最新协方差分析在教学评价中的应用

协方差分析在教学评价中的应用

摘要:通过回归分析和方差分析方法的结合,协方差分析方法能够有效地消除混杂因素对分析指标的影响.运用SPSS软件,对某

高校六个班一门基础课和一门专业课上下学期的期末成绩进

行了协方差分析.结论显示,协方差分析方法能够对教学效率

做出更合理的评价.

关键词: 协方差分析教学效率方差分析

一前言

方差分析是从质量因子探讨不同因素水平对实验指标影响的差异.一般来说,质量因子是可以人为控制的.回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系.大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的.

协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法.在许多有关效果评价的实验中,经常会出现可控制的质量因子和不可控制的数量因子同时影响实验结果的情况,这时就需要采用协方差分析的统计处理方法,将质量因子与数量因子(即协变量)综合起来加以考虑.

比如,在实际的教学管理中,要评价教学效率和质量,比较不同班级同一课程的学习效率,除了要考虑使用教程、教师素质、教学方法、

班级学风、学生学习努力程度这些当前影响因素以外,学生的前期学习基础差异也影响着当前的教学效率.为了能够准确地考查评价教学效率,必须消除前期学习基础差异这些因素的影响,才能得到正确的评价.

方差分析法忽视了学生的基础成绩对当前成绩的影响,没有考虑学生的基础成绩这一混杂因素的影响,仅仅对当前的学生学习成绩进行评价,得出的结论就不能全面客观地反映实际教学效率.

本研究采用协方差分析法,利用一个教学班两个学期的物流管理课程期末成绩和配送中心管理课程期末成绩的数据,对教学效率的评价问题进行了研究.

二协方差分析及公式

为了提高实验效果的精确性,需要尽力排除影响实验结果的其他因素,即非处理因素(混杂因素)的干扰和影响,使各处理间尽量一致,再对各处理因素做方差分析,这就是协方差分析.

协方差分析的基本思想是在作两组或多组均数yi(i =1,2,…, n)之间的比较前,用直线回归方法找出各组因变量与协变量之间的数量关系,求得在假定协变量相等时的修正均数yi(i =1,2,…, n),然后用方差分析比较修正均数的差别.协方差分析涉及一些较深的统计理论, （1）计算各组的均值、平方和及协方和:

(2)计算公共组内平方和及协方和:

(3)计算总均值、总平方和及总协方和:

当p个总体均值有显著差异时,就需要对均值排序,又由于有协变量的影响,所以需把协变量都取在相同的水平上,这时就有

, 其中

然后,用方差分析比较各修正后均数yi′

(i=1,2,…, p)间的差别,当x对y有影响时,便可得到消除x的影响后的结论.

三 spss分析

2.1样本数据的说明与初步分析

收集到六个班级共219名学生第四学期物流学概论课(基础课)期末成绩(x)和第五学期配送中心管理课(专业课)的期末成绩(y)

物流学概论课(基础课)平均成绩

班级平均成绩人数

1 87.875 48

2 86.0937 32

3 76.8519 27

4 92.0606 33

5 88.0714 42

6 87.2568 37

配送中心管理课(专业课)平均成绩

班级平均成绩人数成绩排序

1 82.6458 48

3 2 82.7188 32

2 3 74.9259 27

6 4 83.7273 33

1 5 79.3095 42

5 6 80.9459 37 4

利用多元统计分析中的双变量相关分析来研究物流课成绩和配送课成绩之间的相关性,计算出六个班级物流管理课成绩(x)和配送中心管理课成绩(y)之间的皮尔逊相关系数及相关P 值.

描述统计量表1

相关分析表2 物平配平描述性统计量均值标准差 N 物平 86.368233 5.0793637 219 配平

80.712200 3.2360325 219

物平Pearson 相关性 1 .881*

显著性（双侧）.020

N 219 219 配平Pearson 相关性.881* 1

显著性（双侧）.020

N 219 219 *. 在 0.05 水平（双侧）上显著相关。

因为P=0. 02表明物流课成绩和配送课成绩之间有显著的相关关系.这为考虑学生基础成绩存在差异的情况下使用协方差分析方法评价教学效率提供了依据.当不考虑协变量物流课成绩x的影响时,只需对配送课成绩(y)做单因素方差分析. SPSS软件输出结果见表3,可见在显著水平α=0. 01下, P=0. 137(0. 差异并不显著.也就是说,如果不考虑基础知识x的影响,可以认为这六个班的学习成绩趋于一致,并且从一班到六班配送课的成绩排序为第三、第二、第六、第一、第五、第四.

