数学分析 重积分
第二十一章重积分
教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；
2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；
教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。
教学时数：22学时
§ 1 二重积分概念
一.矩形域上的二重积分 :从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .
定义二重积分 .
例1用定义计算二重积分
.
用直线网
分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .
解
.
二. 可积条件 : D
. 大和与小和.
Th 1 ,
.
Th 2 ,
.
Th 3 在D上连续 ,
Th 4 设
D ) . 若在D上有界 , 且
( 或
在D \ 上连续 , 则
三．一般域上的二重积分：
1．定义：一般域上的二重积分.
2．可求面积图形: 用特征函数定义.
四.二重积分的性质 :
性质1 .
性质2 关于函数可加性 .
在D上可积在
性质3 则
和可积 , 且.
性质4 关于函数单调性 .
性质5 .
性质6 .
性质7 中值定理 .
Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或
在D上可积 .
)组成 , 在D上连续 , 则
例3去掉积分中的绝对值 .
§ 2 二重积分的计算
二. 化二重积分为累次积分:
矩形域上的二重积分:
1.
2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.
例1 , .
解法一P221例3
,
解法二为三角形, 三个顶点为
.
例2 , . P221例2.
的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4.
例3求底半径为
§ 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性
一.Green公式:
闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示
区域的正面( 理解为拇指“站立在”区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )
表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10.
表示反向（或称为负向）边界.
若以L记正向边界, 则用—L或L
1. Green公式:
Th21.11 若函数P和Q在闭区域D R上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界. ( 证 ) P224
Green公式又可记为.
1.应用举例:
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条
线使变成环路积分的技巧.
计算积分, 其中A B. 曲线AB为圆周
例1
在第一象限中的部分. P226例1
解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为
.方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA( O为坐标原点 ), 成闭路. 设
所围
D为反向, 以及, 有
区域为D, 注意到
.
例2计算积分I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D
的边界(方向任意 )
P227例2
和在D上有连续的偏
解. (
导数).
, .
于是, I = .
二. 曲线积分与路线无关性:
单连通域和复连通域.
1. 积分与路径无关的等价条件: P228
R是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连
Th21.12 设D
续, 且有连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有.
ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.
的全微分, 即在D内有
ⅲ> 是D内某一函数
ⅳ> 在D内每一点处有.
2. 恰当微分的原函数:
, 则称微分形式是一个恰当微分. 恰当微分有原
若有
函数,( 它的一个 ) 原函数为 :
.
或
D, 当点D时, 常取=.
其中点
;
.
例6 验证式是恰当微分, 并求其原函数.
P231例4
§ 4 二重积分的变量变换:（4时）
的
1. 二重积分的变量变换公式: 设变换
Jacobi, 则
,
是在该变换的逆变换下平面上的区域在
其中
平面上的象. 由条件, 这里的逆变换是存在的.
一般先引出变换
, 由此求出变换
.而.
例1 , . P235 例1.
, 积分
註当被积函数形如
区域为直线型时, 可试用线性变换.
例2 , .
解设. 则.
，.
因此 , .
注若区域
是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域
由以下两组曲线围成 :
第一组: ;
第二组: .
可试用变换. . 从中解出
. 在此变换之下, 区域
变成平面上的矩形区域.
例3 求由抛物线和直线
所围平面区域
的面积 . P236例2.
2. 极坐标与广义极坐标变换:
极坐标变换:, .
广义极坐标变换:, .
例4 . P240例3.
例5 ( Viviani问题 ) 求球体被圆柱面
所割下立体的体积 . P240例4.
例6 应用二重积分求广义积分. P241例5.
例7 求橢球体的体积 . P241例6. 四.积分换序:
连续 . 对积分换序. .
例8
连续 . 对积分换序.
例9
.
例10 计算积分. .
§ 5 三重积分简介
一．三重积分的定义：
1．
长方体上的积分：
2．
上的积分：
1．长方体
.
2. 型体上的积分:
⑴内一外二 : = ,
,为在平面上
其中
的投影.就函数
为点密度的情况解释该公式 .
⑵内二外一 : =,
其中
介于平面和之间 , 是用平面截所得的截面.
内二外一多用于围成
解,
例2 , : .
解
. 法一( 内二外一 )
,
其中为椭圆域
, 即椭圆域
,
其面积为
. 因此
.
同理得
, .
因此
.
法二( 内一外二 ) 上下对称, 为的偶函数,
为在平面上方的部分, 其在
, 其中
平面上的投影为椭圆. 于是
.
, .
因此. 同理…….
