2021届河北衡水金卷新高考仿真考试(三)数学(理)试题

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（三）

理科数学试卷

★祝你考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数()12a i

a R i

+∈-在复平面内对应的点在直线y x =上，则a =（ ） A. 1 B. 3-

C. 1-

D.

13

【答案】B 【解析】 【分析】

化简复数为代数形式，利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得a 。 详解】

()()12221

12555

a i i a i a a i i +++-+==+-， 因为()12a i a R i +∈-在复平面内对应的点221

(

,)55

a a -+， 该点在直线y x =上，所以221

55

a a -+=，所以3a =-， 故选：B.

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，掌握复数的除法运算是解题关键.

2.已知集合{

}

2

230A x Z x x =∈--≤，21

12

2y B y -??

=≥????

，则A B 中的元素个数是（ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 4个

【答案】D 【解析】 【分析】

求出集合,,A B A B ?即得答案.

【详解】解不等式2230,x x x Z --≤∈，可得{1,0,1,2,3}A =-. 解不等式21

1

2

2

y -≥

，可得[)0,B =+∞. {0,1,2,3}A B ∴?=，含有4个元素．

故选：D .

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.

3.若k ∈R ，则3k >-是方程22

133

x y k k +=-+表示双曲线的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线3k -和3k +异号，进而求得k 的范围即可判断是什么条件．

【详解】解：因为方程22

133

x y k k +=-+表示双曲线，所以()()330k k -+<，解得33k -<<，

因为()3,3- ()3,-+∞，

所以3k >-是方程22

133

x y k k +=-+表示双曲线的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题． 4.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.

4

3

钱 B.

73

钱 C.

83

钱 D.

103

钱

【答案】C 【解析】 【分析】

依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求．

【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48

333

a a +==． 故选C ．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题． 5.在ABC ?中，2

3

BD BC =，E 为AD 的中点，则CE =（ ） A.

12

63

AB AC - B. 2136

AB AC - C. 1536AB AC -

D.

51

63

AB AC - 【答案】A 【解析】 【分析】

由向量的线性运算即可求解. 【详解】如图：

11

22CE CA CD =+

1126CA CB =+ 11

()26CA AB AC =+- 12

63

AB AC =-, 故选：A

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于容易题.

6.以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程

?35y

x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位③在某项测里中，测量结果ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；④随机事件A

的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.其中错误的个数是（ ） A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据各命题对应的知识即可判断各命题的真假.

【详解】解：对于①，方差是衡量一组数据的离散程度，当一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，这组数据的离散程度不变，所以方差不变，所以①正确； 对于②，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，所以②错误； 对于③，由ξ服从正态分布(

)()2

2,0N σ

σ>，ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，所以ξ在()3,+∞内取值

的概率也为0.1，所以ξ在()2,3内取值的概率为0.4，所以③正确；

对于④，随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值是正确的，所以④正确， 所以错误的命题有1个 故选：B

【点睛】此题考查了统计中的有关概念，性质，方法的理解和应用，属于基础题.

7.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x

y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M

粒豆子，并统计出这些豆子在曲线x

y e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）

A.

N

M N

-

B.

M

M N

-

C.

M N

N

- D.

M N

【答案】D 【解析】 【分析】

利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线x

y e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可.

【详解】在函数x

y e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，

矩形OABC 中位于曲线x

y e =上方区域的面积为()()

1

10

1x

x

S e e dx ex e =

-=-=?，

矩形OABC 的面积为1e e ?=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N

=. 故选：D.

【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

8.执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )

A. (]21,28

B. [)21,28

C. (]28,36

D. [)28,36

【答案】A 【解析】 【分析】

根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.

【详解】1k =，0s =，

①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k

；满足条件，退出循环.

2128a ∴<≤.

故选：A .

【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题. 9.已知定义在R 上的偶函数()2x k

f x e

x -=+（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.3

2b f =，

()3log 2c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A. b c a <<

B. c a b <<

C. a c b <<

D. b a c <<

【答案】C 【解析】 【分析】

根据定义在R 上的偶函数()2x k

f x e

x -=+，则()()f x f x -=，解得0k =，得到()2x f x e x =+在[0,)

+∞上的单调性，再根据20.3

30.3,log 2,2的大小关系，利用单调性定义求解.