配送中心管理课成绩方差分析表3

ANOVA

spss学习系列23.协方差分析

（一）原理一、基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。

二、协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1）其中，X 为所有协变量的平均值。注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β. 2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差，

spss协方差分析的基本原理-最棒的

协方差分析的基本原理 1．协方差分析的提出无论是单因素方差分析还是多因素方差分析，它们都有一些人为可以控制的控制变量。在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。又比如，考查受教育程度对个人工资是否有显著影响，这时必须考虑工作年限因素。一般情况下，工作年限越长，工资就越高。在研究此问题时必须排除工作年限因素的影响，才能得出正确的结论。再如，如果要了解接受不同处理的小白鼠经过一段时间饲养后体重增加量有无差别，已知体重的增加和小白鼠的进食量有关，接受不同处理的小白鼠其进食量可能不同，这时为了控制进食量对体重增加的影响，可在统计阶段利用协方差分析（Analysis of Covariance），通过统计模型的校正使得各组在“进食量”这个变量的影响上相等，即将进食量作为协变量，然后分析不同处理对小白鼠体重增加量的影响。为了更加准确地控制变量不同水平对结果的影响，应该尽量排除其它在实验设计阶段难以控制或者是无法严格控制的因素对分析结果的影响。利用协方差分析就可以完成这样的功能。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。以下将以一元协方差分析为例，讲述协方差分析的基本思想和步骤。 2．协方差分析的计算公式以单因素协方差分析为例，总的变异平方和表示为： Q Q Q Q ++ 总控制变量协变量随机变量＝协方差分析仍然采用F检验，其零假设 H为多个控制变量的不同水平下，各总体平均值没有显著差异。 F统计量计算公式为： 2 2 S F S 控制变量控制变量随机变量＝, 2 2 S F S 协变量协变量随机变量＝以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率值。如果F 控制变量的相伴概率小于或等于显著性水平，则控制变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响；如果F 协变量的相伴概率小于或等于显著性水平，则协变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响。 3．协方差分析需要满足的假设条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；（2）对连续变量或定居变量的协变量的测量不能有误差；（3）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；（4）协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中，协变量的回归系数（即各回归线的斜率）必须是相等的，即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设。

方差分析和协方差分析,协变量和控制变量

方差分析和协方差分析,协变量和控制变量方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。假定条件和假设检验? 1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说

协方差分析

协方差分析某城市教育局在一次对全市初中一年级至高中三年级学生的调查研究中想要考察身心发展对学习成绩的影响，研究者手机了各学校初一年级至高三年级学生的学业成绩以及相关身心发展量表得分，在分析时以学生所在年级来代表年龄差异，但是由于男同学与女同学的身心发展存在差异，因此需要在结果中排除性别因素，然而无法在收集数据时只收集男同学的数据或收集女同学的数据，那么该如何排除性别因素对结果的影响呢？在实验设计中，考虑到实际的实验情形，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变量（干扰变量），为了排除这些不能在实验处理中所操作的变量，而其结果又会影响因变量，可以通过“统计控制”的方法来弥补实验控制的不足，为了提高实验研究的内在效率，必须将可能干扰实验结果的无关变量加以控制，不致产生严重的系统性误差。控制系统误差的方法有很多，例如以随机的方式将被试分配至不同群体；将系统误差加入实验设计，使其变成一个自变量；尽可能控制可控制的系统误差如光纤亮度、噪音等。实验研究的优点众所周知，即其严密的逻辑性以及可以良好的控制误差，但是让一个标准的实验设计走出实验室，在社会科学领域实施通常比较困难。因此在社会科学领域中经常实施的是准实验设计，在准实验设计中无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变量，故经常增加实验内在效度的方法——统计控制法，最常用的便是协方差分析（analysis of covariance，ANCOV A）。顾名思义，协方差分析是方差分析的一种，它也包括自变量与因变量，同方差分析，因变量为连续变量且需要满足方差分析关于因变量的假设条件，自变量为分类变量。不同的是，并不是实验所关注的自变量却为研究者进行控制的一类变量被加入分析，它们被称为“协变量”（covariate），要注意，协变量是连续变量。 1.协方差分析的假设协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值独立、方差齐性等，此外还有三个重要的假设： 1)因变量与协方差之间直线关系； 2)所测量的协变量不应有误差，如果选用的是多项的量表，应有高的内部一致性信度或重测信度，α系数最好大于0.80。这一假设若被违反会造成犯一类错误的概率上升，降低统计检验力。 3)“组内回归系数同质性”（homogeneity of with in rgression），各实验处理组中一举协变量（X）预测因变量（Y）的回归线的回归系数要相等，即斜率相等，各条回归线平行。如果斜率不等则不宜直接进行协方差分析。 2.协方差分析的方差分解方差分析的原理是将因变量的总方差分解成自变量效果（组间）与误差效果（组内）两个部分，再进行F检验。协方差使用的也是这样的方差分析思路，将因变量的总方差先行分割为协变量可解释部分与不可解释部分，不可解释的部分再由方差分析原理进行拆解。协方差分析的方差拆解如下： 3.协方差分析的步骤协方差分析结合了回归分析与方差分析的方法，计算方法比较复杂，由于涉及回归分析的基本思路，因此一下内容也许需要在阅读了本章第六部分“一元线性回归分析”后理解得更加透彻。以单因素协方差分析为例说明协方差分析的步骤： 1)协方差分析的准备（B：组间；W：组内；T：总和；n：组内样本容量；k：组间容量；x：协变量；y：因变量）

