数学分析9.1定积分概念

第九章不定积分 1 定积分概念

一、问题提出

1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形.

在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0

而直线x=x i , i=1,2,…,n-1又将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形. 在每个[x i-1,x i ]上任取一点ξi , 作以f(ξi )为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形. 当分割[a,b]的分点足够多，分割得足够细密时，可用这些小矩形的面积近似地替代相应小曲边梯形的面积. 于是，这n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值，即S ≈∑=n

1i f (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1).

当和式与某常数无限接近且与x i 和ξi 的选取无关时，则把此常数定义为曲边梯形的面积S.

2、变力所作的功：质点受变力F 的作用沿点a 移动到点b ，力与运动方向平行，则F=F(x), x ∈[a,b]为连续函数，此时在很小一段位移区间上F(x)可以近似看作一个常量，把[a,b]细分为n 个小区间[x i-1,x i ]，△x i =x i -x i-1, i=1,2,…,n. 在每个小区间上任取一点ξi ，就有

F(x)≈F(ξi ), x ∈[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 于是质点从x i-1位移到x i 时，力F 所

作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n

i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1).

对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W.

注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”.

二、定积分的定义

定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0

i 1max ≤≤{△x i }，称为分割T 的模.

定义2：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割 T={△0,△1,…,△n }, 任取ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，并作和式∑=n

1i f (ξi )△x i ，称此

和式为函数f 在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼和.

定义3：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a,b]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }, 只要║T ║<δ，就有|∑=n

1i f (ξi )△x i -J|<ε，则称

函数f 在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[a,b]上的定积分

或黎曼积分，记作：J=?b

a f (x)dx. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a 、

b 分别称为这个定积分的下限和上限.

注：1、可用极限符号表达定积分：J=∑=→n

1i 0

T f lim (ξi )△x i =?b

a f (x)dx. 2、连续函数可积：

1)连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为：S=?b

a f (x)dx. 2)连续变力F(x)作用下，质点从a 位移到

b 所作的功为：W=?b

a F (x)dx. 3、定积分的几何意义：对于[a,b]上的连续函数f ，当f(x)≥0时，定积分的几何意义是该曲边梯形的面积；当f(x)≤0时，定积分是x 轴下方的曲边梯形的面积，不妨称之为“负面积”，因此对一般非定号的f(x)而言，定积分J 的值是曲线y=f(x)在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

4、定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f 和积分区间[a,b]有关，与积分变量所用的符号无关，即?b a f (x)dx=?b a f (t)dt=?b

a f (θ)d θ=…

例：求在区间[0,1]上，以抛物线y=x 2为曲边的曲边三角形的面积.

解：∵y=x 2

在区间[0,1]上连续，∴S=?1

x dx=∑=→n

i 2

i 0

T ξlim △x i . 取T={0,n 1,n 2

,…,

n 1-n ,1}，ξi =n

-i , i=1,2,…,n. 则║T ║=n 1，

S=n 1

n 1-i lim n

i 2

∞n ???? ??∑=→=∑=→n

i 23∞n )1-i (n 1lim =3∞n 6n

1)-1)n(2n -(n lim

→=31

习题

1、按定积分定义证明：?b

a k dx=k(b-a).

证：对任给的ε>0，对[a,b]的任一分割T ：a=x 0

1i k (x i -x i-1)=k(b-a)，从而有

|∑f (T)-k(b-a)|=|k(b-a)-k(b-a)|=0<ε，按定积分定义知?b

a k dx=k(b-a).

2、通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{ξi }, 把定积分看作对应的积分和的极限，来计算下列定积分：

(1)?1

x dx(提示：∑=n

i 3

i =4)1(n n 2

2+)；(2)?b a x e dx ；(3)?10x e dx ；

(4)?b

x dx

在区间[0,1]上连续，∴S=?1

x dx =∑=→n

i 3

i 0

T ξlim △x i . 取T={0,n 1,n 2

,…,

n 1-n ,1}，ξi =n

-i , i=1,2,…,n. 则║T ║=n 1，

S=n 1

n 1-i lim n

1i 3

∞n ???

