浅析射影几何及其应用讲解
浅析射影几何及其应用
湖北省黄冈中学
一、概述
射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究：
1、射影几何的基本概念及交比不变性
2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一）
3、对偶原理
4、二次曲线在射影几何上的应用
5、布列安桑定理和帕斯卡定理
6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程
1、射影几何的基本概念及交比不变性
射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。
射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。
在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：
1、过两点有且只有一条直线
2、两条直线有且只有一个交点
这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
里是何其相似，这与对偶原理有联系，实际上这是对偶原理的根本来源，其基本思想是：把线和点看作是对等的两类元素，这在中学几何中几乎是无法理解的。但是通过这样，可以将点和线定义成两种元素，两条公理可以统一为：有且只有一个元素与另外两个不同种元素相关联。这里“相关联”的意思是“点在直线上”或“直线通过点”。 所谓的射影变换，就是在一次或多次点光源或线光源的投影下进行的变换
。
如图表示的是在点光源（O 为光源，射影点）和平行光源下进行的射影变换。下面引入交比的概念。直线上四个点（可以是无穷远点）组成的点列（有顺序）A 、B 、C 、D 的交比定义为
DB DA CB CA CD AB /),(
需要注意的是这里的线段都是有向线段，即需先规定直线的正方向。交比的最基本的性质是：在射影变换下交比不变。
的，故交比不变其对应角的正弦是相等和对于同理有两式相除得，中，由正弦定理
和△证明：在△)'''',''''(),(sin sin /sin sin /sin sin sin sin sin sin sin sin D C B A CD AB DOB
DOA COB COA DB DA CB CA DOB
DOA OB OA DB DA COB
COA OB OA CB CA COB OCB
OB CB COA OCA OA CA OBC OAC ∠∠∠∠=∴∠∠?=∠∠?=∠?∠=∠?∠=交比的不变性在射影几何中有广泛的应用，在二次曲线中也有涉及。并且，若两条直线上的对应点都具有交比不变的性质，那么这个对应无论是怎么确定的（即使是非投影的方法）都可叫做射影对应。与此同时，我们还可定义出直线列、面列的交比，都可变成一条直线通过他们时的四个交点的交比，这里不详尽讨论。
2、笛沙格定理
笛沙格定理有空间和平面两种形式，但其本质是相同的，内容
如下：
两个（或同一个）平面内有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
空间形式的笛沙格定理易于证明。
三点共线。
、、故的交线上
、在、同理的交线上
、在即证明：I H G I H G G EF G BC G ββββ???∈∴?
?∈?∈,,
空间形式的笛沙格定理的逆定理也成立，可以用同一法给出证明：
D
D
P
CF
?
BE=
,D
PA
于
通过证明
,'
交
证明逆定理
交于
证明：设'
、
值得一提的是，笛沙格定理的对偶定理是它的逆定理。
平面中的笛沙格定理可以看做是空间图形“压下去了”，但是实际叙述中有很大难度，是否严谨也有待考究。平面中的证明需要用到梅涅劳斯定理，利用它也可以对空间图形进行证明。由于超出高考范围，这里不再深究，感兴趣的同学可以查阅资料进行探究。
以上是平面中笛沙格定理的一个证明。
来源：百度百科
3、对偶原理
对偶原理是射影几何中最引人注目的一个结论之一。其思想的精髓所在，早已超出了经典几何学，延伸到物理、化学等学科中。
在数学中，对偶原理被描述为：如果在一个射影几何学定理（正确的）中把点与直线的概念对换一下，把点的共线定义换成线的共点定义，所得命题仍然是正确的。这就是为什么要将点和线之间的关系描述为“相关联的”。下面所要介绍的布列安桑定理和帕斯卡定理就是一组对偶定理。（梅涅劳斯定理虽然和塞瓦定理形式相似，但他们属于度量几何学，不属于射影几何学的范畴）
