2022-2023学年山东省潍坊市普通高中数学高三第一学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种

B ．15种

C ．16种

D ．18种

2．函数y =2x sin2x 的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

3．已知点P 是双曲线22

2222:1(0,0,)x y C a b c a b a b

-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积

为

2

14

c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3

D ．2

4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68

(2)a a +-=（ ）

A ．256

B ．-256

C ．32

D ．-32

5．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种

B ．144种

C ．288种

D ．360种

6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'

10x f x x f

x -⋅+⋅>，若3

(2)y f x e

=+-是奇函数，则不等式

1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞

B ．(),1-∞

C ．()2,+∞

D ．()1,+∞

7．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43x

f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

，则()()33log 6log 54f f -+=（ ） A ．

32

B ．

33

log 22

- C ．12

-

D ．

32

log 23

+ 8．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为1

2

得等比数列，则3a 等于（ ）

A ．64

B ．32

C ．2

D ．4

9．已知()()()

[)3log 1,1,84,8,6

x x f x x x ⎧+∈-⎪

=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）

A ．()0,∞+

B ．[)1,2

C ．[)1,+∞

D ．()0,1

10．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．

163

i B ．6i C ．

203

i D ．20

11．已知函数()2

ln e x f x x =，若关于x 的方程2

1[()]()08

f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3

(0,)4

B

． C

．3)4

D

． 12．若关于x 的不等式1127

k x

x ⎛⎫≤ ⎪

⎝⎭

有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；

②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是21,42⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦； ③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22；

④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

14．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________.

15．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，63AB AE ==，BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.

16．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x 与直线2x x =+围成的平面图形，

向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号x

1

2 3 4 5 6

7

年利润y （单位：亿元）

29 33 36 44

48

52 59

（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；

（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润

年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.

参考公式：()()

()

1

2

1

n

i

i i n

i

i x

x y y

b x

x

==--=

-∑∑，a y bx =-.

18．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且

122 2.AB AD AA BD DC =====，

(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;

(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.

19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ΔABC 为等边三角形，

11BAB BB A ∠=∠，11AB A B O ⋂=，CO ⊥平面11ABB A ，D 是线段11A C 上靠近1A 的三等分点.

（1）求证：1AB AA ⊥；

（2）求直线OD 与平面11A ACC 所成角的正弦值.

20．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.

订单：（单位：万件） [)3,5

[)5,7

[)7,9

[)9,11

频数

1

2

2

3

订单：（单位：万件） [)11,13

[)13,15

[)15,17

[)17,19

[)19,21

频数

40

20

20

10

2

（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 外卖乙 总计

（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布

2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表），σ的值已求出，约为3.64，现把频

率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X 为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X 的数学期望；

②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

附：①参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

参考数据：

②若2(,)Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=. 21．（12分）设x ，y ，z R ∈，()2z x y m +=. （1）若2

2

2

23x y z ++的最小值为4，求m 的值；

（2）若22

2

1412

x y z ++

≥，证明：1m ≤-或m 1≥. 22．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2

2n S n n =-（*n ∈N ）.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()()22,(21)2,(2)11n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩（*k ∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T .若211422n

n T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对

*n ∈N 恒成立，求实数a ，b 的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】

采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【详解】

首先将黑球和白球排列好，再插入红球.

情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×

7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【点睛】

本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 2、D 【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π

(,π)2上的符号，即可判断选择.

详解：令()2sin 2x

f x x =， 因为,()2

sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x

f x x =为奇函数，排除选项A,B;

因为π

(,π)2

x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 3、A 【解析】

设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为

2

14

c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】

设点P 的坐标为(,)m n ，有22

221m n a b

-=，得222222b m a n a b -=.

双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C

的两条渐近线的距离之积为

2222

22

22

2b m a n a b a b c

-=

=+，

所以222214

a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故22

20c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】

本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 4、A 【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】

由1371352S a ==，74a =，得()()68

8

22256a a +-=-=.选A.

【点睛】

本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 5、B 【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】

第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2

412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2

412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.

选B . 【点睛】

本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 6、A 【解析】

构造函数()()x

x f x g x e

⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()3

2y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】

构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''

10x

x f x x f x g x e

-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于

()3

2y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()3

20y f e =-=，所以()3

2f e =，所以()3

2222e g e e

⨯==.

由1()20x x f x e +⋅-<得()()

()22x

x f x g x e g e

⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 7、A 【解析】

因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3

f ，再与()3lo

g 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【详解】

定义在R 上的函数()f x 的周期为4

3332

(log 54)(log 544)(log )3

f f f ∴=-=，

当[2,2)x ∈-时，1()()43x

f x x =--，

3log 6[2,2)-∈-，32

log [2,2)3

∈-，

()()33log 6log 54f f ∴-+

332log log 6333112()(log 6)4()log 4333

-=---+-- 11333

log 6log 2

33112()()(log 6log )8333

=++-- 333

6log (6)822=++⨯-

32

=. 故选：A. 【点睛】

本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 8、A 【解析】

根据题意依次计算得到答案. 【详解】

根据题意知：18a =，2

1

4a a =，故232a =，

3

2

2a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 9、C 【解析】

先解不等式()2f x ≤，可得出89x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式()()819

m f x -≥-在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】

()()()[)3log 1,1,84,8,6

x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，先解不等式()2f x ≤.

①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得889x -≤≤，此时8

89

x -≤<； ②当8x ≥时，由()4

26

f x x =

≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭

.

下面来求函数()y f x =的值域.

