高考冲刺练习——山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题(含答案解析)

山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题

试卷副标题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设M ，N ，U 均为非空集合，且满足M ⫋N ⫋U ，则()()U U M N ⋂=（ ） A ．M

B ．N

C ．u M

D ．u N

2．已知直线1:30l x y -=，2:20l x ay +-=，若12l l ⊥，则=a ( ) A ．13

B ．13

-

C ．3

D ．－3

3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2

B ．12

C ．2-

D ．12

-

4．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）

A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解

B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解

C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解

D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 5．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

（ ）

A ．0a b +<

B ．1ab <-

C ．01b a <<

D ．log 0a b >

6．某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有6个班，现将8个参赛名额分配给这6个班，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法共有（ ） A ．15种

B ．21种

C ．30种

D ．35种

7．已知正实数a ，b 满足22246a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（ ） A ．25B ．22C 5D ．2

8．已知函数()ln f x x x t =-+，直线1

:ln 222

l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()

y f x =图像上，则以下说法正确的是( ) A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =- B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >- C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝ 评卷人 得分

二、多选题 9．若复数123i z =+，21i z =-+，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．

1

2

z R z ∈ B ．1212z z z z ⋅=⋅

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

C ．若()1z m m +∈R 是纯虚数，那么2m =-

D ．若12,z z 在复平面内对应的向量分别为,OA OB （O 为坐标原点），则5AB =

10．已知函数()cos 26f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，则（ ）

A ．图象C 关于直线5

12x π=对称

B ．图象

C 关于点,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

中心对称

C ．将cos 2y x =的图象向左平移12

π

个单位长度可以得到图象C D ．若把图象C 向左平移

3

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 是奇函数 11．已知四面体ABCD 的4个顶点都在球O （O 为球心）的球面上，△ABC 为等边三角形，M 为平面ABC 内的动点，AB=BD=2，2AD =，且AC BD ⊥，则（ ）

A ．平面ACD ⊥平面ABC

B ．球心O 为△AB

C 的中心 C ．直线OM 与C

D 所成的角最小为

3

π D ．若动点M 到点B 的距离与到平面ACD 的距离相等，则点M 的轨迹为抛物线的一部分

12．已知数列{}n a ，{}n b ，有1n n n a a b +=-，1n n n b b a +=-，*n N ∈，则（ ） A ．若存在1m ，m m a b =，则11a b =

B ．若11a b ≠，则存在大于2的正整数n ，使得0n a =

C ．若1a a =，2a b =，且a

b ，则2020

20222

b b =-⨯

D ．若11a =-，23a =-，则关于x 的方程()33221cos 2cos2cos30a a x x x ++++=的所有实数根可构成一个等差数列

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人

得分

三、填空题

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

13．设随机变量X 服从标准正态分布()~0,1X N ，那么对于任意a ，记()()a P X a Φ=<，已知()0.7a Φ=，则()P X a <=______．

14．若圆221x y +=与圆()2

223x y -+=的交点为A ，B ，则AB =______． 15．已知定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,2x ∈时，()3,01,323,12,

x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩()f x 图像与x 轴的交点从左至右为O ，1B ，2B ，3B ，…，

n B ，…；()f x 图像与直线3y =的交点从左至右为1A ，2A ，3A ，…，n A ，…．若1C ，2C ，3C ，…，10C 为线段88A B 上的10个不同的点，则()

10

21i i OA OC =⋅=∑______．

评卷人 得分

四、双空题 16．根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB 是圆锥底面圆O 的直径，圆锥的母线2PA =，22AB =，E 是其母线PB 的中点．若平面α过点E ，且PB ⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离为______；截面α把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面α的上方作一个半径最大的球M ，在截面α下方作一个半径最大的球N ，则球M 与球N 的半径的比值为______．

评卷人 得分

五、解答题 17．如图，四边形ABCD 的内角B D π+=，6AB =，2DA =，BC CD =，且7AC =

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

(1)求B ；

(2)若点P 是线段AB 上的一点，23PC =，求PA 的值．

18．如图，线段AC 是圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的点，2AC =，1BC =，P A ⊥底面ABC ，M 是PB 上的动点，且()01PM PB λλ=<<，N 是PC 的中点．

(1)若12

λ=时，记平面AMN 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PBC 的位置关系，并加以证明；

(2)若平面PBC 与平面ABC 所成的角为

4π，点M 到平面P AC 3

λ的值．

19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

24n

n n a a S +=，数列{}n b 满足()22n

a n

b =-． (1)求数列{}n b 的前n 项和n B ，并证明1n B +，n B ，2n B +是等差数列； (2)设()1n

n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

20．已知函数()()cos sin f x ax x x a =++∈R ．

(1)若1a =，当,2x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，求证：()f x 为单调递减函数；