【详解】由定义在R 上的偶函数()2x k

f x e x -=+，

得：()()f x f x -=， 即()2

2---+-=+x k

x k

e

x e

x ，

所以+-=x k x k e e ， 解得0k =，

所以()2

x

f x e x =+，

因为[0,)x ∈+∞时，x

y e =，2y

x 单调递增，

所以()2

x

f x e x =+在[0,)+∞上单调递增， 因为2

0.3

00.31,2

1<<>，1

22

33

1log 2log 30.50.090.3>>=>=，

所以20.3

30.3log 22<<，

所以(

)2

0.3

log 2+f k ()0.3

2

即a c b <<. 故选：C

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性，单调性比较函数值的大小，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.

10.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b

==>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线E ：()

2

20y px p =>的焦点与双曲线C 的右焦点2F 重合，点P 为C 与E 的一个交点，且直线1PF 的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（ ）

A.

1

2

B.

1

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

设双曲线焦点2(,0)F c ，可得抛物线的焦点坐标为(,0)c ，准线l 方程为x c =-，过点P 做PM l ⊥，垂足为M ，根据题意有21||||||PF PM MF ==，可得2PF x ⊥轴，进而将12||,||PF PF 用c 表示，结合双曲线定义，即可求解.

【详解】设双曲线焦点2(,0)F c ，则抛物线E 的准线l 方程为x c =-， 过P 做PM l ⊥，垂足为M ，则2||||PM PF =，

121211,45,45,|||PM

F F PF F MPF MP MF ∠=?∴∠=?=，

12212211||||,,||||2,||MF PF PF F F PF F F c PF ∴=⊥∴===，

又点P 在双曲线上，12||||22(21)PF PF a c ∴-==-，

1

2121

c

e a =

==+-. 故选：B.

【点睛】本题考查双曲线和抛物线的性质，应用曲线的定义是解题关键，注意几何方法的合理运用，属于中档题.

11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =

，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11

C D 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是（ ）

A.

22

3

B.

62

C.

5 D.

72

【答案】D 【解析】 【分析】

首先找出过1D 点且与平面EFG 平行的平面，然后在三角形内找线段1D P 长度的最小值即可. 【详解】如图，连接1D A ，AC ，1D C ，

因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//,AC EF EF ?平面1ACD ，则//EF 平面1ACD ， 因为1//EG AD ，所以同理得//EG 平面1ACD ，

又EF

EG E =，得平面1//ACD 平面EFG ，

因为直线1//D P 平面EFG ，

所以点P 在直线AC 上,在1ACD ?中，

有1AD =2AC =，12CD =，

所以1

12AD C

S ?==， 故当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，

有11112AD C

S AC D P D P ?=???

=2122

=

?. 故选：D.

【点睛】本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线距离，属于一般题.

12.已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A. (,2ln 2)-∞- B. (],2ln 2-∞- C. (,112ln 2)-∞-+ D. (],112ln 2-∞-+

【答案】C 【解析】 【分析】

先求导得221()ax x f x x

-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程

2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据?，12x x +，12x x ?，求出a 的取值范围，而

()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ?

?=-

--<< ??

?，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.

【详解】由题可得：221

()ax x f x x

-+='（0x >），

因为函数2

()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，

于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ?

??=->?

?+=>??

?=>??

解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+????

因为()()()12122f x f x x x +-+()2

2

11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+

()()()21212121223ln a x x x x x x x x ??=+--++??5

1ln(2)4a a

=---.

设51()1ln(2)048h a a a a ?

?=-

--<< ??

?， 2

54()04a h a a -'=

>，故()h a 在10,8??

???

上单调递增， 故1()112ln 28h a h ??<=-+ ???

， 所以112ln 2t <-+，

所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：

13.6

1(2)x x

-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】

试题分析：常数项为33

3

461(2)()160T C x x

=-=-. 考点：二项展开式系数问题.

