人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习(解析版)
人教版八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝22，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP=2OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝22，
∴OA＝OP＝22，
∴P的坐标是（﹣22，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为
___________．
【答案】4
【解析】
延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，
∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】
延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，
BM CE
MBD ECD
BD CD
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝，
＝
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
MD ED
MDN EDN
DN DN
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝，
＝
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，已知等边ABC
?的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF
?，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5
CM CN
==，则MN的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出
1
2
4
CG BC
==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．
【详解】
解：如图示：作CG⊥MN于G，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
即∠ACE=∠BCF，
在△ACE与△BCF中
AC BC
ACE BCF
CE CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACE≌△BCF（SAS），
又∵AD是三角形△ABC的中线
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴
1
2
4
CG BC
==，
在Rt△CMG中，2222
543
MG CM CG
=-=-，
∴MN=2MG=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线5．如图，点P是AOB
++的最小值是5 cm，则AOB
OB上的动点，PN PM MN
∠的度数是__________．
【答案】30°
【解析】
试题解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，
分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：
∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，
∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；
∵点P 关于OB 的对称点为C ，
∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，
∴OC=OP=OD ，∠AOB=
12
∠COD ， ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP ，
∴OC=OD=CD ， 即△OCD 是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
6．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?，
92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．
【答案】128?
【解析】
【分析】
连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，
ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证?A CE ??BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则
∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】
连接CE ，
∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，
∴CA=CB ，CE=CD ，
∵72ABC EDC ∠=∠=?=∠DEC ，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD ，
在?ACE 与?BCD 中，
∵CA CB ACE BCD CE CD =??∠=∠??=?
，
∴?ACE ?
?BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，
设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，
∴在?BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．
故答案是：128?．
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
7．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③EF=AB；
④
1
2ABC
AEPF
S S
?
=
四边形
，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②④
【解析】
试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，
{?
PAE PCF
AP CP
EPA FPC
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=1
2
S△ABC，①②④正确；
而AP=1
2
BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，
∴故③不成立．
故始终正确的是①②④．
故选D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.
【详解】
解：如图：连接BE
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，
∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F＝30°，
∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∠ABC ＝90°﹣∠A ＝60°，
∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，
∴∠CBE ＝∠F ，
∴BE ＝EF ，
在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，
∴EF ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.
9．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.
【答案】10.
【解析】
【分析】
延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ???，而后证明AFG ?、CDF ?是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.
【详解】
解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，
∵点E 是线段AB 的中点，
∴AE=BE,
∴在BDE ?和AGE ?中，
BE AE BED AEG
DE EG =??∠=∠??=?
, ∴BDE AGE ???,
∴AG=BD, BDE AGE ∠=∠,
∵AF=BD=8,
∴AG=AF,
∴AFG AGE ∠=∠
∵AFG DFC ∠=∠,
∴BDE DFC ∠=∠,
∴FC=DC,
∴FC=2,
∴AC=AF+FC=8+2=10.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
10．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，
按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=
（ ）
A ．102a
B ．92a
C ．20a
D ．18
a 【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．
【详解】
解：1212B A B B =，11A B O α∠=，
2212
A B O α∴∠=， 同理332111222
A B O αα∠=?=， 443
12A B O α∠=， 1
12n n n A B O α-∴∠=， 101092A B O α
∴∠=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
12．如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG ＝2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG ＝∠ACB ；④∠CFB ＝135°，其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB ，∠BAG=2∠ABF ．所以可知选项①③④正确．
【详解】
∵AB ⊥AC ．
∴∠BAC ＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB ＝180°，
∴∠ABC+∠ACB ＝90°
∵CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB ＝90°
∴∠FBC+∠FCB ＝45°
∴∠BFC ＝135°故④正确．
∵AG ∥BC ，
∴∠BAG ＝∠ABC
∵∠ABC ＝2∠ABF
∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确．
∵AB ⊥AC ，
∴∠ABC+∠ACB ＝90°，
∵AG ⊥BG ，
∴∠ABG+∠GAB ＝90°
∵∠BAG ＝∠ABC ，
∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．如图，已知：30MON ∠=?，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112
OA =，则667A B A 的边长为( )
A．6 B．12 C．16 D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理
求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=1
2
，得出△A1B1A2的边长
为1
2
，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为1，△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：
22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB1A1，
∴B1A1=OA1=1
2
，
∴△A1B1A2的边长为1
2
，
同理得：∠OB2A2=30°，
∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=1
2
+
1
2
=1，
∴△A2B2A3的边长为1，
同理可得：△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．
14．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣5
2
）和B（3，﹣
11
2
）是图形上的一
对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3
2
）C．（﹣
3
2
，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
【答案】A 【解析】【分析】
先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】
解：∵A （3，﹣
52
）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m ；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n ．
15．如图，在ABC ?中，120BAC ?∠=，点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：
①60EDF ?∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.
则其中正确的结论有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60?，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.
【详解】
∵,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴∠DEA=∠DFA=90?，
∵120BAC ?∠=,
∴∠EDF=360?-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60?，故①正确；
∵120BAC ?∠=，
∴∠B+∠C=60?，
∵点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴BH=AH ，AG=CG ，
∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，
∴∠BAH+∠GAC=60?，
∵无条件证明∠GAD=∠HAD,
∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；
∵∠ADF+∠DAF=90?，∠B=∠BAH,
90BAH DAF ∠+∠≠,
∴B ADF ∠≠∠，故③错误；
∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，
∴ 60BHE ∠≠，
∴60DHG ∠≠，
∴DHG HDG ∠≠∠,
∴GD GH ≠，故④错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.
16．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，
30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.
【详解】
如图，延长BD 到M 使得DM =DC.
∵∠ADB =75°，
∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.
∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，
∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，
∴∠ADM =∠ADC.
在△ADM 和△ADC 中，
∵
AD AD
ADM ADC
DM DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC.
∵AC=AB，
∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.
∵∠
ABD=60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°.
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=30°.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，
∴∠CBD=15°.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.
17．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
首先证明△DOB≌△COA（SAS），推出S△DOB﹣S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】
∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB．
∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°．
∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA．
在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC．
∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣
S△AOE=S△EOC
1
2
=?2×2=2．
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．
18．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2CE=8
又∵AABC的周长为24，
∴AB+BC+AC=24
∴AB+AC=24-BC=24-8=16
∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
19．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD 等于（）
A．108°B．114°C．126°D．129°
【答案】C
【解析】
【分析】
按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．
【详解】
解:展开如图,五角星的每个角的度数是,
180
=36°.
5
∵∠COD=360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,
∴∠OCD=180°-36°-18°=126°,故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．
20．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）
A．70°，70°B．40°，100°
C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°
【答案】D
【解析】
分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．
详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故选：D．
点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．
八年级上册全等三角形专题练习(解析版)
八年级上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，
AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ， ∴AN ⊥BE ，FN=EN ， 在△ABN 与△GBN 中，
新人教版八年级全等三角形教案
11．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生 的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形 的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用 表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如
DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ??? 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，13。1-1DEF ABC ???，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D A D B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ B E （3）如图，,A C D A B E ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠ B A ，求AD C ∠的大小。 B C
人教版八年级数学上册-专题练习：因式分解
专题练习：因式分解 学好数学的秘密 1、学完多思考 2、多做练习题 3、善于总结规律 学好数学的秘密 1、学完多思考 要想学好数学一定要多思考。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学习数学必须具备的能力。同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。 2、多做练习题 要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 3、善于总结规律 我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C) ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)； ②x2＋4x＋4＝(x＋2)2； ③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)． A．3个B．2个C．1个D．0个 2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3) 3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A) A．2x－2 B．2x＋2 C．4x＋1 D．4x＋2 解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0 C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0 解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0 5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__． 7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__． 8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．
八年级上册全等三角形专题练习(word版
八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC
PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB ，PE BC ∥ ∴四边形HBDP 是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE 是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE 是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ， 12 ），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____． 【答案】-8 3．
人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最
新人教版八年级全等三角形教案
课题：12．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。 学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。 课前准备：全等三角形纸片 【教学教程】 一、创设情境，引入新课 1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？ 一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。 归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.学生动手操作 3.⑴在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。 ⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？ 3.板书课题：全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示，读着“全等于” 如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF 二、探究 全等三角形中的对应元素 1. 问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？ 2．学生讨论、交流、归纳得出： ⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。 ⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。 全等三角形的性质 1.观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边 有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． 2.用几何语言表示全等三角形的性质 如图：∵?ABC≌?DEF
人教版八年级数学上册 全册全套试卷专题练习(word版
人教版八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（） A．144°B．84°C．74°D．54° 【答案】B 【解析】 正五边形的内角是∠ABC=() 52180 5 -? =108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角 是∠ABE=∠E=() 62180 6 -? =120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°– 120°–120°–36°=84°，故选B． 2．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____． 【答案】92°． 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为：92°．
【点睛】 考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 3．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2． 【答案】12cm2． 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC 的面积的一半． 【详解】 解：∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD=2S△ACE=6cm2． ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ACD=12cm2． 故答案为12cm2． 【点睛】 此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 4．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可． 【详解】 解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，
数学八年级上册 全等三角形(篇)(Word版 含解析)
数学八年级上册全等三角形（篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD， ③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A ∠的度数，即可得到答案． 【详解】 （1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意， 当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°， ∴∠BDA=180°-25°×2=130°． 故答案为：130°； （2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠BAC=90°． ②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°，
八年级上数学期末专题复习
轴对称 14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在 马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B 的距离之差最大时，这个差等于______米． 15 、如图，△ ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______ 16、等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，则另两边的长分别是______ 17、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 18、如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是______ (第十四题) (第十五题) (第十七题) (第十八题) 5、等边△ABC是边长为1，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长。 16、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由． 17、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC 于E，求证CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D
18、如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C=35°，且AB+BD=DC ，求∠B 度数。 19、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） 20、如图1，已知△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。①证明DM=DN ； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。 21、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ． A B C 备用图① A B C 备用图② A B C 备用图③ C A B D A D C N F E B M 图2 A D C F E B M 图3 A D C N F E B M 图1
八年级数学上册全等三角形知识点总结
第十二章《全等三角形 》 知识点归纳 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。SSS （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边 对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。
八年级数学全等三角形复习题及答案
初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形
八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版
八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6． 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ． ∵△APE 的面积等于6，∴S △APE = 12AP ?CE =1 2 AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S = 12EP ?AC =1 2 ?EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．
人教版八年级数学上册全等三角形(含知识点)
人教版数学 2020-2021 教案 2021-2022学年度 秋季 八年级上学期 人教版数学 全等三角形课后训练 基础巩固 1．下列说法中，不正确的是( )． A ．形状相同的两个图形是全等形 B ．大小不同的两个图形不是全等形 C ．形状、大小都相同的两个三角形是全等三角形 D ．能够完全重合的两个图形是全等形 2．如图所示，△ABD ≌△BAC ，B ，C 和A ，D 分别是对应顶点，如果AB ＝4 cm ，BD ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )． A ．5 cm B ．4 cm C ．3 cm D ．无法确定 3．如图所示，△ABC ≌△ADC ，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数是( )． A ．70° B ．45° C ．30° D ．35° 4．如图所示，△ABC 与△DBE 是全等三角形，即△ABC ≌△DBE ，那么图中相等的角有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 5．如图所示，△ABC 与△DEF 是全等三角形，即△ABC ≌△DEF ，那么图中相等的线段有( )． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 6．(1)已知：如图，△ABE ≌△A CD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角．
人教版数学2020-2021 (2)由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？ 能力提升 7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M ，N 的距离，如果△PQO ≌△N MO ，则只需测出其长度的线段是( )． A ．PO B ．PQ C ．MO D ．MQ 8．如图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有__________对． 9．如图所示，△ADF ≌△CBE ，且点E ，B ，D ，F 在一条直线上．判断AD 与BC 的位置关系，并加以说明． 10．某人想把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1.请你在下图中，帮他沿着虚线画出四种不同的分法．
(完整)八年级上册数学全等三角形练习题
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 八年级数学上册全册全套试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____． 【答案】105°． 【解析】 【分析】 先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°， ∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°． 故答案为：105°． 【点睛】 此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键． 2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度． 【答案】360 ° 【解析】 如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°. 点睛：本题考查的知识点： （1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°． 3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是 __________ ． 【答案】γ=2α+β． 【解析】 【分析】 根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 十二章三角形知识点导学案 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类 3. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 要求会的题型： ①数三角形的个数 方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC 的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC 上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 八年级数学上册全册全套试卷专题练习（ word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．△ABC 的两边长为4和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是_______． 【答案】 1722 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE 的取值范围，便不难得出m 的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD ， 在△ABD 和△ECD 中， AD DE ADB EDC BD CD =?? ∠=∠??=? , ∴△ABD ≌△ECD （SAS ）， ∴CE=AB ， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE ＜4+3， 即1＜AE ＜7， ∴ 1722 m <<． 故答案为：17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____． 【答案】115°． 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出 ∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数． 【详解】 解；∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠B和∠C的平分线交于点O， ∴∠OBC＝1 2 ∠ABC，∠OCB＝ 1 2 ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝1 2 ×（∠ABC+∠ACB）＝ 1 2 ×130°＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°， 故答案为：115°． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数． 3．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度． 【答案】360 ° 【解析】 如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°. 八年级全等三角形综合测试卷（word含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】 （1）当点P在x轴正半轴上， ①如图，以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP＝45°，OA＝22， 当∠AOP为顶角时，OA=OP=22， 当∠OAP为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°， ∴OP=2OA=4， ∴P的坐标是（4，0）或（22，0）. ②以OA为底边时， ∵点A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP=45°， ∵AP=OP， ∴∠OAP=∠AOP=45°， ∴∠OPA=90°， ∴OP=2， ∴P点坐标为（2，0）. （2）当点P在x轴负半轴上， ③以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴OA＝22， ∴OA＝OP＝22， ∴P的坐标是（﹣22，0）． 综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）． 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】 5 5),(0,4),0, 4 ?? ? ?? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝22 125 += ∴D（05）；八年级数学上册全册全套试卷专题练习(解析版)
八年级上册数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理
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