物理学中对偶原理也有应用。例如在电磁学中，均匀导电媒质中的恒定电场与均匀介质中的静电场对偶，电流密度矢量J与电位移矢量D，电流I与电荷量q对偶，描述的也是点与线的关系。经典物理学中的最高成就，除了牛三大运动定律，就是麦克斯韦（J.Maxwell，1831-1879）方程组，具有极强的对称性，描述了电与磁之间的关系。只可惜天妒英才，这位伟大的物理学家在1865年提出后不久就去世了。在爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出相对论后，许多经典物理学中的公式和定义被改写（包括牛顿三大定律，甚至对空间和时间的概念），惟一没有变化的就是麦克斯韦方程组。具有优美数学形式，描述了自然界的本质的方程，历经沧桑之后仍能保持其本质，也是理所当然的。对偶原理是自然界最基本的原理之一，事实上，能够被称为“原理”的命题寥寥无几。
4、二次曲线在射影几何上的应用
二次曲线是解析几何中研究的一个重要内容，有许多种定义方法。为了更好研究它的性质，给出几种定义方法：
1、 平面中与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值)
2(221F F a a 的动点P 的轨迹叫做椭圆。这是我们最熟悉的一种椭圆的定义
方式。同样，到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹称为双
曲线。这两个定点叫做焦点。抛物线的焦点可以理解在一个无
穷远点处。我们初中学过的反比例函数的图像也叫做双曲线，
和这里的双曲线是不是一样呢？事实上，反比例函数是双曲线
的一种特殊形式：等轴双曲线。对勾函数实际上也是双曲线，
并且有两条对称轴（以前可能以为它只有对称中心）。
2、 平面内到定点F 的距离与到定直线的距离之比为定值e 的点的
轨迹。e 就是我们熟悉的离心率，定点就是二次曲线的焦点，
e=1时为抛物线，e>1时为双曲线，e<1时为椭圆。
3、 到两个顶点斜率之积为定值的点的轨迹。定值大于0时为双曲
线，小于0为椭圆。特别地，定值为-1时为圆。
4、 几何定义：用一个平面去截一个上下圆锥面，得到的交线就是
二次曲线。因为这个定义，二次曲线也被叫做圆锥曲线。圆锥
曲线这个名词实际上更常用一些。
将第一种定义与这种定义统一有一个非常巧妙的证明：丹德林的球
5、 形如022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 的方程表示的曲线叫
二次曲线。这就是二次曲线的解析定义。二次曲线和这种方程
是一一对应的。
下面将从两个对偶的方面研究二次曲线的射影定义。
圆是一种特殊的圆锥曲线，圆锥曲线可以定义为：一个圆在平面上的投影。但这并不是纯粹的射影定义，因为圆是度量几何的内容。众所周知，圆有一个这样的度量性质：一给定圆弧对的圆周角相等。考虑圆周上的四个点A、B、C、D，它就和交比这个射影的概念有关了。连接四个点与圆上的第五点O的四条直线a,b,c,d将有交比(ab,cd)并且这个交比不取决于O点的位置。现在把圆射影成任意二次曲线K，交比在射影中是不变的，这样引出：把二次曲线K上任意四点A、B、C、D和第五个点O用直线a、b、c、d连接起来，交比与O的位置无关。二次曲线这些射影性质，启发了我们对二次曲线的作图采取更一般的方法：先定义通过O的所有直线为一线束。二次曲线上有O，O’两点，通过他们的线束可以建立这样的一一对应：O的线束的任意四条直线a、b、c、d与O’的线束的对应直线有相同的交比，这一对应被称为线束之间的射影对应。显然这是点与点之间的射影对应的对偶定义。二次曲线的纯粹射影定义为：二次曲线是射影对应的线束中相应直线交点的轨迹。（二次曲线是点的轨迹）
射影定义的圆
射影定义的等轴双曲线（橙色渐近线）
用射影定义椭圆并不是很方便，因为交比并不是一个可以直接度量的量。并且交比趋向无穷时，直线会收缩在第一个点处。
下面从另一个方面研究二次曲线的性质。容易证明二次曲线这样一个基本的射影性质：二次曲线任意的四个固定的切线与第五个切线的交点的交比，与第五个点的位置无关。之所以说容易，是因为很容易在圆中证明这一性质，而射影后交比不变。
的特殊位置。不依赖于第五条切线
而仅依赖于四条切线
此推出交比的固定位置给出的。由，这四条射线的角是由
出发的四条射线的投影
是从
点
上的圆周角。因此所对的
等于弧上的圆周角。类似地，
对的
所等于弧
是圆心，则显然有如果
于点
交
的切点，切线
是另一切线
的四个切点，
任意切线
是圆上的问题。设
明这个定理是初等几何证明：对于圆来说，证
ο
ο
ο
,
,
,
,
)
,
(
,
,
,
, , ,
2
1
,
2
1
.