于是.
例3设. 计算积分
, : .
解
.
三. 三重积分换元公式:
Th 21.13 P247.
1. 柱坐标: P248.
例4 , : . P248例3 2. 球坐标: P249. P 250例4.
§ 6 重积分的应用
一、曲面的面积
. 有连续的一阶偏导数 .
设曲面方程为
推导曲面面积公式,
或.
例1 P253例1`.
数学分析论文
曲线积分的计算 摘要：曲线积分是定积分的推广，曲线积分的积分区域是平面的或空间的曲线，是某种和式的极限。从计算方法讲，曲线积分要化为定积分来计算。曲线积分分为第Ⅰ型、第Ⅱ型，重点放在第Ⅱ型上。 关键词：对弧长曲线积分 对坐标曲线积分 定积分 对称性 格林公式 积分与路径无关 斯托克斯公式 前言：第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单。而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x 轴，y 轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用。对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同。为了使计算更为简单，本文阐述了曲线积分的计算方法。 一、基本方法 1、曲线积分【第一类 ( 对弧长 )、第二类 ( 对坐标 ) 】→ （转化）定积分 （1） 选择积分变量 Ⅰ.用参数方程 Ⅱ.用直角坐标方程 Ⅲ.用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 Ⅰ.第一类: 下小上大 Ⅱ.第二类: 下始上终 2、对弧长曲线积分的计算 (1)设f （x ，y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{ （α≥t ≤β），其中φ（t ）、ψ（t ）在[α,β] 上具有一阶连续导数且ds y x f L ?),(=dt t t t t f ?+βα ψ?ψ?)(')(')](),([22(α<β) 注意： (1)定积分的下限α一定要小于上限β。 (2)f(x,y)中x,y 不彼此独立，而是相互有关的。 特殊情形 (1) L:y=)(x ψ a b x ≤≤ ds y x f L ? ),(=dx x x x f b a ?+)('1)](,[2ψψ (2)L:x=)(y ? c d y ≤≤ ds y x f L ?),(=y y f d c ?),([?例1求I=?L xyds ,L:椭圆 解：I=22 /02)cos ()sin (sin cos ?+-πt b t a t tb a dt x=φ(t) y=ψ(t)
数学分析学年论文
学年论文 题目： 学生： 学号： 院（系）： 专业： 指导教师： 2011 年月日
浅谈微积分以及如何学好数学分析 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分的基本原理告诉我们求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，我认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。 定理：如果函数F(x)是连续函数，则f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.牛顿--莱布尼兹公式公式进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在[a,b]上的增量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 要学好微积分，我觉得应该注意以下3个方面： 1、基本概念 常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分. 函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,在1692年的论文中他第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是
数学分析不定积分
第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时
§ 1 不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证)
数学分析第八章不定积分
第八章不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学. 一原函数与不定积分 定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若 F ′( x) = f( x ), x ∈I, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数. - 1 例如, 1 3 x 3 是x 2 在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为(1 3 1 x 3)′= x 2 ; 又如 2 cos 2 x 与- 2 cos 2 x + 1 都是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 ( -1 cos 2 x )′= ( -1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x . 2 2 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么 F( x) = x arctan x - 1 ln (1 + x 2 ) 2 是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题: 1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一? 2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来? 关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.
数学分析 重积分
第二十一章重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分； 2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题； 教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。 教学时数：22学时 § 1 二重积分概念 一.矩形域上的二重积分 :从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义二重积分 . 例1用定义计算二重积分 . 用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 , .
Th 2 , . Th 3 在D上连续 , Th 4 设 D ) . 若在D上有界 , 且 ( 或 在D \ 上连续 , 则 三．一般域上的二重积分： 1．定义：一般域上的二重积分. 2．可求面积图形: 用特征函数定义. 四.二重积分的性质 : 性质1 . 性质2 关于函数可加性 . 在D上可积在 性质3 则 和可积 , 且. 性质4 关于函数单调性 . 性质5 .