(2)若()12sin 2cos f x x x ≤++在(]0,x π∈上恒成立，求实数a 的取值范围．

21．随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加,,A B C 三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在,,A B C 三

单总数为随机变量Z ． (1)求Z 的分布列及()E Z ； (2)已知每个订单由()2,k k

k N

*

≥∈件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为T ，假设

11

2

k k p k -=

-，求()E T 取最小值时正整数k 的值． 22．已知M ，N 为椭圆()22

12:10x C y a a

+=>和双曲线2222:1x C y a -=的公共顶点，1e ，2

e 分别为1C 和2C 的离心率． (1)若12e e =

（ⅰ）求2C 的渐近线方程；

（ⅱ）过点()4,0G 的直线l 交2C 的右支于A ，B 两点，直线MA ，MB 与直线1x =相交于1A ，1B 两点，记A ，B ，1A ，1B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，求证：

1234

1111y y y y +=+； (2)从2C 上的动点()()000,P x y x a ≠±引1C 的两条切线，经过两个切点的直线与2C 的两条渐近线围成三角形的面积为S ，试判断S 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案：

1．D 【解析】 【分析】

利用()()()U U u

M N M N ⋂=⋃，判断相互之间的关系.

【详解】

(

)()()U

U u

M N M N ⋂=

⋃，M N N ⋃=，()u u

M N N ⋃=

.

故选D. 2．A 【解析】 【分析】

两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a 的值． 【详解】

∵12l l ⊥，∴111

()133a a ⋅-=-⇒=．

故选：A ． 3．C 【解析】 【分析】

根据题意，得到直线AB 的斜率为12

24

2k x x -==--，进而判断α所在象限，即可求解. 【详解】

由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12

24

2k x x -=

=--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.

故选：C 4．D 【解析】 【分析】

根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】

命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D 5．C 【解析】 【分析】

结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】

由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，

令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知

011b <+<，所以10b -<<，

因此0a b +>，故A 错误；

0-<，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；

因为10b a a a -<<，即

11b a a <<，且1

01a

<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C. 6．B 【解析】 【分析】

采用隔板法直接求解即可. 【详解】

将8个参赛名额分配给这6个班，名额之间并无区别，将8个参赛名额采用“隔板法”分成6份即可，每份至少一个名额，

∴共有5

721C =种.

故选：B. 7．B 【解析】 【分析】

将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于2+a b 的不等式，解不等式即可求出结果. 【详解】

因为22

222022a b a b ab +-⎛⎫⎛⎫-=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

所以 2

222a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，当且仅当2a b =时等号成立，因为22

246a ab b ++=，

所以()2

226a b ab +-=，即()2

262a b ab +-=，所以()2

2

2262a b a b +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭

，

即()2

28a b +≤，因为,a b 为正实数，所以20a b +>

，因此02a b <+≤2+a b 的最大

值为

a b ⎧=⎪

⎨=

⎪⎩

，

故选：B. 8．D 【解析】 【分析】

求f (x )导数()f x '，令()01

2

f x '=

求出0x 可判断D ；若直线l 是曲线()y f x =的切线，则再根据(0x ，f (0x ))在l 上即可求出t ；当()()00,P x f x 处切线与l 平行时，P 到l 距离最短，求出P 的坐标，利用点到直线距离公式可求最短距离，据此可判断C ；令

1ln ln 22ln ln 2222x x x t x t x -+=-++⇒=-++，研究()ln ln 222x

g x x =-++的图像，y ＝t

的图像和y ＝g (x )图像无交点时直线l 和曲线y ＝f (x )无公共点，据此可求t 的范围，从而判断B 选项． 【详解】

f (x )定义域为(0，＋∞)，()1

1f x x

'=

-， 若直线l 是曲线()y f x =的切线，

则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1

ln222

y x =-++得1ln2y =+，

()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；

当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离， 则()000111

1222

f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确；

此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为

=C 错误；

设1ln ln 22ln ln 2222x

x x t x t x -+=-++⇒=-++，

令()ln ln 222

x g x x =

-++，则()11222x g x x x -'=-=，

当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误． 故选：D ． 9．BCD 【解析】 【分析】

利用复数除法运算可知A 正确；由复数乘法运算和共轭复数定义可知B 正确；由纯虚数定义知C 正确；由复数的向量表示和模长运算可知D 正确. 【详解】 对于A ，

()()()()1223i 1i 23i 15i 15

i 1i 1i 1i 222

z z +--+-====--+-+--，A 错误； 对于B ，()()1223i 1i 5i z z ⋅=+-+=--，125i z z ∴⋅=-+； 又()()1223i 1i 5i z z ⋅=---=-+，1212z z z z ∴⋅=⋅，B 正确；