, , ,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
d
c
b
a
CD
AB
S
R
Q
P M
D
C B A
K
TQ
TMB
K
TP
TMP
TMP
TMA
M
D
C B A
d
c
b
a
T
d
c
b
a
S
R
Q
P
∠
∠
∠
=
∠
这个定理启发我们用上一个作图方法的对偶方法。如果两条直线上的点存在着射影对应（无论它是怎么确定的），那么它上面的四对对应点有相同的交比。这也被称做点类之间的射影对应。它表明：一个二次曲线K（看做是它的切线族）是由两条射影对应的直线对应点的连线组成的。
它与上面定义的椭圆有一个同样的弊端，即交比趋于无穷时，直线会收缩于一条定直线。（二次曲线是线曲线）
比较一下上面两种定义方法：
Ⅰ一个二次曲线是由点集组成的：它是两个射影对应的线束中对应直线的交点。
Ⅱ一个二次曲线是由直线集组成的：它是两个射影对应的点类中连接
对应点的直线。
以上两种定义方法都是有些复杂的，但是它却指出了这样一个结论：五点确定一条二次曲线。只要把其中两个点看做射影点，剩下三个点用于计算交比即可。这是前几种非解析的定义办法中难以做到的。
5、布列安桑定理和帕斯卡定理
布列安桑定理：六条边都和一条二次曲线相切的六边形的三条对角线三线共点。
帕斯卡定理：二次曲线的内接六边形的三对对边(所在直线)的交点共线。
这里的六边形可以是任何形状，甚至是重叠的，这里的交点当然也包括无穷远点。显然这两个定理是对偶的。用其他初等几何的方法也可以给出这两个定理的证明，但是利用射影几何显得更为直接简洁。我们可以把其中的一条边投影到无穷远处（这是允许的），从而只需对一个特殊情形进行证明。但这里的证明技巧不是所要求的，感兴趣的同学可查阅相关资料。
6、二次曲线蝴蝶定理
蝴蝶定理：设M为二次曲线的弦PQ的中点，过M作两条弦AB和CD，若AD和BC分别相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
这个命题作为一个征解问题最早出现在1815年英国一本杂志《男士日记》。登出的当年,英国一位自学成才的数学教师W.G.霍纳给出了第一个证明，证明过程完全是初等的；另一证明由理查德·泰勒给出。另一种早期的证明由M.布兰德在《几何问题》（1827）一书中给出。最为简便的证法是利用射影几何的证法（也就是我们要给出的证法），英国的J·开世在（《近世几何学初编》，李俨译，上海商务印书馆，1956 ）给出，只用了一句话，就是线束的交比。1981年，《Crux》杂志刊登K.萨蒂亚纳拉亚纳利用解析几何给出一种较为简单的方法（直线束和二次曲线束）。
三、总结
本次综合性学习的全部内容就是关于射影几何的基本知识，各个小组成员通力合作，积极思考，尽管在探究过程中不时遇到困难，但是在证明和绘图的技巧上进行了详细深入的讨论后，并且善于利用信息技术进行探究，最终各个问题都得到了圆满的解决，在此要向各位组员和提供宝贵建议的指导老师一并表示衷心的感谢。通过这次研究性学习，大家对于经典几何学的一个重要分支——射影几何，进行了探究，增长了自己的知识面，同时加深了对数学的精华部分的理解和抽象思维能力，陶冶了数学情操，这对平时解题也是大有裨益的。射影几何与中学几何的联系，给我们提供了解决中学几何问题的一些办法。对射影几何有所了解，就可以站在更高层面上认识几何的本质、内在联系和研究方法。
总之，认识射影几何的基本特性、研究方法，加深空间的概念，可以为进一步学习近代数学奠定好基础。在理论和实践结合上了解射影几何，就可以更深入掌握和驾驭中学几何的含义。小组成员懂得射影几何和中学几何的内在联系，扩大了对几何学的眼界，就会有助于我们在几何学的全局与整体角度来理解和分析中学几何，对中学几何中的许多问题作透彻的理解，增强处理处理中学几何问题的能力。在射影几何中贯穿着相似、类比、变换思想以及辩证唯物主义观点，有利于培养学生的情感价值观，这对学生对数学的长久兴趣将是十分有益的。
2014-5-27
射影几何
南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制
漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来
射影几何中仿射变换解初等几何题
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
浅谈解析几何的学习方法
浅谈解析几何的学习方法 ????高中数学中的解析几何内容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。 ????我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国着名数学家华罗庚。 ????作为学习解析几何的开始，我们引入了我国着名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。 ????当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。 一、夯实基础 1、正确理解定义 ??? 有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。????可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。
????教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些，只有靠你自己总结出来，才能真正成为你自己的东西，在做题的时候，你才能应用自如。看一遍书上的定义，合上课本，想一想，如果让你来描述，你会怎么说。当你能够给别人将这些定义解释清楚的时候，你就已经很好的理解了这些定义，做题时，你就不会因为忽略了定义中隐含的条件而一筹莫展了。 2、比一比，学会总结 ????这一章我们介绍了三种圆锥曲线，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间也有着千丝万缕的联系。学习完之后，自己比较一下，它们的定义、性质都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某个圆锥曲线所特有的。当你比较完之后，再回过头来看这一章，你会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。 ????记住，一定要自己去总结哦！！别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。 二、“数”与“形”要紧密联系 ????我们掌握了圆锥曲线的基础之后，就好比为我们的大厦打下了一个坚实的基础，现在，我们就可以正式建造我们的摩天大楼了！ 1、让“数”直观
射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到
大学解析几何学习资料
大学解析几何
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→ （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→?b a （1）><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平 面的夹角。 4、向量的外积→→?b a （遵循右手原则，且→→→⊥?a b a 、→→→⊥?b b a ） 321321 b b b a a a k j i b a → →→→→=?