性质6 . 性质7 中值定理 . Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 在D上可积 . )组成 , 在D上连续 , 则 例3去掉积分中的绝对值 . § 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分: 矩形域上的二重积分: 1. 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例1 , . 解法一P221例3 , 解法二为三角形, 三个顶点为 . 例2 , . P221例2. 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4. 例3求底半径为
数学分析论文
数学分析中求极限的方法总结 摘要 数学分析是以极限为工具来研究函数的学科，掌握求极限的方法对学习数学分析有很大帮助，然而求极限的题型多变，技巧性强，本文总结了几种一般的求极限方法，并对专用于求数列极限和函数极限以及两者通用的方法进行归类总结，同时为每种方法相应的举例对方法加以说明. 关键词 极限 数列极限 函数极限 方法 总结 在我们所学过的数学分析中有数列极限和函数极限两种，我将用于专门求数列极限或函数极限，两者通用的方法进行了如下归纳. 1 求数列极限的方法 1.1 定义法 这是求数列极限最基本的方法. 设{n x }是数列，A 为常数，0>?ε，?正整数N ，当N n >有ε<-A x n 成立，称{n x }以A 为极限或{n x }收敛于A ，记作A x n n =∞ →lim .[1] 例1 证明0)1(lim =-∞→n n n 证明：0>?ε，取1]1 [+=εN ,则当N n >时，有 ε<--0)1(n n 0)1(l i m =-∴∞→n n n 1.2 等差等比数列的应用 求等比数列极限用此法必须保证公比1 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1 i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 数学分析精品课程系列讲座 如何撰写数学分析优秀论文 张开能 (2010年2月10日) 第一章学术论文 §1.何谓学术优秀论文 学术论文是对某科学领域中的某个问题进行探讨、研究，表述其研究成果的文章。学术论文，也称科学论文、研究论文。 一.学术论文 1.可以是在某学科领域中经过自己的观察、实验、实践，有新的发现、发明、创造，陈述新的见解或主张； 2.可以是把一些分散的材料系统化,用新的观点或用新的方法加以论证，得出新的结论； 3.可以是推翻某学科领域中的某种旧的观点，提出新的见解。 二.学术论文的特征 学术论文的显著特征： 论文内容必须具有新发现、新发明、新创造或新推进。 三.学术论文的功能 学术论文的功能： 1.促进社会发展. 2.进行学术交流. 3.为人材考核提供一定的依据. 4.训练提高科研能力和写作能力. 总体上讲，撰写学术论文，可以提高作者调动和运用知识的能力，掌握分析研究问题的方法，可以提高科研能力、科研水平及理论思维水平。研读学术论文，则可以从中获取较为密集的、系统的、深广的知识，从而大大提高读者的知识水平和理论水平. §2.学术论文的性质 一.科学性 1.学术论文应本着科学的态度，运用科学的原理和方法，去阐明新的科学问题. 2.学术论文引用的观点和材料要有科学性. 二.理论性 1.每一门学科都有独特的研究领域，也都有各自的专门的学术语言、理论概念及理论体系. 2.学术论文应以正确的理论为基石，表述有一定的理论深度的科学研究成果. 三.创造性 1.论文一定要有新意. 2.创造性或创新性、创见性、独创性，是科学研究和学术论文的生命，是衡量学术论文价值的根本标志. 四.规范性 1.学术论文行文格式上要规范. 2.学术论文语言表达上要规范. §3.学术论文的分类 一.科研专业论文 科研专业论文，是记述创新性研究工作成果的书面文章。这种文章是指: 1.学科领域中专业技术人员表述科研的研究成果. 2.某些实验性理论性或观测性的新知识的科学记录. 3.某些已知原理应用于实际并取新进展的科学总结. 二.学业论文 (一).学年论文 学业论文指在校学生撰写的学术论文,它包括学年论文和毕业论文.在校学生在老师的指导下，通过撰写学年论文和毕业论文，培养科学研究的能力，同时借以考察同学掌握知识的深度、广度及解决问题的能力。 学年论文,是高等学校三年级学生的一种独立作业，写作目的是使学生初步学会运用专业知识进行科学研究的方法. (二). 毕业论文 (Ⅰ) .毕业论文 毕业论文,是高等学校应届毕业生的一种总结性的独立作业. 写毕业论文是高等学校学生为完成学业必须科目之一，是高等学校（包括函授、自学考试等办学形式）教学过程中的重要环节之一.其目的在于总结学生在校期间的学习成果，培养其具有综合应用所学知识解决实际问题的能力,并使学生受到科学研究的基本训练. 毕业论文根据学生所学专业的培养要求,在老师的指导下,选定题目,进行研究和撰写. 毕业论文完成后要进行答辩并评定成绩。 (Ⅱ).毕业论文的基本性质 毕业论文具有三方面的基本性质： 1.作为高等学校一种独立作业,毕业论文富有科学研究能力的培养性. 2.毕业论文需有一定的创见性. 3.毕业论文应具有科学性. 4.毕业论文应具有规范性. (三).学位论文 学位论文是学位申请者为申请学位在导师的指导下，完成的学术论文。学位论文包括学士论文、硕士论文、博士论文。 (Ⅰ) .学士论文 学士论文，是写得合乎要求的大学毕业论文:表明学位申请者,一是能够较好地掌握本学科的基础理论,专门知识和基本技能,二是初步具备从事科学研究工作或担负专门技术工作的能力。 第21章重积分 21.1本章要点详解 本章要点 ■二重积分的概念 ■二重积分的定义、存在性及性质 ■格林公式 ■曲线积分与路径无关的定义 ■二重积分的变量替换 ■三重积分的定义、计算 ■重积分的应用 重难点导学 一、二重积分的概念 1．平面图形的面积 （1）设P是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割这个图形（如图21-1所示）这时直线网T的网眼——小闭矩形Δi可分为三类 ①Δi上的点都是P的内点； ②Δi上的点都是P的外点，即； ③Δi上含有P的边界点． 图21-1 将所有介于直线网T 的第①类小矩形（如图21-1中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为s p （T ），则有（这里ΔR 表示包含P 的那个矩形R 的面积）；将所有第①类与笫③类小矩形（如图21-1中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为S p （T ），则有s p （T ）≤S p （T ）． 由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集{s p （T ）}有上确界，数集{S p （T ）}有下确界，记 显然有 通常称I P 为P 的内面积，P I 为P 的外面积． （2）若平面图形P 的内面积I P 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积． （3）平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的ε＞0，总存在直线网T ，使得 S p （T ）－s p （T ）＜ε （4）平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0P I =，即对任给的ε＞0，存在直线网T ，使得S p （T ）＜ε或对任给的ε＞0，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的 《函数极限的求法和技巧》论文 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 关键词：函数极限 正文 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 lim ()0,0,:,x f x b A x x A ε→∞=??