协方差分析

第十一节协方差分析 (analysis of covariance) 在各种试验设计中，对应变量（dependent variable）Y 研究时，常希望其他可能影响Y的变量在各组间保持基本一致，以达到均衡可比。例如：比较几种药物的降压作用，各试验组在原始血压、性别、年龄等指标应无差异。

第十一节协方差分析有时这些变量不能控制，须在统计分析时，通过一定方法来消除这些变量的影响后，再对应变量y作出统计推断。称这些影响变量为协变量（Covariate）。如果所控制的变量是分类变量时，可用多因素的方差分析；当要控制的变量是连续型变量时，可用协方差分析，以消除协变量的影响，或将协变量化成相等后，对y的修正均数进行方差分析。

第十一节协方差分析例如：比较几种不同饲料对动物体重增加的作用，可把动物的进食量作为协变量。比较大学生和运动员的肺活量时，可把身高作为协变量。比较治疗后二组舒张压的大小，可把治疗前的舒张压作为协变量。

第十一节协方差分析协方差分析的基本原理：协方差分析是把直线回归和方差分析结合起来的一种统计分析方法。当不同处理结果的y值受协变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较，这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。

协方差分析的步骤 ±观察指标服从正态分布、方差齐性、各观察相互独立H检验分组因素与协变量x是否有交互作用。对上例，即是否雌雄羔羊进食量相同，它们的体重增加量却不相同。如检验结果分组因素与协变量x间没有交互作用，即说明雌雄羔羊进食量相同的情况下，它们的体重增加量是相同的。进行第二项检验： H检验协变量与应变量之间是否存在线性关系。如果不存在线性关系，则不能简单地运用协方差分析，因为协方差分析是利用协变量x与应变量y之间的线性回归关系扣除协变量x对y的影响。必要时可考虑进行变量转换。如果检验结果协变量与应变量之间存在线性关系，则进行第三项检验： H进一步扣除x对y影响的前提下，检验各组的修正均数差别是否有统计学意义。

SPSS-单因素方差研究分析(ANOVA)-案例解析

SPSS单因素方差分析(ANOVA)- 案例解析

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SPSS单因素方差分析（?ANOVA）案例解析 2011-08-30 11:10 这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近学习SPSS单因素方差分析（ANOVA分析，今天希望跟大家交流和分享一下：继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察老鼠死亡和存活情况。研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠b代表雌性老鼠0代表死亡1代表活着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果）点击“分析”一一比较均值------ 单因素AVOVA,如下所示:

从上图可以看出，只有“两个变量”可选，对于“组别（性别）”变量不可选，这里可能需要进行“转换”对数据重新进行编码，点击“转换”一“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如下结果”

組别 g g生存时间tim 生存结局stat us ro a51r3.w \ a70/ 8.00 a131；' a.oo 131I 3 OG i a23 1 I BOO a301 1 9.00 1 a J 300\ 8.00._1 a羽1\ 000 a421\ B.OO a421\ s.oo a450 \ S 00./d h 119 00 b319.0C ]b3 19.00 Tb119 00 101900 b1519.00 ]b 1519.00 b2319.00 〕b3019 00 此时的8代表a（雄性老鼠）9代表b雌性老鼠，移入“因变量列表”框内，将“性别”移入“因子” 按钮，如下所示：我们将“生存结局”变量框内，点击“两两比较”

