2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试_分科综合卷_理科数学(二)模拟试题(解析版)
2018 年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试 分科综合卷 理科数学（二）
模拟试题（解析版）
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵
,
∴
故选：B
2. 已知 ，且 是虚数单位，
，则 （ ）
A. 4 B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
由题意知：
，解得：
故选：C 3. 已知为直线
的倾斜角，若
A. 3 B. -4 C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知：
，
故选：D
，则直线 的斜率为( ) .
4. 双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
【答案】D
C. D.
页
1第
【解析】由题意，知双曲线的一条渐近线为
联立
，得到：
，
由相切，得
,解得： ，∴ .
故选：D 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式， 再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5. 袋中装有 4 个红球、3 个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙 摸到白球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】用 A 表示甲摸到白球，B 表示乙摸到白球，则
，
，
∴
.
故选：B 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果 买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十 九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、 苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入 分别代表钱数和果子个数，则符合输出值 的为（ ）
A. 为甜果数 343 C. 为甜果数 657 【答案】B
B. 为苦果数 343 D. 为苦果数 657
【解析】由题意知，
，
，
页
2第
即若按全是甜果来算钱超出 文，一个苦果和一个甜果差价位 ，
则 p 为苦果数，
.
故选：B 7. A. B. 【答案】C
在区间 内的所有零点之和为（ ）
C.
D.
【解析】
函数零点即
与 图象交点的横坐标，在区间 内，
与 图象有两个交点，
由
得：
，取
，可知两个交点关于 对称，故两个零点的
和为
,.
故选：C
8. 已知
恒成立，若 为真命题，则实数的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A
【解析】
化为
，即
有
，又 时，
的最小值为
2，故由存在性的意义知 .故实数的最小值为 2. 故选：A 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
页
3第
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】由三视图，可知该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥结合而成的（如图所示）.
半圆柱的底面半径为 1，侧棱长为 2，三棱锥的底面为半圆柱的底面的内接直角三角形，直角边长为 ， 两个侧面是全等的等腰三角形，腰长为 2，底边为 ，另一个侧面是边长为 2 的等边三角形，因此
.
故选：B 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示， 不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式， 然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视 图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合 空间想象将三视图还原为实物图．
10. 如图为正方体
，动点 从 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回
到 ，运动过程种，点 与平面
的距离保持不变，运动的路程 与
关系
，则此函数图象大致是（ ）
之间满足函数
页
4第
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】取线段 中点为 N，计算得：
.
同理，当 N 为线段 AC 或 C 的中点时，计算得
象特征. 故选：C
11. 抛物线
的准线交 轴于点 ，过点 的直线交抛物线于
，则直线 的斜率
为（ ）
A. 2 B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知直线 的斜率存在，且不为零.设
，即
.符合 C 项的图 两点， 为抛物线的焦点，若
，带入
，得
由
得：
，设
，
，由韦达定理得
，由题知
，得
，
,把
，
带入整理，得
故选：D 12. 已知函数 实数的取值范围是（ ）
，其中为自然对数的底数，若
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】画出 与 的大致图象，如图，
有两个零点，则
页
5第
①先求 时，
与
相切时的 a 值：设切点为
，则
,解得： ，
，把
，得 ;
②再求 时， 与 有唯一公共点
，且在此点有公切线时的 a 值：
，解得：
，而显然
是增函数，故
是唯
一的解，此时
，把
，得
，
函数
的图象是由 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 a 个单位（或向下平移-a 个单位），由
图象可知：
时， 仅在 上与 有两个公共点；
③把 代入
得
，可知
时， 与 在区间
和
内各有一个交点
综上，实数的取值范围是 故选：C 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 若向量
, 是椭圆
上的动点，则
的最小值为_________．
【答案】
【解析】设
，则
，
当
时，取最小值为 .
故答案为：
14. 已知 满足
，则 的取值范围是__________．
【答案】 【解析】如图，阴影部分即为不等式表示的区域，
页
6第
的几何意义是：可行域中的点与点 连线的斜率，且点 在直线
上，由图形可得最小值
为 1，最大值为过点 且与抛物线相切的直线的斜率.
设切点为 ，则
，把
代入，解得 或 5，由图可知 不合题意，舍去，故切线斜
率为
，∴ 的取值范围为
故答案为： 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确 定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15.
中，角 的对边分别为
，当 最大时，
__________．
【答案】
【解析】
,
当且仅当
，取等号，∴∠C 的最大值为 75°，此时 sinC=
,，
∴
.
故答案为：
16. 3 位逻辑学家分配 10 枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：
(1)抽签确定各人序号：1，2，3；
(2)1 号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同
意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则 1 好只得到 2 枚金币，然后退出分配与表决；
(3)再由 2 号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己
方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到 2 枚金币，然后退出分配与表决；
(4)最后剩的金币都给 3 号.
页
7第
每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1 号为得到最多的金币，提 出的分配方案中 1 号、2 号、3 号所得金币的数量分别为__________． 【答案】9,0,1 【解析】先看一下个人的利益最大化：①3 号：如果 1 号的方案被否定，此时剩余金币有 8 枚，那么 2 号 的方案必然是 2 号 8 枚，3 号 0 枚，然后 2 号方案不低于半数通过，②由①的分析可知，只要 1 号的分配方 案分配给 3 号的金币数量多于 0，3 号就会同意，方案就会通过，所以 1 号的利益最大化的分配方案是 1 号， 2 号，3 号所得金币数量分别是 9，0，1. 故答案为：9，0，1
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列 满足
，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求
的值.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）由
，作差易得：
得到数列 的通项公式；（2）利用错位相减法求出
试题解析： (1)当 时，
由
，
得
，
两式相减得
由 ，得
，
故 为等差数列，公差为 2.
当 时，由
，
所以
.
， 为等差数列，即可 的值.
.
页
8第
(2)易知 两式相减得
， ，
，
，
所以
.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表 达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.
18. 某校高三年级有 1000 人，某次考试不同成绩段的人数
,且所有得分都是整数.
(1)求全班平均成绩； (2)计算得分超过 141 的人数；（精确到整数）
(3)甲同学每次考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， 表示进入前 100 名的次数，写
出 的分布列，并求期望与方差.
参考数据：
.
【答案】(1)
;(2)23 人；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）由
易知全班平均成绩；（2）由正太分布曲线的对称性易得
，
从而计算出得分超过 141 的人数；(3) 的取值为 0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算 得期望与方差. 试题解析：
(1)由不同成绩段的人数服从正态分布
，可知平均成绩
.
(2)
,
故 141 分以上的人数为
人.
(3) 的取值为 0，1，2，3，4，
页
9第
,
,
,
,
,
故 的分布列为
0
1
2
3
4
期望
，
方差
.
19. 已知在直角梯形
中，
，
角
为直角.
，将
沿 折起至
，使二面
(1)求证：平面 (2)若点 满足
平面 ,
； ，当二面角
为 45°时，求的值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）要证平面
平面 ，转证
平面 即可；（2）建立空间直角坐标
系计算平面的法向量，利用二面角
为 45°建立等量关系求出 的值............................
试题解析：
(1)梯形
中，
∵
∴
.
又∵
,
∴
,∴
.
页
10第