｓｌｅｓｓＣｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎＭｅｔｈｏｄｏｆＨａｌｆｔｏｎｅＩｍａｇｅ ＷａｎｇＨｕｉ，ＯｕｙａｎｇＹｕａｎ，ＹｕＸｉｎｂｉｎｇ （ＴｈｅＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅｆｏｒＭａｔｈａｎｄＲｅｍｏｔｅＳｅｎｓｉｎｇｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＧｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ４３００７４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｌｏｓｓｌｅｓｓｄａｔａｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅｓ，ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙｐｒｉｎｔｉｎｇｉｍａｇｅｓ．Ｉｎｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｃａｌｌｅｄＤｉｓｐｅｒｓｅｄＲｅｆｅｒｅｎｃｅＣｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ（ＤＲＣ），ｔｈｅｃｏｄｉｎｇｓｃｈｅｍｅｉｓｃｈａｎｇｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｓｔｏｂｅｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｂｙＥｖｏｌｖａｂｌｅＨａｒｄｗａｒｅ．ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔＤＲＣｐｒｏｖｉｄｅｓｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｒａｔｉｏｎｓｔｈａｔａｒｅｕｐｔｏ３０％ｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ａｎｄｗｈｉｃｈｉｓａｌｓｏｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅ；ｄｉｓｐｅｒｓｅｄｒｅｆｅｒｅｎｃｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ；ｅｖｏｌｖａｂｌｅｈａｒｄｗａｒｅ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｒａｔｉｏ Ｎ９３０，２００１． ［６］ＩＳＯ／ＩＥＣＪＴＣ１／ＳＣ２９／ＷＧ１Ｎ６９２，Ｎｏｖ．１９９７． ［７］陈国良，王煦法，庄镇泉．遗传算法及其应用［Ｍ］．北京：人民邮电出版社．１９９６．［８］潘正君，康立山，陈毓屏．演化计算［Ｍ］．北京：清华大学出版社＆广西科学技术出版社，２０００．（责任编辑：杜能钢） 分形理论在图像处理中的应用研究 李增华，于炳飞 （中国地质大学资源学院，湖北武汉４３００７４） 摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。介绍了 分形理论的基本概念，给出了分形理论的重要参数分形维数的常见定义和计算方法。重点介绍了分形理论在图像处理领域的应用情况。最后，展望了分形理论的应用前景及其发展方向。 关键词：分形理论；分形维数；图像处理；应用 中图分类号：ＴＰ３０２．０４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８００（２００６）１２－００２１－０３ ０前言 自从Ｍａｎｄｌｅｂｒｏｔ于上世纪６０年代提出分形理论，其作为一种新的概念和方法，就被广泛应用于图像压缩、图像生成、纹理分割以及其它生物物理和社会科学中，并取得了很好的效果。本文将介绍分形理论及其在图像处理中的应用，以此抛砖引玉，促进图像处理及其它学科中分形现象的研究。１分形理论１．１分形的提出１９６７年ＢｅｎｏｉｔＢ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在其论文《英国的海岸线有多长：统计自相似性与分数维数》中首次创造性地阐述了分形 理论。Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在研究英国海岸线的复 杂边界时发现，不同比例的地图上会测出 不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何 无法解释的。在研究中，他将测量长度与 放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二 维坐标点存在一种线性关系，此线性关系 可用一个定量参数一称分维数来描述。由 此，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ进一步将其发展成分形几何理论，并指出作为分形应具有３个要素：形状、机遇与维数。分形几何理论可以产生许多分形集 图形和曲线，如Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集、Ｃａｎｔｏｒ集、Ｋｏｃｈ曲线、Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：①描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性；②欧氏几何具有标度，理想分形具有无限的几何标度，而无特征长度；③欧氏几何描述特征以整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维数是大于１的非整 软件技术研究 ２１ Matlab实现递归算法生成3维分形树 注：此算法树根在侧面，需对坐标轴进行旋转便可得到上图效果 以下代码全部粘贴到一个M文件中命名为TreeByL即可运行 为方便网友研读代码加入了大量注释 同时愿与matlab程序爱好者进行交流：Linking508@https://www.360docs.net/doc/2316816741.html, %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Matlab实现递归算法生成3维分形树 %ByLinking %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function TreeByL L=15;%主干长 a=0; b=pi/3; r=0;%r=pi/5; %分支生成函数 makeBranch(0,0,0,L,a,b,r); % a在XOZ平面投影与X轴夹角b与Y轴的夹角r与主干的夹角 function makeBranch (x,y,z,L,a,b,r) B=pi/5;s1=1.5;s2=3;s3=1.2;%B枝干的倾斜度C主干的倾斜度s1细腻程度s2分支收缩速度s3主干收缩速度 % B=pi/5;s1=1.5;s2=2.4;s3=1.35; if L>s1 x1=x+L/s2*cos(a)*cos(r); y1=y+L/s2*sin(a); z1=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x1R=x1+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y1R=y1+L/s2*sin(a-b); z1R=z1+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x1L=x1+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y1L=y1+L/s2*sin(a+b); z1L=z1+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x1F=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y1F=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1F=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x1B=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y1B=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1B=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); %------------------------------------------------------ x2=x+L/s2*cos(a)*cos(r); y2=y+L/s2*sin(a); z2=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x2R=x2+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y2R=y2+L/s2*sin(a-b); z2R=z2+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x2L=x2+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y2L=y2+L/s2*sin(a+b); z2L=z2+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x2F=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y2F=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2F=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x2B=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y2B=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2B=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); plot3([x,x2],[y,y2],[z,z2],'k');hold on;set(gcf,'color','w');grid on;view(pi/2,0);%axis off;xlabel('X Label');ylabel('Y Label');zlabel('Z Label'); set(gca,'xlim',[0,25],'ylim',[-15,15],'zlim',[-15,15]); plot3([x2,x2R],[y2,y2R],[z2,z2R],'g');hold on; plot3([x2,x2L],[y2,y2L],[z2,z2L],'g');hold on; plot3([x2,x2B],[y2,y2B],[z2,z2B],'g');hold on;经典的分形算法 (1)
基于分形几何的分形图绘制与分析
分形维数算法
几个分形的matlab实现
分形图形与分形的产生
分形维数算法
分形树__Matlab
分形算法与应用
《高频电子线路》课程设计指导书.doc
分形插值算法和MATLAB实验
分形之Julia集及其算法实现
分形图程序
分形——分形树
分形理论在图像处理中的应用研究
Matlab实现 递归算法生成3维分形树ByLinking