14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()

()

0f x f x ，()()11f x f x +=-，且当(1,0)x ∈-时，

41

()log ()2f x x =

--，则17()2

f =______. 【答案】1- 【解析】 【分析】 由()

()0f x f x ，知函数()f x 奇函数，结合(1)(1)f x f x +=-得函数周期4，化简171

(

)()22

f f =由已知条件得解. 【详解】由()

()0f x f x 知函数()f x 为奇函数，()()f x f x ∴=--

()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x +=-=-

()()()()42f x f x f x f x ??∴+=-+=--=??，所以函数的周期为4， 17171()(24)()222f f f =-?=，11

()()22

f f =-- 又(1,0)x ∈-时，41

()log ()2

f x x =--，

4111

()log ()1222f ∴-=-=

1711

()()()1222

f f f ==--=- 故答案

：1-

【点睛】本题考查奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

15.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2

2n n n S a a =+，n *∈N ，

()()

1

121

22n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】13

k ≥ 【解析】 【分析】

由22n n n S a a =+可得2

1112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1

的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111

221

n n n b n n +=

-+++，则可求出121111 (3213)

n n n T b b b n +=+++=

-<++，进而可求出k 的取值范围. 【详解】因为2

2n n n S a a =+，

所以当2,n n N *≥∈时，2

1112n n n S a a ---=+，

两式相减得:22

112n n n n n a a a a a --=+-- ， 整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=， 由0n a > 知，10n n a a -+≠， 从而110n n a a ---=，

即当2,n n N *

≥∈时，11n n a a --=，

当1n =时，2

1112a a a =+，解得11a =或0（舍），

则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列， 则()111n a n n =+-?=.

所以112111

(2)(21)221

n n n n n n b n n n n +++==-++++++，

则121111111 (36611221)

n n n n T b b b n n +=+++=

-+-++-+++ 11311

213

n n +=<++- 所以1

3

k ≥.

故答案为：1

3

k ≥.

【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1

,2,n n

n S n a S S n n N *

-=?

=?

-≥∈? 进行整理运算.求数列的和常见

的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.

16.已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，

且该三棱锥的体积为SA ⊥平面ABC ，4SA =，

120ABC ∠=?，则球O 的体积的最小值为______.

【答案】3

【解析】 【分析】

根据体积公式得到6BA BC ?=，根据余弦定理得到AC ≥，根据正弦定理得到r ≥

，根据

2

222SA R r ??

=+ ???

得到R ≥.

【详解】11143322

S C C AB AB V S SA BA BC -?=

?=????=，故6BA BC ?=. 根据余弦定理：222222cos 3AC BA BC BA BC B BA BC BA BC BA BC =+-?=++?≥?，

即AC ≥BA BC =时等号成立.

设外接圆半径为r ，故2sin b

r B

=

≥，即r ≥设球O 的半径为R ，球心O 在平面ABC 的投影1O 为ABC ?外心，

则2

2264102SA R r ??=+≥+= ?

??

，R ≥3

43V R π=≥.

故答案为：3

.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，点13,2??

- ? ???

B ，点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点.

（1）若AOB α∠=，求sin 2α；

（2）设点P 为单位圆上的动点，点Q 满足OQ OQ OP =+，

π

π26

2AOP θθ??∠=≤≤ ???，()f OB OQ θ=?，

求()f

θ的取值范围.当OQ OQ ⊥时，求四边形OAQP 的面积.

【答案】（1）3

；（2）10,2??????，

32

. 【解析】 【分析】

（1）利用三角函数的定义，结合题的条件，可知3

sin α=

，1cos 2α=-，之后应用正弦倍角公式求得

结果；

（2）根据三角函数的定义，写出()cos2,sin 2P θθ，利用向量加法运算法则求得

()1cos2,2sin 2OQ θθ=+，应用向量数量积的坐标运算式以及辅助角公式求得

()π1sin 262f θθ?

?=-- ??