对于C ，123i z m m +=++为纯虚数，20m ∴+=，解得：2m =-，C 正确； 对于D ，由题意得：()2,3OA =，()1,1OB =--，()3,4AB OB OA ∴=-=--，

95AB ∴=+=，D 正确.

故选：BCD. 10．AC 【解析】 【分析】

利用代入检验法可判断AB 的正误，利用图象变换可判断CD 的正误. 【详解】 当512x π=

时，()5cos 21126f x ππ⎛⎫

=⨯+=- ⎪⎝

⎭，

故图象C 关于直线5

12

x π=

对称，故A 正确.

当3x π

=

时，()cos 2036f x ππ⎛⎫

=⨯+=≠ ⎪⎝

⎭， 故图象C 不关于点,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

中心对称，故B 不正确.

将cos 2y x =的图象向左平移

12

π

个单位长度可以得到图象对应的解析式为cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛

⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

，故C 正确.

若把图象C 向左平移3π

个单位长度，得到函数()g x 的图象， 故()25cos 2cos 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而()51

0cos 062

g π==-≠，故()g x 不是奇函数，故D 错误. 故选：AC. 11．ABD 【解析】 【分析】

设ABC 的中心为G ，取AC 的中点E ，由题可得BE ⊥平面ADC 可判断A ，根据勾股定理

可得GD =进而判断B ，利用特例可判断C ，利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D. 【详解】

设ABC 的中心为G ，取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则BE AC ⊥.

因为AC BD ⊥，BE BD B ⋂=, 所以AC ⊥平面BDE ，则AC DE ⊥，

又△ABC 为等边三角形，2AB BD ==，2AD = 所以1,1AE DE ==，3BE =

∴222DE BE BD +=，即DE BE ⊥，又,BE AC AC DE E ⊥⋂=， ∴BE ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ，故A 正确； 又∵3GE =

23

GB GA GC ===

∴22123

13GD GE DE =+=

+ 故G 为四面体ABCD 的外接球的球心，即球心O 为△ABC 的中心，故B 正确； 当OM ∥AC 时，DCA ∠为直线OM 与CD 所成的角， 由上知4

3

DCA π

π

∠=

<

，故C 错误；

由平面ACD ⊥平面ABC 可知，动点M 到平面ACD 的距离即动点M 到直线AC 的距离， 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线的一部分，故D 正确. 故选：ABD. 12．ACD 【解析】 【分析】

根据题意，证明得到*)2(n n N ≥∈时，11n n a b ++=-且12n n a a +=，再逐个选项进行计算和证明，逐个选项判断即可求解. 【详解】

因为，1n n n a a b +=-，1n n n b b a +=-，*n N ∈，所以，110n n a b +++=，即11n n a b ++=-，所以，*)2(n n N ≥∈，必有n n a b =-，得到12n n a a +=；

对于A ，若存在1m ，取2m =，有22a b =，则2220a b b =-==，所以，必有211110b b b a +==-=，则有11a b =，同理，若2m >，由m m a b =可得11222211，，----==⋅⋅⋅==m m m m a b a b a b a b 故A 正确；对于B ，若11a b ≠，则2110a a b =-≠，20b ≠，又因为*)2(n n N ≥∈，必有n n a b =-，得到12n n a a +=，所以当2n ≥时，因为20a ≠，必有0n a ≠，故B 错； 对于C ，若1a a =，2a b =，且a

b ，则1n n n b a a +=-，则112b a a a b =-=-，又11n n b a ++=-，

所以，1n n n b b a +-=-，根据递推公式，可得11n n n b b a ---=-，211,b b a -=-；利用累加法，

1121()n n b b a a a --=-+++，整理得， 112111231()()()n n n b b a a a b a a a a --=-++

+=-+-+

+2231()n a a a a -=--++

又因为*)2(n n N ≥∈，必有n n a b =-，得到12n n a a +=，所以， 2

3

(1222

)n n b b b -=--+++

+2

2212(21)212

n n n b b b b b ----=--=---=-⋅-，所以，

202020222b b =-⨯，所以，C 正确；

对于D ，若11a =-，23a =-，*)2(n n N ≥∈，得到12n n a a +=，所以，3226a a ==-，则关于x 的方程()33221cos 2cos2cos30a a x x x ++++=可以化为，