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==? =?→→→→λ （2）00332211=++?=??⊥→→→→b a b a b a b a b a 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→ ，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→ 垂直于平面 2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→ 3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax （2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→n 垂直于x 轴 0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴） 平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴） 平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→ n 垂直于z 轴 0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴） （3）平面与xoy 面平行?法向量→ n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
圆锥曲线和射影几何
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D
证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。
解析几何学习知识重点情况总结复习资料
一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，
MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
浅析射影几何及其应用讲解
浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
射影几何学
射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐
解析几何教学指南
《空间解析几何》教学指南 说明： 1．课程性质 空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。 2．教学目的 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 （1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一； （2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 3．教学内容与学时安排： 第一章矢量与坐标 20学时 第二章轨迹与方程 6学时 第三章平面于空间直线 18学时 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时 第五章二次曲线的一般理论 22学时 第六章二次曲面的一般理论 4学时 4．课程教学重点与难点： 重点：基本概念；矢量计算；做图能力； 难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。 5．教学方法 本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。 6. 课程考核方法与要求： 本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。 内容： 第一章矢量与坐标（20学时） 1. 主要内容 （1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 （2）矢量的加法及其运算法则。 （3）数量乘矢量及其运算法则。 （4）矢量的线形运算及矢量的分解。
射影几何对初等几何教学的指导.
前言 射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还 直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何 三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以 通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点 （线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位， 不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联 系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、 方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的 培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维 过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的 学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。 1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义 定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点 形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。 定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过 同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角 点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。 图1 图2 定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线 形(完全四边形),记作完全四线形abcd。 定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在
同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。 1.2 完全四点(线)形的调和性质 定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有 (ss′, tt′) =－1。 图3 证明：如图3，根据定理[1] 1.10，有 （AB，PZ）=（DC，PZ） 同理（DC，QZ）=（BA，PZ） ∴（AB，PZ）=（BA，PZ） 但是（BA， PZ）= 1 (,) AB PZ ∴2 (,) AB PZ=1 但（AB，PZ）≠1 因此（AB，PZ）=－1 由定理[2] 1.9，有 （AB，CD）=(ab,cd) (ss′,tt′)=－1. 推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。 证明：如图3，根据定理[1] 1.10，有 （AB，PZ）=（DC，QZ） 同理（ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ） ∴（AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）
射影几何的起源
