双曲线专题复习(精心整理)
《圆锥曲线》---------双曲线
主要知识点
1、 双曲线的定义:
(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：
2
标？
3、双曲线的几何性质
（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法
（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22
221(0,0)x y a b b a
-=>>），
则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程
①与双曲线22
221x y a b
-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；
②若双曲线的渐近线方程是b
y x a
=±
，则双曲线的方程可表示为_____________________；
③与双曲线22
221x y a b
-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；
⑤与椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为
______________________________________________________________________________。
5．双曲线离心率的有关问题 （1）c
e a
=
，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e =
。
（3）双曲线离心率及其范围的求法。
①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求
值域或解不等式来完成；b ．
通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？
（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题：
考点一：双曲线的定义
例1 已知动圆M 与圆C 1：(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x-4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的
轨迹方程.
变式训练：由双曲线4
92
2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2
的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.
巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162
x －20
2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距
离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.
(2).过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .
(3).一动圆与两定圆12
2
=+y x 和01282
2
=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为
A.椭圆
B. 双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
考点二：双曲线的方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线16
92
2y x -
=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；
（2）与双曲线4
162
2y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）.
变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y=0, （1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
巩固训练：(1)求与椭圆
22
1255
x y +=共焦点且过点的双曲线的方程；
(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；
(4)与双曲线14
2
2
=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程;
(5)已知双曲线12222=-b
y a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33
±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.
(6).已知方程
22
121
x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.
考点三：双曲线的几何性质
例3 双曲线C ：
2
22
2b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存
在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围.
变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.
巩固训练：（1）已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°
的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：
A.1
B. 2
C.3
D.4
(2)已知双曲线2221(2x y a a -
=>的两条渐近线的夹角为3
π
，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.23
3
(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.
(4)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂
线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为: A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
考点四：双曲线的离心率
例1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X
轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。
变式训练：
1、若△AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。 巩固训练：
1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2作倾斜角为?
60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
2、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2作垂直于渐近
线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
3、直线1-=kx y 与双曲线42
2
=-y x 没有公共点，则k 的取值范围为_______,有两个公
共点，则k 的取值范围为_______,有一个公共点，则k 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k 的取值范围为_______。
考点五：双曲线中的焦点三角形
例、设F 1和F 2为双曲线
2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600求△F 1PF 2的面积
变式训练：设F 1和F 2为双曲线
2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点， 已知∣PF 1∣∣PF 2∣=32,求∠F 1PF 2的余弦值与三角形F 1PF 2面积
巩固训练：
1. 双曲线
22
1169
x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是____________
2、已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ．
3、 设F 1和F 2为双曲线2
2x
y 14
-=的两个焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=900, 则三角形F 1PF 2面积是
4、设F 1和F 2为双曲线
2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600则P 点到F 1和F 2两点的距离之和为___________
5、已知双曲线C 2
2
22x y 1a b
-=（a>0,b>0）的两个焦点为F 1(-2,0) ,F 2(2,0),点P （3双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 在坐标原点，过Q （0，2）的直线L 与双曲
线C 相交于不同的两点E,F ，若△OEF 的面积22，求直线L 的方程
考点六：直线和双曲线的位置关系
例4. 已知曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率23
3e =，直线l 过A (a ，0)、B (0,)b -两
点，原点O 到l 的距离是
3
。(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?ON OM ，求直线m 的方程。
变式训练：直线12:1:2
2
=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
巩固训练：1、已知双曲线22
22x y -=的左、右两个焦点为1F , 2F ，动点P 满足|P 1F |+|
P 2F |=4.求动点P 的轨迹E 的方程；设过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，问：终段O 2F 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.
2、已知双曲线C ：
λ-12x -λ
2y =1（0＜λ＜1）的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右
支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON =0，其中点O 为坐标原点.
3、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;
(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
81
,求k 的取值范围.