? ??∑=→=∑=→n

i 3

4∞n )1-i (n 1lim =422∞n 4n n 1)-(n lim →=41

. (2)对[a,b]的任意一个分割T ，由微分学中值定理知：在[x i-1,x i ]上存在ξi ’，使i

ξe '△x i =i

x e -1

-i x e ，从而有

i n

i ξx △e

∑='=)e (e 1-i i x n

i x -∑==e b -e a

. 对属于分割T 的所有积分和∑f (T)，都有

|∑f (T)-(e b -e a

)|=|i n 1i ξx △e i

∑=-i n 1i ξx △e i

∑='|=|i i i n

i ηx )△ξ-ξ(e i

'∑=|

≤i n

i ηx △T e i

∑==║T ║e b (b-a), 其中ηi 在ξi 与ξi ’之间.

故对任给的ε>0，取正数δ<

-(b e ε

，对[a,b]上的任意分割T ，当║T ║<δ时，便有|∑f (T)-(e b -e a )|< ε，∴?b

a x e dx=e

b -e a .

(3)利用(2)的结论：?b a x e dx=e b -e a . 当a=0,b=1时，S=?1

0x e dx=e 1-e 0=e-1. (4)对[a,b]上的任意一个分割T ：a=x 0

取ξi ’=i 1-i x x , i=1,2,…,n. 则∑='n

1i 2i

ξ1

△x i =∑=n

1i i 1-i 1-i i x x x -x =∑=???? ??-n 1i i 1-i x 1x 1=b 1a 1-. 从而对属于分割T 的所有积分和，都有：

|∑f (T)-(b 1a 1-)|=|∑=n 1i 2i ξ1△x i -∑='n 1i 2i

ξ1

△x i |=|∑='-n

1i 2i i i ηξξ△x i |

≤i n

i 2

x △T η1∑

=≤

T a 1

(b-a), 其中ηi 在ξi 与ξi ’之间. 故对任给的ε>0，取正数δ

-b εa 2

，对[a,b]上的任意分割T ，

当║T ║<δ时，便有|∑f (T)-(b

1a 1-)|< ε，∴?b

a x e dx=b

1a 1-.

(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

高中数学-定积分的概念测试

高中数学-定积分的概念测试 1．定积分??0 1 1d x 的值等于 ( ) A ．0 B ．1 C.1 2 D ．2 答案 B 2．已知??1 3 f (x )d x ＝56，则 ( ) A.??1 2 f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3 f (x )d x ＝56 答案 D 3．如图所示，??a b f 1(x )d x ＝M ，??a b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为 ( ) A ．M ＋N B ．M C ．N D ．M －N 答案 D

4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式 ( ) (1)??01 x d x ________??0 1x 2d x (图1)； (2)??01x d x ________??1 2 x d x (图2)； (3)??024－x 2d x ________??0 2 2d x (图3)．答案 (1)> (2)< (3)<

1．定积分可以表示图形的面积从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分??a b f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分??a b f (x )d x 的几何意义． 2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和． 3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等． 4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即??a b f (x )d x ＝??a b f (u )d u ＝??a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分??a b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如??01(x 2＋1)d x 与??0 3(x 2 ＋1)d x 的值就不同.

(完整版)高二数学定积分的概念测试题

选修2-21.5.3定积分的概念一、选择题 1．定积分??1 3(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 [答案] A [解析] 由积分的几何意义可知??1 3(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故??1 3(－3)d x ＝－6. 2．定积分??a b f (x )d x 的大小( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A 正确． 3．下列说法成立的个数是( ) ①??a b f (x )d x ＝∑i ＝1 n f (ξi )b －a n ②?? a b f (x )d x 等于当n 趋近于＋∞时，f (ξi )·b －a n 无限趋近的值 ③??a b f (x )d x 等于当n 无限趋近于＋∞时，∑i ＝1 n f (ξi )b －a n 无限趋近的常

数 ④??a b f (x )d x 可以是一个函数式子 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A [解析] 由??a b f (x )d x 的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A. 4．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 [答案] D [解析] 由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0围成的曲边梯形知由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形． ∴??1 3f (x )d x ＝??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x 即??1 2f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56. 故应选D. 5．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( ) A ．6 B ．6(b －a )

高中数学定积分计算习题

定积分的计算班级姓名一、利用几何意义求下列定积分（1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算（1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（（10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ）（（14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（（16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积

考研数学高数5定积分

第五讲：定积分定积分的概念：设()[]b a x f ,在上有界 1）任意分割：.,2,1n i x i =? 2）作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ?).(ξ 3）作和式： ()i n i i x f ?∑=.1 ξ 4）取极限：()i n i i x f ?∑=→.lim 1 ξλ 若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→?=≤≤i n v x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为 ()0 ()lim .n b i i a i f x dx f x λξ→= =?∑? 我们规定： ()()()b b b a a a f x dx f u du f t dt ?=?=? ()0a a f x dx ?= ()()a b b a f x dx f x dx ?=-? 函数可积的条件：充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积： 1、()[]b a x f ,在上连续； 2、只有有限个间断点的有界函数 3、单调函数必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。定积分的几何意义：设()[]b a x f ,在上可积（1）若()0≥x f ，则();A dx x f b a =?

（2）若()0≤x f ，则();A dx x f b a -=? （3）若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f b a +-=? 例： 1、用定义计算积分dx x 2 10?; 2、利用定积分表示下列和式的极限：（1）∑=∞→+n i n n i n 1 11lim （2）()021lim 1>++++∞→p n n p p p p n 3、利用几何意义求积分 ,)2(; )1()1(2220dx x a dx x a b a -?-? 4、比较大小：2121 1 ln (ln )e e I xdx I x dx ==? ? 定积分的性质：设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1 （线性性） ()()[]()()( )为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ?+?=+? 推论： ()()()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f dx x f A dx x Af b a b a b a b a b a ?±?=±??=? 性质2 （区间可加性） ()()()都成立或或注：不论b a c c b a b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<<<<

高中数学定积分训练题

定积分训练题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分（） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是（） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．

高中数学-定积分的概念练习

高中数学-定积分的概念练习一、基础达标 1．下列命题不正确的是 ( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0 D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且??a b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正答案 D 2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3 ＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 ( ) A. B ．2??0 1(x 3 ＋sin x )d x C ． D.??0 1(x 3 ＋sin x )d x 答案 B 3．已知??a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，??a b g (x )d x ＝10，则??a b f (x )d x 等于 ( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．不确定答案 A 4．已知定积分??06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则??-6 6f (x )d x ＝ ( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 A 5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积， S ＝________.

答案 ??a b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同) 6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________．答案由直线x ＝0，x ＝π 2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积 7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值． (1) x d x ；(2) cos x d x . 解若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则??a b f (x )d x 表示所围成的图形面积的负值． (1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0. 二、能力提升 8．和式 1n ＋1＋1n ＋2＋ (12) ，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( ) A.??011x d x B.? ?0 1 1 x ＋1d x

高等数学教案22定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2

（1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i Λ=，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从

高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2

§1.5.3定积分的概念教学目标： 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习： 1． 2二．新课讲授 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[ ,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间 []1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ，作和式： 11 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-=D =邋如果x D 无限接近于0（亦即n ? ）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =ò，其中 - ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量， [,]a b －积分区间，( )f x dx －被积式。说明：（1）定积分() b a f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ? 时）记为 ()b a f x dx ò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -?；③求和：1 ()n i i b a f n x =-?；④取极限：() 1 ()l i m n b i n a i b a f x dx f n x =-=?ò （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ò；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =ò ；变力做功 ()b a W F r dr = ò 2．定积分的几何意义

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。注：1：定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

人教版高中数学定积分概念及其运算

第 1 页定积分一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积分割→近似取代→求和→求极限说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质）性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<

高等数学第五章定积分总结

第五章定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念一、实例分析 1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑，若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