射影几何的起源 在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。 所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。 射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。 为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。 公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。 在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。 公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。 他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。 不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！ 笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。这个定理后来便以笛沙格的名字命名。 有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。 在射影几何中，上述现象具有普遍性。一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译： 将得到一个“对偶”的命题。两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。这便是射影几何中独有的“对偶原理”。 射影几何的另一位奠基者是数学史上公认的“神童”法国数学家帕斯卡。
解析几何教学大纲
《解析几何》教学大纲 课程名称：解析几何 课程编号：0640901 课程类别：学科基础课程 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） 总学时数： 54 学分： 3 一、课程性质和教学目标 1．课程性质：解析几何是数学与应用数学专业必修基础课程，解析几何、高等代数、数学分析是大学数学类专业的“前三高”基础课。本课程与高等几何(II)一起，构成高等几何课程。本课程以空间解析几何为其主体内容。在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。 2．教学目标：在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。通过学习，要求学生能够以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程，能够利用代数的方法判定平面与平面，空间直线与空间直线及空间直线与平面的位置关系。能够利用平面直线及平面曲线建立柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面的方程。 二、教学要求和教学内容 第一章向量与坐标（12学时） 【教学要求】 1．掌握向量的概念及向量的加法，减法，数量乘向量； 2．了解向量的线性关系与分解及向量在轴上的射影； 3．熟练掌握两个向量的数量积、向量积及三向量的混合积； 4．熟练掌握有关向量的运算公式与方法； 5．掌握用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系，以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程。 【教学内容】 讲授内容 第一节向量的概念 第二节向量的加法 第三节数量乘向量
第四节向量的线性关系与分解。 第五节标架与坐标 第六节向量在轴上的射影 第七节两向量的数量积 第八节两向量的向量积 第九节三向量的混合积 第二章轨迹与方程（4学时） 【教学要求】 1．了解以向量及坐标系为工具建立平面与空间曲线方程； 2．熟练掌握母线平行于坐标轴的柱面方程。 【教学内容】 ●讲授内容 第一节平面曲线与方程 第二节曲线与方程 第三节母线平行于坐标轴的柱面方程 第四节空间曲线方程 第三章平面与空间直线（12学时） 【教学要求】 1．掌握平面的各种方程形式； 2．熟练掌握利用代数的方法判定平面与点、平面与平面、空间两直线、空间直线与平面及空间直线与点的位置关系； 3．掌握利用平面束解决相关问题； 【教学内容】 ●讲授内容 第一节平面方程 第二节平面与点的相关位置 第三节两平面的相关位置 第四节空间直线方程 第五节直线与平面的相关位置 第六节空间两直线的相关位置 第七节空间直线与点的相关位置 第八节平面束
射影几何观点在初等几何中的应用
答卷封面 (COVER) 课程名称（Subject）：高等几何 编号(No.)： 系别(Department): 信息科学系 专业(Major)：数学与应用数学 姓名(Name)： 学号(Student’s Number)： 注意事项（Notes） 1.考生需按题签将上述有关项目填写清楚 2.字迹要清楚，保持卷面清洁。 3.交卷时请将本答卷和题签一起上交，题签作为封面下一页装订。 1、Candidates should fill in the information appropriately. 2、Keep the handwriting clear and the paper tidy. 3、Candidate should hand in this cover and paper together; the answer sheet should be attached to the cover.
摘要 射影几何在初等几何中的应用是十分广泛的。 射影几何是研究射影性质和射影不变量的几何。如同素性，结合性，交比等。 射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。 射影几何最重要的应用是在对初等几何数学的指导，它不仅表现在提高数学思想与观念上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何的性质，指导研究初等几何中的一些问题。 本文就简单介绍了仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比、线束中四条直线的交比在初等几何中的应用。
解析几何学案
目录 7.1直线的倾斜角和斜率（1） (2) 7.1直线的倾斜角和斜率（2） (5) 7.2直线的方程（1） (7) 7.2直线的方程（2） (11) 7.2直线的方程（3） (14) 7.3两条直线的位置关系（1）——平行与垂直 (17) 7.3两条直线的位置关系（2）——夹角 (19) 7.3两条直线的位置关系（3）——交点 (21) 7.3两条直线的位置关系（4）―点到直线的距离公式 (23) 7.3两条直线的位置关系习题课 (26) 7.4简单的线型规划（1） (29) 7.4简单的线型规划（2） (32) 7.4简单的线型规划（3） (34) 7.5曲线和方程（1）曲线和方程 (36) 7.5曲线和方程（2） (38) 7.6圆的方程（1） (41) 7.6圆的方程（2） (45) 7.6圆的方程（3） (48) 8.1椭圆及其标准方程（1） (51) 8.1椭圆及其标准方程（2） (53) 8.1椭圆及其标准方程（3） (55) 8.2椭圆的几何性质（1） (57) 8.2椭圆的几何性质（2） (59) 8.2椭圆的几何性质（3） (61) 8.2椭圆的几何性质（4） (63) 8.3双曲线及其标准方程（1） (65) 8.3双曲线及其标准方程（2） (68) 8.4双曲线的几何性质（1） (71) 8.4双曲线的几何性质（2） (74) 8.4双曲线的几何性质（3） (76) 8.4直线与双曲线的位置关系（4） (78) 8.5抛物线及其标准方程（1） (81) 8.5抛物线及其标准方程（2） (83) 8.6抛物线的简单几何性质（1） (85) 8.6抛物线的简单几何性质（2） (87)
位置几何──射影几何学
位置几何──射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样
就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影