中考必会几何模型：角平分线四大模型

角平分线四大模型

模型1 角平分线的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA

模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口

模型实例

（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是

解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.

∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.

（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC

证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，

∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF

又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）

练习

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，

求证：∠BAD＋∠BCD＝180°

证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,

∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C

∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°

2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.

解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M

∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，

PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)

∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°

∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM

∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°

模型2 截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧

模型实例

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由

解题：PB+PC＞AB+AC

证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE

∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,

AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC

∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC

（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由

解答：AC-AB>PC-PB

证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE

∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中

CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB

练习

1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,

求线段BC的长

解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中

?

?

?

?

?

=

∠

=

∠

=

CD

CD

ECD

ACD

EC

AC

∴△ACD≌△ECD(SAS)

∴AD＝DE ，∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，

∵∠1＝∠B＋∠EDB ，∴∠B＝∠EDB，

∴EBB＝ED ，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24

2.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，

求证：BC＝AB＋CD

证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD

∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°

∵

AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝

1

2(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，

∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD

3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE

证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD

∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC

∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE

∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中

?

?

?

?

?

=

∠

=

∠

=

CD

CD

CDE

CDF

DF

DE

∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.

模型实例

如图.己知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°, AB=AC, BD 平分∠ABC, C￡丄BD.垂足为E.求证：BD=2C￡.

解答：如图，延长CE 、BA 交于点F,∵CE 丄BD 于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD ≌△ACF.∴ BD=CF. ∵BD 平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE ≌△BFE.

∴CE=EF. ∴BD=2CE.

练习

1.如图.在△ABC 中.BE 是角平分线.AD 丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.

证明：延长AD 交BC 于F,∵AD ⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD, ∴ ∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.

2.如图.在△ABC 中. ∠ABC=3∠C,AD 是∠BAC 的平分线, BE 丄AD 于点E.

求证:1()2

BE AC AB =-.

(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C

即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122

BE FC AC AB =

=-

模型4 角平分线+平行线

模型分析

有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.

模型实例

解答下列问题：

(1)如图①.△ABC中，EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？

(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.

(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？

解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED. 同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.

(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC. ∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.

(3) EF=BE+CF.

练习

1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.

解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC, ∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.

2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.

证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4. ∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,

∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC

3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：

AD=AB-BC.

证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.

∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,

∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.

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