>?>?>有()f x b ε-< lim ()0,0,,x f x b A x A ε→-∞ =??>?>?<-有()f x b ε-< lim ()0,0,,x f x b A x A ε→+∞ =??>?>?>有()f x b ε-< lim ()0,0,:0,x a f x b x x a εδδ→=??>?>?<-<有()f x b ε-< lim ()0,0,:,x a f x b x a x a εδδ→+=??>?>?<<+有()f x b ε-< lim ()0,0,:,x a f x b x a x a εδδ→-=??>?>?-<<有()f x b ε-< 例1： 用极限定义证明 1 11lim x x x →+∞ -=+ 证明：不妨设想x>-1,? ε>0 ,要使不等式 12 111 x x x ε--=<++ 成立.解得x> 2 1ε -(限定0< ε<2)取A= 2 1ε -.于是， 2 0,1,,A x A εε ?>?= -?>有 1 11 x x --+< ε,即 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本论文将通过对函数的诞生与发展、函数在各个领域的应用及函数在未来的发展进行研究，从而让我们对函数有进一步的认识。 了解函数的诞生背景 1.早期函数的概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰?贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶发现某些函数也可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关 定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理 第九章定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 4.理解并熟练地应用定积分的性质； 5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 3.理解并熟练地应用定积分的性质； 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学时数：14学时 § 1 定积分概念（2学时） 教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1.曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分. 解取等分区间作为分法, . 取 .= . 由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分. 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分. 例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 . 四、小结：指出本讲要点 § 2 Newton — Leibniz公式（2学时） 教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. Th9.1 （N — L公式）( 证 ) 例1求ⅰ> ; ⅱ> ; 例2 求. §3可积条件（4学时） 教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 ，在区间上有界. 二、充要条件: 河南科技大学 课程设计说明书 课程名称数学分析课程设计 题目函数项级数的一致收敛性 学院数学与统计学院 班级＿＿数学与应用数学121班 学生姓名＿＿＿常惠丽 指导教师＿＿＿冯爱芬 日期＿2015年1月9号 课程设计任务书 （指导教师填写） 课程设计名称数学分析课程设计学生姓名常惠丽专业班级基数121 设计题目函数项级数的一致收敛性 一、课程设计目的 数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。 二、设计内容、技术条件和要求 运用级数理论解决一定的实际问题。由此对级数收敛的判别方法形成深刻的认识，从而利用函数的级数展开分析问题和解决问题。 掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。 三、时间进度安排 第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。 第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。 第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。 第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。 第五天, 提交实习成果及文档。 四、主要参考文献 1．陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004． 2．陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003．3．华东师大数学系编.数学分析．第三版．北京：高等教育出版社，2001．4．费定晖．Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解（1～6册）．第四版．济南：山东科学技术出版社，2012． 指导教师签字：2015 年 1 月 5 日 第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx 8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时) 【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念；牢记基本积分表；掌握不定积分的线形运算法则。 【教学重点】不定积分的概念，基本积分表，不定积分的线形运算法则。 【教学难点】求不定积分的技巧。 【教学过程】 一、原函数与不定积分 (一) 原函数 定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。若 )()(x f x F =′， I x ∈， 则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。 如：331x 是在R 上的一个原函数；2x x 2cos 21?， 12cos 2 1+x ，，等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的。 x 2sin x 2cos ?x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ )(x f 问题 2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 )(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续，则在)(x f I 上存在原函数。 )(x F （证明在第九章中进行。） 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数，则（1）设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数，其中C 为任意常量（若存在原函数，则其个)(x f 数必为无穷多个）。（2）在)(x f I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证：(i)这是因为[] .),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数，则有 [] I x x f x f x G x F C x F ∈=?=′?′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道I x C x G x F ∈≡?,)()(． 口 （二） 不定积分 定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分，记作： ∫dx x f )( 其中∫积分号；被积函数； ????)(x f ??dx x f )(被积表达式；??x 积分变量。 注1： 是一个整体记号； ∫dx x f )(注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族)(x F )(x f )(x f {}C x F +)(，其中是任意常数，于是，记为：∫=。 C dx x f )(C x F +)(此时称C 为积分常数，它可取任意实数。故有 ——先积后导正好还原； ∫=′)(])([x f dx x f 或 。 ∫=dx x f dx x f d )()( ∫——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 +=′C x f dx x f )()(或 ∫。 +=C x f x df )()(如： C x dx x +=∫332， C x xdx +?=∫2cos 212sin 。 不定积分的风何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线。于是，的不定积分在几何上表示的某一条)(x F )(x f )(x F y =)(x f )(x f )(x f 第二十一章 重积分 6重积分的应用 一、曲面的面积 问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积. 分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=?n i i S 1 ≈∑=?n i i A 1 , 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积. ∴当T →0时，可用和式∑=?n i i A 1 的极限作为S 的面积. 建立曲面面积计算公式： ∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=) ,(),(11 22i i y i i x f f ηξηξ++. ∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i = i i γσcos ?=i i i y i i x f f σηξηξ?++),(),(122. 又和数∑=?n i i A 1 =∑=?++n i i i i y i i x f f 1 22),(),(1σηξηξ是连续函数 ),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有 △S=∑=→?++n i i i i y i i x T f f 1220 ),(),(1lim σηξηξ=??++D y x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑ =→?n i i i T 1 cos lim γσ=??∧ D z n dxdy ) ,cos(, 其中),cos(∧ z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦. 例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤2 1 , 0≤θ≤2π}, 又z x = 2 2y x x += r r θcos =cos θ, z y =22y x y +=r r θsin =sin θ, ∴△S=??++D y x dxdy z z 221=?? π θ20210 2rdr d = π4 2. 例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=?'+b a dx x f x f )(1)(22π. 证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x = 2 2)()()(y x f x f x f -', z y = 2 2 )(y x f y --. 即有 221y x z z ++=2 22 2222)()()()(1y x f y y x f x f x f -+-'+=2 222)()) (1)((y x f x f x f -'+. ∴S=??--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx ) () (2 22)()(1)(2=??-'+b a x f dy y x f dx x f x f )(0222)(1 )(1)(4 =??---'+b a x f x yf d x f y dx x f x f ) (0 1 2 22))(()(11)(1)(4 第一篇 分析基础 1.1收敛序列 （收敛序列的定义） 定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有 ε<-a x n 那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为 a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n 定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件 N n z y x n n n ∈?≤≤, 如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有 a y n =lim 定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价 （1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得 , 1,2,.n n x a a n =+=L （收敛序列性质） 定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5： （1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。 （2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。 （3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。 （4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则a x n 11lim =。 （5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim lim lim n n n n y y b x x a ==。 （收敛序列与不等式） 定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有 n n x y < 定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足 0, ,n n x y n N ≤?> 那么 lim lim n n x y ≤数学分析9.1定积分概念
如何撰写数学分析优秀论文
华东师范大学数学系《数学分析》讲义重积分【圣才出品】
大学《数学分析论文》原创
数学分析论文(第一版)
巧用定积分求极限(数学分析)
数学分析之定积分
数学分析课程设计的论文汇总
数学分析8不定积分总练习题
数学分析不定积分
数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)
(完整版)数学分析知识点总结(定积分)