人教版高中数学定积分的概念第3课时

§1.5.3定积分的概念

【学情分析】：

前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：

（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质

（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.

【教学重点】：

理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质

【教学难点】：

对定积分概念形成过程的理解

练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[]

,a b

上的定积分是积分和的极限，即

()b

a

f x dx =?

_________________ .

答案：0

1

lim

()n

i

i

i f x λξ→=?∑

2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；

3.定积分的几何意义是_______________________ .

答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和； 4.据定积分的几何意义()a b <，则________;b

a

dx =?________.b

a

xdx =?

答案：b a - ， 22

2

b a -

（提高题）

5.将和式极限表示成定积分

(1). 2

1

lim

(12)n n n →∞+++L

解：122

011

11

1

lim (12)lim lim n

n

n n n i i i n i xdx n n

n n →∞→∞→∞==+++===∑∑?L (2). 2

1lim

()n

i i i f

x λξ→=?∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=L

解：2

20

1

lim

()()()n

b

b

i i a

a

i f

x g x dx f x dx λξ→=?==∑??

6. 利用定义计算定积分

2

1

1

.dx x

?

解：在[1,2]中插入分点2

1

,,,n q q q -L ,典型小区间为1[,]i i

q q -，（1,2,,i n =L ）

小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --?=-=-,取1

i i q ξ-=，（1,2,,i n =L ）

1

11

111

1()(1)n

n

n

i i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===?=?=-∑

∑∑1

(1)(1)n

i q n q ==-=-∑

取2n

q =即12n

q =，

11

()(21),n

n

i

i

i f x

n ξ=?=-∑

1

121

lim (21)lim

ln 2,1

x x

x x x x

→+∞

→+∞--==Q

1lim (21)ln 2,n

n n →∞

∴-=

12

1

0111

lim lim (21)ln 2.n

n i n i i

dx x n x λξ→→∞==?=-=∑?

()

i g ξi x ?i ξ