双曲线教案完整篇
2.3.1双曲线及其标准方程 教学目标： 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程: 一.情境设置 1.复习提问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 2.探究新知: (1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。 (2)设问：①|MF 1|与|MF 2 |哪个大？ ②点M到F 1与F 2 两点的距离的差怎样表示？ ③||MF 1|-|MF 2 ||与|F 1 F 2 |有何关系？ （请学生回答：应小于|F 1F 2 | 且大于零，当常数等于|F 1 F 2 | 时，轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线；当常数大于|F 1 F 2 | 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1 F 2 |）
的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即: （4）化简方程 由学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项，两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦 ()(), 22 22 2a y c x y c x =+-- ++()()a y c x y c x 22 22 2±=+-- ++()2 22y c x a a cx +-±=-()() 2 2222222 a c a y a x a c -=--) 0,0(1)0(,0,2222 2222222>>=->=->-∴>>b a b y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即
双曲线专题练习(含解析)
双曲线专题练习 5．（2020·陕西省西安市育才中学模拟）已知双曲线C：x2 a2－y2 16＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y ＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝()
A ．1 B ．13 C ．17 D ．1或13 6．（2020·辽宁省东北中山中学模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线 的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23 －y 2 ＝1 D ．x 2－ y 2 3 ＝1 7．（2020·河北省秦皇岛市第三中学模拟）如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝± 33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22 x D ．y ＝±2x 8.（2020·辽宁省海城市高级中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5， 0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1
9.（2020·吉林省四平市实验中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的 距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A. 53 B.355 C.63 D.62 10.（2020·黑龙江省双鸭山市第一中学模拟）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos △F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.4 5 11．（2020·江西省赣州市第一中学模拟）双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3 5x ，则a ＝ . 12．（2020·福建省福州高级中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c ，则其离心率的值为 ． 13．（2020·安徽省马鞍山市第二中学模拟）双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的 边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ . 14．（2020·江苏省太湖高级中学模拟）已知椭圆D ：x 250＋y 2 25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与 椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 15．（2020·浙江省义乌第二中学 模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→ ＝0. 16．（2020·黑龙江省绥化市第一中学模拟）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点
双曲线及其标准方程(教学设计)
双曲线及其标准方程 教学目标：1、熟练地掌握双曲线的定义、标准方程； 2、了解双曲线标准方程的推导方法。 教学重点：双曲线方程的推导； 教学难点：求双曲线的标准方程 教学过程： 复习引入 提问：椭圆的定义是什么？ 思考：如果将椭圆定义中的“和”改为“差”，又可以得到什么样的轨迹？ 讲授新知 一、双曲线的定义： 平面内，与两定点21,F F 的距离之差 等于 的点的轨迹叫双曲线。 符号语言为： 其中：① 两定点21,F F ——双曲线的焦点； ② c F F 221=——双曲线的焦距。 注意：c a 220<< 讨论：（1）若a a MF MF 2221-=-或，则点M 的轨迹是什么？ （2）若c a 22=，则点M 的轨迹是什么？ （3）若c a 22>，则点M 的轨迹是什么？ （4）若02=a ，则点M 的轨迹是什么？ 二、双曲线的标准方程 提问：1、求曲线的方程有哪些步骤？ 2、需要注意哪些问题？ 3、建系时，焦点在x 轴上和焦点在y 上，双曲线的标准方程有什么不同？ 4、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 例1、如果方程11 22 2=+-+m y m x 表示焦点在x 轴上的双曲线，求m 的取值范围。
变式1：如果方程 11 22 2=+-+m y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求m 的取值范围。 变式2：如果方程 11 22 2=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围 练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）3,4==b a ，焦点在x 轴上； （2）焦点为()()6,,5,0,5021的距离差的绝对值为到双曲线上一点， F F P -； 思考：如何求经过两点()() 3,72,627--， 的双曲线方程. 小结：1、本节课我们主要学习了哪些内容？ 2、有哪些需要注意的内容？ 作业：P54：A 组2、5
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习
1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56
高中数学 《双曲线》教案 新人教A版选修1-1
双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法启发引导式 教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．
四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数； (3)常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
双曲线及其标准方程教案
2．3．1双曲线及其标准方程第一课时 《双曲线及其标准方程》 一．教学目标 ?知识与技能目标 了解双曲线的定义，几何图形，标准方程 ?过程与方法目标 类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较 ?情感与态度目标 体会运动变化的观点，数形结合的思想方法 二．教材分析： 1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。 2．教学重点：双曲线的定义，标准方程 3．教学难点：双曲线标准方程的推导 三、教学过程： （一）导入新课 1．回顾椭圆的定义，标准方程
2．提出问题： 平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？ 3．实验探究上述问题 学生动手实验 P ．52拉链演示 4．多媒体演示 （二）推进新课 1．双曲线的定义： 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 即以曲线上的点M 满足：a MF MF 221=-（a 为定值，a F F 221>） 思考：（1）若a F F 221=，点M 的轨迹是什么？ （2）若a F F 221<，点M 的轨迹是什么？ 2．双曲线标准方程的推导 以焦点在x 轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。 得到双曲线的标准方程为12222=-b y a x 说明： （1）12222=-b y a x 或12222=-b x a y 均称为双曲线的标准方程； （2）c b a ,,三者的关系：222b a c +=，注意与椭圆中c b a ,,三者关
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
高二经典双曲线教案
双曲线 教学目标： 1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。 2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。 【教学内容】 1、引入: 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3 ；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的 1/4+1/5 ;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全 体黑牛数的1/3+1/4 ;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5 ;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6 ;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？(阿基米德分牛问题) 2、双曲线的基本概念 1. 双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点 F1, F2的距离之差的绝对值等于常 数2a(a 0,且2a RF?)的动点P的轨迹叫作双曲线?这两个定点斤丁2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距? 注意：1?双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：PF2|| 2a F1F2，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支； 3.若常数a满足约束条件：［PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹是以F2为端点的 两条射线(包括端点)； 4?若常数a满足约束条件：|| PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹不存在; 5?若常数a 0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 2.双曲线的标准方程： 2 2 冷爲1(a 0,b 0)，其中c1 2 a b 2 2 每~2 1(a 0, b 0)，其中c2 a b 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时 双曲线的标准方程; 1当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程: 2当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程: 2 ,2 a b ; 2 ,2 a b . ,才能得到