23. 协方差分析

23. 协方差分析一、基本原理 1. 基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上

的协变量时，称为多元协方差分析。 2. 协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。二、协方差理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1）其中，X 为所有协变量的平均值。注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++

应用回归分析,第4章课后习题参考答案

第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差

的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2）加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或

第9章方差分析思考与练习-带答案

第九章方差分析【思考与练习】一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS 、、各表示什么含义？总组间组内 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著

3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+ 6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差 D. SS SS SS SS =++B A 总误差 E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差 7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析

协方差分析理论与案例

协方差分析理论与案例假设我们有N 个个体的K 个属性在T 个不同时期的样本观测值，用it y ,it x ，…，N,t=1，…，T,k=1，…，K 表示。一般假定y 的观测值是某随机实验的结果，该实验结果在属性向量x 和参数向量θ下的条件概率分布为(,)f y x θ。使用面板数据的最终目标之一就是利用获取的信息对参数θ进行统计推断，譬如常假设假定的y 是关于x 的线性函数的简单模型。协方差分析检验是识别样本波动源时广泛采用的方法。方差分析：常指一类特殊的线性假设，这类假设假定随机变量y 的期望值仅与所考察个体所属的类（该类由一个或多个因素决定）有关，但不包括与回归有关的检验。而协方差分析模型具有混合特征，既像回归模型一样包含真正的外生变量，同时又像通常的方差一样允许每个个体的真实关系依赖个体所属的类。常用来分析定量因素和定性因素影响的线性模型为： *,1,,,1,,it it it it it y x u i N t T αβ'=++=???=??? 从两个方面对回归系数估计量进行检验：首先，回归斜率系数的同质性；其次，回归截距系数的同质性。检验过程主要有三步： (1) 检验各个个体在不同时期的斜率和截距是否都相等； (2) 检验（各个体或各时期的）回归斜率（向量）是否都相等； (3) 检验各回归截距是否都相等。显然，如果接受完全同同质性假设（1），则检验步骤中止。但如果拒绝了完全同质性性假设，则（2）将确定回归斜率是否相同。如果没有拒绝斜率系数的同质性假设，则（3）确定回归截距是否相等。（1）是从（2）、（3）分离出来的。基本思想：在作两组或多组均数1y ，2y ，…，k y 的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变量X 与各组Y 之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数1y '，2y '，…，k y '然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。协方差分析的应用条件：⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方差相等；（t 检验或方差分析的条件）⑵各组的总体回归系数i β相等，且都不等于0（回归方程检验）。因此，应用协方差分析前，要对资料进行方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同质性检验），只有满足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。 ⑴各比较组协变量X 与分析指标Y 存在线性关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数i β相等，即各直线平行(绘出回归直线，看是否

SPSS学习系列23. 协方差分析

23. 协方差分析（一）原理一、基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上

的协变量时，称为多元协方差分析。二、协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+（1）其中，X 为所有协变量的平均值。注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β.

第一节方差分析原理.doc

第一节方差分析原理一、方差分析基本思想方差分析（ analysis of variance ，或缩写 ANOVA ）又称变异数分析，是一种应用非常广泛的统计方法。其主要功能是检验两个或多个样本平均数的差异是否有统计学意义，用以推断它们的总体均值是否相同。它是真正用来进行上述“多组比较”问题的正确方法，从这个意义上说，它可看成是t 检验等“两组比较法”的推广。理解方差分析的原理，主要在于其基本思想，而不在于数学推导。以单因素完全随机化实验设计为例（这是最简单的多组实验设计）介绍方差分析的原理。注意下面列出的该种设计的数学模式，假设有 k 个处理，每个处理下有n 个被试，一共有nk 个被试。 K 个处理下的数据构成比较中的k 个组或 k 个样本。理T 1 T 2 ?T j ?T k X 11 X 12 ?X 1j ?X 1k X 21 X 22 ?X 2j ?X 2k 各?????? 数据X i1 X i2 ?X ij ?X ik ?????? X n1 X n2 ?X nj ?X nk 不失一般地，其对应的图示如下：