当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4

0,26

f x x =

∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，

则不等式()()8

19

m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[

)1,+∞. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

10、C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

()()()32326z i a i a a i =-+=++-

∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，

∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203

z i = 故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

11、C

【解析】

求导，先求出()f x

在(x ∈

单增，在)x ∈+∞

单减，且max 1()2

f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08

f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108

t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【详解】 依题意，243

2ln (12ln )()e x xe x e x x f x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2

x =

，x =

x ∈时，()0f x '>，

当)x ∈+∞，()0f x '<

，且12e f e =

=， 故方程2108

t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，

故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，2102110824

01m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩

解得3(

)24

m ∈. 故选：C.

【点睛】

本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：

(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；

(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

12、A

【解析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x

=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】

因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x

≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以

ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k

≥． 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以

当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k

≥，解得9k ≥． 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②③④

【解析】

取CD 中点G ,11C D 中点M ,1CC 中点N ,先利用中位线的性质判断点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11

B C 所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；

③由//MN EG ,取F 为MN 中点,则11,MN C F MN B F ⊥⊥,则11B FC ∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.

【详解】

取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG CD ,所以1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE ,

取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E ,

所以平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α.

①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确； ②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F 与直线11B C 所成角最小,此时122C F =,11111

2tan C F C B F B C ∠==； 当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线11B C 所成角最大,此时111tan 2C B F ∠=

, 所以直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是212⎤⎥⎣

⎦,②正确； ③α与平面11CDD C 的交线为EG ,且//MN EG ,取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,11111tan 22B C B FC C F

∠==,所以③正确；

④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111D C B A ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确．

故答案为:①②③④

【点睛】

本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.

14、86π

【解析】

将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.

【详解】

由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示

4CD =，22OA OC OD ===，故正方体体对角线长为22226OA OC OD ++= 所以外接球半径为6R =

3

4863R ππ=. 故答案为：86π.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.

15、252π

【解析】

设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，得到直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.

【详解】

设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，

过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，

则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，

取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，

由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ，

因为12OFO OFO ∆≅∆，从而133OO =，

连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径， 在直角1AOO ∆中，由16O A =，133OO =，可得22211273663OA OO O A =+=+=，

即外接球的半径为63R OA ==，

故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==.

故答案为：252π.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.

16、35

【解析】

联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】

解：联立22

y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，

()222321111922232

S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 932155

2

ABCD S P S ∴===阴影

故答案为：

35

【点睛】 本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）523y x =+，该公司2020年年利润的预测值为63亿元；（Ⅱ）

1528. 【解析】 （Ⅰ）求出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得a 和b 的值，进而可求得y 关于x 的线性回归方程，然后将8x =代入回归直线方程，可得出该公司2020年年利润的估计值；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从2013年至2020年这8年被评为A 级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.

【详解】 （Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()7

1140i i

i x x y y =--=∑， 又()21728i

i x x =-=∑，()()()717215i i i i

i x x y y b x x ==--∴==-∑∑，

435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.

将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），

∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年.

故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.

记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1153281528

C C P C ∴==. 【点睛】

本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.

18、 (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ

)

6

【解析】

(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.

(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.

【详解】

(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，故1AA AB ⊥. 2AB AD ==

，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.

1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .

(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .

设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ

故2sin cos ,26n AB

n AB n AB θ⋅====⋅.

【点睛】

本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

19、（1）证明见解析（2）

3311

【解析】

（1）由11BAB BB A ∠=∠，故1AB BB =，所以四边形11A ABB 为菱形，再通过COA COB ∆∆≌，证得AO BO =，所以四边形11ABB A 为正方形，得到1AB AA ⊥. （2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面11A ACC 的法向量为(,,)m x y z =，由10,0.m AA m AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩求得，再由222,33OD ⎛=- ⎭

，利用线面角的向量法公式求解. 【详解】

（1）因为11BAB BB A ∠=∠，故1AB BB =，

所以四边形11A ABB 为菱形，

而CO ⊥平面11ABB A ，故90COA COB ︒∠=∠=.

因为,CO CO CA CB ==，故COA COB ∆∆≌，

故AO BO =，即四边形11ABB A 为正方形，故1AB AA ⊥.

（2）依题意，1CO ,OA CO OA ⊥⊥.在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥，

故以O 为原点，1,,OA OA OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -； 如图所示：

不纺设2AB =， 则11(0,0,0),2,0,0),2,0),2),2,2,2)O A A C C -，

又因为11113OD OA AC =+，所以222,,33D -⎭

. 所以1(2,2,0),(0,2,2)

A A AC =-=-. 设平面11A ACC 的法向量为(,,)m x y z =，

则10,0.m AA m AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩

， 即220,220.

x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，

令1x =，则1,1y z ==.于是(1,1,1)m =. 又因为222,33OD ⎛⎫=- ⎪⎭， 设直线OD 与平面11A ACC 所成角为θ，

则||33sin |cos ,|11

||||m OD m OD m OD θ⋅=〈〉==，

所以直线OD 与平面11A ACC . 【点睛】 本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.

20、（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.

【解析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算2K 的观测值，即可结合临界值作出判断.

（2）①先根据所给数据求得样本平均值x ，根据所给今年3月订单数区间，并由x 及σ求得2 4.88μσ-=，15.8μσ+=.结合正态分布曲线性质可求得(4.8815.8)P Z <<，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有[)3,5和[

)5,7两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.

【详解】

（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为()1000.10.050.040.01240⨯+++⨯=，

对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为202010252+++=.

由以上数据完善列联表如下图，

且2K 的观测值为2

200(40486052) 2.899 2.70610010092108

k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.

（2）①样本平均数

40.0460.0680.10100.10120.30140.20160.10180.08200.0212.16

x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=212.162 3.64 4.88μσ∴-=-⨯=，

12.16 3.6415.8μσ+=+=

故(4.8815.8)(2)P Z P Z μσμσ<<=-<<+