12(11)cos 2cos 2cos30x x x -+-++=，化简得，

232cos 77cos 2cos x x x -=-，

设cos t x =，可得232772t t t -=-， 化简得，2(1)(27)0t t +-=，

所以，1t =-或2

7

2

t =

(舍去)， cos 1x ∴=-，得2x k ππ=+，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公

式为：2k x k ππ=+，故D 正确； 故选：ACD

13．0.4##2

5

【解析】 【分析】

根据正太分布密度曲线的对称性即可求解. 【详解】 由题可知，

()()()()12121P X a P a X a P X a a ⎡⎤<=-<<=->=--Φ⎣⎦

()1210.70.4=-⨯-=.

故答案为：0.4. 14．3 【解析】 【分析】

根据题目条件画出图象，利用勾股定理得到△AOC 是直角三角形，且∠OCA =30°，进一步得出答案. 【详解】

由题可知：1OA =，3AC =，2OC = 满足勾股定理：2

2

2

AC O C A O += 所以△AOC 是直角三角形，且∠OCA =30° ∴3

2

AD =

∴3AB =. 故答案为：3.

15．480 【解析】

【分析】

依题意可得()f x 是在[)0,∞+上周期为2的周期函数，根据[]0,2x ∈上的解析式，画出函数图象，即可得到2A 、8A 、8B 的坐标，及线段88A B 所在直线方程，设()

,3163i i i C x x -+，

[]15,16i x ∈，根据向量数量积的坐标表示求出2i OA OC ⋅，即可得解；

【详解】

解：因为定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 是在[)0,∞+上周期为2的周期函数，

且当[]0,2x ∈时，()3,01323,12x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩

，函数图象如下所示：

依题意可得(23A 、(83A 、()816,0B ，且88A B 的方程为

)31423y x =--+[]15,16x ∈， 设(,3163i i i C x x -+，[]15,16i x ∈， 所以(23OA =，(,3163i i i OC x x =+，

所以233316348i i i OA OC x x ⋅=-+=，所以()

10

21

1048480i i OA OC =⋅=⨯=∑

故答案为：480 16．

1

2

##0.5

22

+【解析】 【分析】

（1）以E 为原点，EO 为x 轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离；

（2）作出直截面，分析位置关系，利用几何知识分别求出球M 与球N 的半径，即可求解. 【详解】 如图示：

因为圆锥的母线2PA =，22AB =，所以222AB PA PB =+，所以PB ⊥P A . 连结OE .因为PB ⊥平面α，所以PB ⊥OE .所以//PA OE . 在PAB △中，O 为AB 的中点，所以OE 为中位线，所以1

12

OE AB ==. 设平面α交底面圆于CD ,则22CD AB ==.

以E 为原点，EO 为x 轴建立坐标系如图示，则()1,0O ()

1,2D . 可设抛物线22y px =，把()

1,2D 带入抛物线方程可得：22p =， 所以抛物线为：22y x =，焦点1,02F ⎛⎫

⎪⎝⎭

,

所以12

OF =,即抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离为1

2.

作出直截面如图所示，则球M 的半径即为圆M 的半径，球N 的半径即为圆N 的半径.

因为球M 为截面α的上方的最大的球，所以圆M 与P A 相切，切点为Q ,则QM PA ⊥.又

PB PA ⊥，所以//QM PB .

同理：//QR PB .所以Q 、M 、R 三点共线，QR 为直径.

由四边形PQRE 为矩形，可得：1

12

QR PE PB ===,所以球M 的半径. 在等腰三角形OBE 中，1

12

OE BE PB ==

=

,12OB AB ==圆N 为三角形OBE 的内切圆.设圆N 的半径为2r ，由等面积法可得：

()21122OE BE OE BE OB r ⨯⨯=++

，即(211

111122

r ⨯⨯=+

，解得：2r =.

所以球M 与球N

的半径的比值为212

211

2r r =+=. 故答案为：1

2

【点睛】

外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：

①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法． 17．(1)3

B π

=

(2)4 【解析】 【分析】

（1）设0BC CD x ==>，在ABC 、ACD △分别利用余弦定理可得出关于x 、cos B 的方程组，解出cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值； （2）利用正弦定理可求得2

BPC π

∠=，利用勾股定理求出PB ，即可求得PA 的长.

(1)

解：设0BC CD x ==>，

在ABC 中据余弦定理，得223626cos 28AC x x B =+-⨯=，即2812cos x x B +=，① 又在ACD △中据余弦定理，得22422cos 28AC x x D =+-⨯=，即2244cos x x D -=，② 因为B D π+=，则()cos cos cos D B B π=-=-， 联立①②可得4x =，1cos 2

B =，因为()0,B π∈，所以3B π=．

(2)

解：在PBC 中，由正弦定理知，

sin sin BC PC

BPC B

=∠，

所以4sin sin 1BC B BPC PC ∠===，

且0BPC π<∠

<，故2

BPC π

∠=，

在直角三角形PBC

中，由勾股定理知，2PB =， 此时4PA AB PB =-=．

18．(1)直线∥l 平面PBC ，证明见解析 (2)2

3

λ=

【解析】 【分析】

（1）可证//MN 平面ABC ，从而得到//MN l ，故可得直线//l 平面PBC ． （2）根据平面PBC 与平面ABC 所成的角为4

π

可得45PBA ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点面距公式可求λ的值. (1)

直线//l 平面PBC ，

证明：当1

2

λ=时，M 是PB 的中点，又因为N 是PC 的中点， 所以//MN BC ，又BC ⊂平面ABC ，且MN ⊄平面ABC ，

所以//MN 平面ABC ，又MN ⊂平面AMN ，且平面ANM ⋂平面=ABC l ， 所以//MN l ，又因为l ⊄平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以直线//l 平面PBC ． (2)

因为AC 是圆O 的直径，所以90ABC ∠=︒，

由勾股定理得AB P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，

所以BC ⊥平面PBA ，而PB ⊂平面PBA ，故PB BC ⊥， 故∠PBA 就是二面角P BC A --的平面角，所以45PBA ∠=︒， 所以△P AB

为等腰直角三角形，且PA AB ==

以点B 为坐标原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

则)A

，()0,0,0B ，()0,1,0C

，P

，()AC =

，(AP =，

设平面P AC 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以30,

30,x y z ⎧-+=⎪⎨

=⎪⎩

令1x =，则3,0y z ==，得()

1,3,0n =， 设()

3,0,3PM PB λλλ==--，

所以点M 到平面P AC 的距3323PM n d n

λ⋅==

=，所以2

3

λ=．

19．(1)()1

22

133

n n n B +=-+-，证明见解析；

(2)1122

,33

25,33n n n n n T n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪---⎪⎩为偶数为奇数．

【解析】 【分析】

(1)利用11,1,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式n a ，从而求出n b ，从而求出n B .证明

212n n n B B B +++=即可证明1n B +，n B ，2n B +是等差数列；

(2)根据{}n c 通项公式的特征，分n 为奇数和偶数讨论其前n 项和n T ． (1)

2

24n n n a a S +=①，0n a >，

当1n =时，2

11124a a a +=，∴12a =或10a =(舍)，

当2n ≥时，2

11124n n n a a S ---+=②，

①－②：2211224n n n n n a a a a a ---+-=，∴()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，

∵0n a >，∴()122n n a a n --=≥，

∴{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n =，()2n

n b =-，

∴数列{}n b 是首项为－2，公比为2的等比数列，

∴()

1

21(2)22

11(2)

33

n

n n n B +⎡⎤---⎣⎦

=

=-+---． ∵21n n B B +++=()1

232

21

(1)2214224(1)(1)3333

3

n n n n n n ++++++-⋅-+-+-⋅+-⋅=-+

=

1

42(1)233

n n +⋅-⋅-+

2n B =， ∴1n B +，n B ，2n B +成等差数列； (2)

()()()()122221n n n n

n c n n =-⋅+-=-+-⋅，

当n 为偶数时， ()()()()1

2

222212341n

n T n n =-+-+

+-+-+-++

--+⎡⎤⎣⎦

()

()()()21(2)21234112n

n n ⎡⎤-⨯--⎣⎦

⎡⎤=

+⨯-++-+++-++⎣⎦--

122232

n n

+-+=+⨯

12233

n n +=+-． 当n 为奇数时， ()()()()1

2

222212341n

n T n n =-+-+

+-+-+-++

+--⎡⎤⎣⎦

()

()()()21(2)212345112n n n ⎡⎤-⨯--⎣⎦

⎡⎤=

+⨯-+-+-+⋯+--⎣⎦--

()12(2)121132n n +----⎡⎤=+⨯-+-⨯⎢⎥⎣⎦