根据测量学中的真分数理论，观测值等于真值和误差之和；据此，对照上面的数据可得到下面的数学模型：其中： X ij 指第 j 个处理下的第 i 个被试的实验数据； μ 指总体均值；在图中样本数据中，即红色线表示的总平均； μ 指第 j 个处理的均值； j τ 称为第 j 个处理的效应；通常，τj=μj–μ，也即各组均值偏离总平均的离差； j ε ij 为随机误差（ idd 表示误差独立同分布）；在该模型中，误差就是各组中数据偏离其组均值的离差。因为根据单因素完全随机化设计的特点，同组中的被试，其各方面条件都相同，接受的处理也相同，其观测值间的差异只能归结为随机误差。首先对检验的零假设进行变换：下面我们就需要构造一个统计量使得它在Ho"下无未知量且有精确的分布，以进行假设2 检验。由于τj是每个处理的平均数与总平均之差，所以我们考虑从数据的离均差的平方入手来构造统计量：对每个观测数据：即：任意一个数据与总平均数的离差= 该数与所在组平均数的离差+ 所在组的平均数与总平均数的离差。我们针对第j 组中每个数据的上述分解式的平方求和得：

协方差的概念及应用

两个不同参数之间的方差就是协方差若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。定义 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。协方差与方差之间有如下关系： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y) 因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。 [编辑本段] 协方差的性质（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：定义 ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。定理设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

协方差分析

协方差分析一、基本思想：在作两组和多组均数之间的比较前，用直线回归的方法找出各组Y与协变量X 之间的数量关系，求得在假定X相等时的修正均数，然后用方差分析比较修正均数之间的差别。与回归过程区别：重点求修正均数，其次才是比较。二、要求条件： ◆X与Y的线性关系在各组均成立，且各组间回归系数近似相等； ◆X的取值范围不宜过大。否则修正均数的差值在回归直线的延长线上，不能确定是否仍然满足平行性和线性关系的条件，协方差分析的结论可能不正确。三、步骤： 1、用“线性回归”检验各组回归系数是否近似相等（先拆分数据）； 2、协方差分析。方差分析要求条件：单因素方差分析：各样本的独立性、正态性、方差齐两因素、多因素方差分析：各样本的独立性、正态性（配伍设计、交叉设计、正交设计、有重复设计的多因素方差分析）常用实验设计及分析方法：完全随机设计：涉及一个处理因素，采用单因素方差分析。要求数据正态性、方差齐性。若经变量变换仍达不到要求，采用非参数方法进行检验。如果分析结果显示该因素有统计学意义，应当继续进行各组均数间的两两比较。如果不存在明确的对照组，进行的是验证性研究，宜用LSD 法；若进行多个均数的两两比较（探索性研究），且各组人数相等，宜用Tukey法；其他情况宜用Scheffe法。

配伍设计（随机区组设计）：当只有两个配伍组时，就是配对设计。由于单元格内无重复数据，交互作用和方差齐性不考察。方法：两因素方差分析。（一应变量，两自变量）交叉设计：交互作用和方差齐性不考察。拉丁方设计：交互作用和方差齐性不考察。正交设计：考查交互作用，方差齐性不考察。析因设计：考查交互作用，方差齐性不考察。

《应用回归试分析》试题答案

一、一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查现状。经十周时间，收集了每周加班时间的数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加（3）设回归方程为 01y x β β∧ ∧ ∧ =+ 1 12 2 1(2637021717) 0.0036(71043005806440) ()n i i i n i i x y n x y x n x -- =- =--β== =--∑∑ 01 2.850.00367620.1068y x ββ- ∧- =-=-?= 0.10680.0036y x ∧ ∴=+可得回归方程为 (4) 22 n i=11()n-2i i y y σ∧∧=-∑ 2 n 01i=1 1(())n-2i y x ββ∧∧=-+∑=0.2305 σ ∧ =0.4801 (5) 由于2 11(, )xx N L σ ββ∧ : t σ ∧ = = 服从自由度为n-2的t 分布。因而 /2|(2)1P t n αασ?? ??<-=-?? ?? 也即：1/2 11/2 (p t t ααβββ∧ ∧ ∧ ∧ -<<+=1α- 可得195%β∧ 的置信度为的置信区间为 0.4801/??（0.0036-1.8600.0036+1.860 即为：（0.0028，0.0044）