双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形，
最新整理初三数学九年级数学竞赛双曲线专题教案.docx
最新整理初三数学教案九年级数学竞赛双曲线专题 教案 2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在》0时函数的图象关于直线轴对称；在《0时函数的图象关于直线轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 例题求解 例1已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而(填增大或减小)． 思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可． 注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性． (2)一个常用命题： 如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则 ①S△AOB=； ②S矩形OBAC=． 例2如图，正比例函数()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB ⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则() A．S=1B．S=2C．S=D．S= 思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系． 例3如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
(1)求实数的取值范围； (2)若△AOB面积S＝24，求的值． ( 荆门市中考题) 思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程． 例4如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9． (1)求点P的坐标； (2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标． 思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．例5如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C 在轴上，点B在函数(，)的图象上，点P(，)是函数(，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合部分的面积为S． (1)求B点坐标和的值； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数关系式． 思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密． 注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程
双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》---------双曲线 主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题： 2 注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？ 3 注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法 （1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22 221(0,0)x y a b b a -=>>）， 则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线22 221x y a b -=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________； ②若双曲线的渐近线方程是b y x a =± ，则双曲线的方程可表示为_____________________； ③与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________； ⑤与椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为 ______________________________________________________________________________。 5．双曲线离心率的有关问题 （1）c e a = ，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e = 。 （3）双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。 ②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求 值域或解不等式来完成；b ． 通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。 6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 （1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？ （2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题： 考点一：双曲线的定义 例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2 +y 2 =2外切，与圆C 2：(x -4)2 +y 2 =2内切，求动圆圆心M 的 轨迹方程. 变式训练：由双曲线4 92 2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构
《双曲线的简单几何性质》教学设计.
《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
双曲线的定义及其标准方程教案
圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么椭圆的标准方程是什么 (学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．) 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数 2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响 生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样它的方程又是怎样的呢 (师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线边画、边操作、边说明．) 师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
《双曲线》教学设计
《双曲线》教学设计 教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化. 数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法 教学用具：CAI课件、演示教具 课时安排：一课时 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1 ｜+｜ PF 2｜=2a(常数)（2a>｜F 1 F 2 ｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一 个实验： （同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题） 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题） 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2 ｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭 圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？
（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2 ｜=2a或｜PF 2 ｜-｜PF 1 ｜=2a） 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2 ｜,则得到曲线的右支，如果｜PF 2 ｜＞｜PF 1 ｜则得到曲线的 左支. 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在|PF 1|-|PF 2 |=2a 左边加上绝对值 师：作为此时差的绝对值2a与|F 1F 2 |大小关系怎样？ （结合图像，学生分析：应该有2a（|F 1F 2 |) (在上述讨论的基础上引导引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书） 三、方程推导 师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？ （学生口述教师板书椭圆的标准方程） 师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程) 建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y),｜F 1F 2 ｜=2c，并 设F 1(-c,0),F 2 (c,0). 由两点间距离公式，得 ｜PF 1 ｜=2 2 ) (y c x+ +,｜PF2｜=2 2 ) (y c x+ - 由双曲线定义，得
2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学设计
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
双曲线的几何性质的教案
双曲线的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题． 二、教材分析 1．重点：双曲线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．) 3．疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解．) 三、活动设计 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．
2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它：