?，结合θ角的范围，求得()f θ的取值范围，令()0f OB OQ θ=?=，解得

π

23

θ=

，利用面积公式求得结果.

【详解】（1）由三角函数定义，可知sin α=

，1cos 2α=-，

所以1sin 22sin cos 2222

ααα??==?

-=-

???. （2）由三角函数定义，知()cos2,sin 2P θθ， 所以()1cos2,2sin 2OQ OA OP θθ=+=+，

所以()()1π11cos 22sin 22

62f

OB OQ θθθθ?

?=?=-+=-- ??

?， 因为

ππ62θ≤≤，所以ππ5π2666θ≤-≤，即1πsin 2126θ?

?≤-≤ ??

?，

于是()102

f θ≤≤

，所以()f θ的取值范围是10,2??

????.

当OB OQ ⊥时，()0f OB OQ θ=?=，

即π12062sin θ?

?-

-= ??

?，解得π23

θ=，

易知四边形OAQP 为菱形，此时菱形OAQP 的面积为1π211sin 232

?

???=

. 【点睛】该题考查的是有关三角函数和向量的综合题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦倍角公式，正弦型函数在给定区间上的值域，菱形的面积公式，属于中档题目.

18.《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行.作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：

（1）填写下面22?列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

（2）若对年龄在[45,55)，[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民

法总则》的人数为X ，求随机变量的分布列和数学期望.

参考公式和数据：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【答案】(1)2×

2 列联表

没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 的分布列是

45

EX =

;

【解析】 【分析】

(1 ) 利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．

( 2 ) 通过 X 的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】(1)2×

2 列联表

22

2

()50(311729) 6.27 6.635()()()()10403218

n ad bc K a b c d a c b d -??-?==≈<++++???,

所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，

22842210584

(0)225C C P X C C ===;11142822

842

2105104(1)22+5C C P X C C C C C ===; 111222248422105(2)+32255C C P X C C C C C ===;12422

10522

(3)225

C C P X C C ===; 所以 X 的分布列是 X 0

1

2

3

P 84225 104

225 35

225 2225

所以 X 的期望值是 1047064

022********

EX =+

++=. 【点睛】本题考查概率统计中的

独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题. 19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3

B BA ∠=

.

（1）证明：11B C AC ⊥；

（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（265

. 【解析】 【分析】

（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ，则由已知可得，1B D AB ⊥，CD AB ⊥，从而可得AB ⊥平面1B CD ，1AB B C ⊥，所以有1B C ⊥平面1ABC ，可得11B C AC ⊥，

（2）由于DB ，1DB ，DC 两两垂直，所以以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空

间直角坐标系，然后利用空间向量求解1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【详解】证明：（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC .如图，

∵三棱柱的所有棱长均为2，1π

3

B BA ∠=

， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥. ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥.

∵1B D ，CD ?平面1B CD ，1?=B D CD D ，∴AB ⊥平面1B CD . ∵1B C ?平面1B CD ，∴1AB B C ⊥. ∵AB ，1BC ?平面1ABC ，1AB

BC B =，

∴1B C ⊥平面1ABC ，∴11B C AC ⊥.

（2）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（1）知1B D AB ⊥，∴1B D ⊥平面ABC .

则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系.

则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -

∵M 为11A C 的中点，∴33,322M ?- ?，

∴(10,3,3B C =-，(13AB =，1332AM ?=- ?， 设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，

则130

13

302AB n x z AM n x y z ??=+=???=-+

+=??

，取1z =，得()

3,3,1n =--. 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226

sin 13613

B C n B C n

α?=

=

=??.

∴1B C 与平面1AB M 所成角的余弦为

65

13

. 【点睛】此题考查由线面垂直证线线垂直，考查求线面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 20.已知动点P 到点(1,0)F 的距离与它到直线:4l x =的距离d 的比值为

1

2

，设动点P 形成的轨迹为曲线C .

（1）求曲统C 的方程；

（2）过点3)Q 的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【答案】（1）22

143

x y +=；

（232230x y +-=. 【解析】