2 2001() (,())xx x N n L ββσ- ∧ + : t ∧ ∧ == 服从自由度为n-2的t 分布。因而 /2(2)1P t n αα∧??????<-=-?????????? 即0/200/2()1p βσ ββσα∧∧ ∧ ∧ -<<+=- 095%0.3567,0.5703β∧ -可得的置信度为的置信区间为（） (6)x 与y 的决定系数 2 2 1 2 1 () () n i i n i i y y r y y ∧- =-=-= = -∑∑16.82027 18.525 =0.908 (7) ANOV A x 平方和 df 均方 F 显著性组间（组合） 1231497.500 7 175928.214 5.302 .168 线性项加权的 1168713.036 1 1168713.036 35.222 .027 偏差 62784.464 6 10464.077 .315 .885 组内 66362.500 2 33181.250 总数 1297860.000 9 由于(1,9)F F α>,拒绝0H ,说明回归方程显著，x 与y 有显著的线性关系。 (8) t σ ∧ = = 其中2 2 211 11()22n n i i i i i e y y n n σ∧∧====---∑∑ 0.00368.5420.04801 = = /2 1.895t α= /28.542t t α=> ∴接受原假设01:0,H β=认为1β显著不为0，因变量y 对自变量x 的一元线性回归成立。

协方差分析及协变量

残差平方和概念：为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。意义：每一点的y值的估计值和实际值的差的平方之和称为残差平方和,而y 的实际值和平均值的差的平方之和称为总平方和。定义：协方差是关于如何调节协变量对因变量的影响效应，从而更加有效地分析实验处理效应的一种统计技术，也是对实验进行统计控制的一种综合方差分析和回归分析的方法。意义当研究者知道有些协变量会影响因变量，却不能够控制和不感兴趣时（当研究学习时间对学习绩效的影响，学生原来的学习基础、智力学习兴趣就是协变量），可以在实验处理前予以观测，然后在统计时运用协方差分析来处理。将协变量对因变量的影响从自变量中分离出去，可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度。方差是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大，该变量的变异越大；协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，二个变量相互影响越大。

对于仅涉及单个变量的试验资料，由于其总变异仅为“自身变异”（如单因素完全随机设计试验资料，“自身变异”是指由处理和随机误差所引起的变异），因而可以用方差分析法进行分析；对于涉及两个变量的试验资料，由于每个变量的总变异既包含了“自身变异”又包含了“协同变异”（是指由另一个变量所引起的变异），须采用协方差分析法来进行分析，才能得到正确结论。方法（一）回归模型的协方差分析如果那些不能很好地进行试验控制的因素是可量测的，且又和试验结果之间存在直线回归关系，就可利用这种直线回归关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的结果，使得处理间的比较能在相同基础上进行，而得出正确结论。这一做法在统计上称为统计控制。这时所进行的协方差分析是将回归分析和方差分析结合起来的一种统计分析方法，这种协方差分析称为回归模型的协方差分析。（二）相关模型的协方差分析方差分析中根据均方MS与期望均方EMS间的关系，可获得不同变异来源的方差分量估计值；在协方差分析中，根据均积MP与期望均积EMP间的关系，可获得不同变异来源的协方差分量估计值。这种协方差分析称为相关模型的协方差分析。残差平方和：为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来称为残差平方和，它表示随机误差的效应。回归平方和总偏差平方和=回归平方和+ 残差平方和。残差平方和与总平方和的比值越小，判定系数 r2 的值就越大。协变量：在实验的设计中，协变量是一个独立变量（解释变量），不为实验者所操纵，但仍影响实验结果。

协方差分析在教学评价中的应用

方差分析法忽视了学生的基础成绩对当前成绩的影响,没有考虑学生的基础成绩这一混杂因素的影响,仅仅对当前的学生学习成绩进行评价,得出的结论就不能全面客观地反映实际教学效率. 本研究采用协方差分析法,利用一个教学班两个学期的物流管理课程期末成绩和配送中心管理课程期末成绩的数据,对教学效率的评价问题进行了研究. 二协方差分析及公式为了提高实验效果的精确性,需要尽力排除影响实验结果的其他因素,即非处理因素(混杂因素)的干扰和影响,使各处理间尽量一致,再对各处理因素做方差分析,这就是协方差分析. 协方差分析的基本思想是在作两组或多组均数yi(i =1,2,…, n)之间的比较前,用直线回归方法找出各组因变量与协变量之间的数量关系,求得在假定协变量相等时的修正均数yi(i =1,2,…, n),然后用方差分析比较修正均数的差别.协方差分析涉及一些较深的统计理论, （1）计算各组的均值、平方和及协方和: