【高中数学】定积分的概念、微积分基本定理
【高中数学】定积分的概念、微积分基本定理
知识讲解
1. 一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的________。
2. 以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤：
①________ ，②________ ，③________ ，④________ . 3. 定积分的定义：
如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[a,b]等分成n 个小区间。在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=L 作和式______________ ，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的 。记作：________
即?b
a dx )x (f =)(f n a
b lim
i n
1
i n ξ-∑=∞
→.记为：__S = 。
其中：①()f x 称为_________，x 叫做___ ___，[,]a b 为__________，b 为___________，a 为_________. ②定积分
()b
a
f x dx ?
是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，
()()()b
b
b a
a
a
f x dx f t dt f y dy ==?
??
【探究一】讨论定积分的几何意义是什么？
（1）如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥， 那么定积分
()b
a
f x dx ?表示： ；
（2）如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有f(x)≤0， 那么定积分
()b
a
f x dx ?
表示： ；
（3）如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时， 那么定积分()b
a
f x dx ?
表示 ；
【探究二】讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面积：
。
C
O x y
a
b A B
D )(2
x f y =)
(1x f y =
【探究三】定积分的性质
根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质： （1）a b dx b
a
-=?1
（2）()b
a kf x dx =? （k 是常数）； （3）()()12b
a
f x f x dx ±=?????
；
（4）()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??（其中a b c <<）；
典例分析
例1. 用图表示下列函数的定积分，并求出定积分
(1) ∫012dx (2) ∫12xdx (3)322
166x x -+-?
d x
例2. 计算定积分
2
1
(1)x dx +?
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积.
例3. 计算定积分5
(24)x dx -?
例5. 求如图所示阴影部分图形的定积分.
选做题：(课后探究)
用定积分的几何意义说明下列不等式：
①220
2
cos 2cos d d π
π
πθθθθ-=??
②
sin 0xdx π
π-
=?
巩固练习 (A 层)
1. 由y=sinx ，x=0，x=2
π
，y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 . 2. 定积分?
b
a
dx x f )(的大小（ ）
A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关
B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关
C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关
D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关
3. 下列等式成立的个数是（ ）
①
?
?=1
1
)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ???=+ππππ
02
20
sin sin sin ③dx x dx x a a a ??=-02 ④??
<-2
2
224dx dx x
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
(B 层) 4. 画出?
-3
1
2)2(dx x x 表示的图形.
5. 画出由曲线3
6y x x =-和2
y x =所围成的图形的面积.
(C 层)
6. 计下列定积分(1)(2)
(1) dx x ?
--2
2
24
(2) ?
?
-+
-2
1
1
)1()1(dx x dx x
7. 计算1
31
x dx -?
的值
知识讲解
【探究一】导数与定积分的联系
问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=，设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？
如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b
a f x dx F
b F a =-?，这个结论叫做微积分基本定
理，也叫牛顿—莱布尼兹公式。
为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()b
b
a a f x dx F x F
b F a ==-?
试试：计算1
20
x dx ?
反思：计算定积分()b
a f x dx ?的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x ，通常我们可以运用基本初等函数的求导公
式的四则运算法则从反方向求出()F x 。
典型例题
例1. 计算下列定积分：
（1）211
dx x
?
； （2）3
2
1
1
(2)x dx x -
? 变式：计算2
20
4x dx -?
小结：计算定积分()b a
f x dx ?的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 例2. 计算下列定积分：
(1) 0
sin xdx π
?
(2) 2sin xdx π
π? (3)
20
sin xdx π
?
.
变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.
(1) 22
cos dx π
π-?；
(2) 0
cos dx π
?
(1) 32
2
cos dx ππ-?
总结：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.
（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；
（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
巩固练习
1. 计算：211
()x dx x
-?
2. 计算：0
sin xdx π
-?
3. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()b
a
f x dx ?的符号（ ）
A ．正 B.当0a b <<时为正，当0a b <<时为负 C ．负
D ．以上结论都不对
4. 函数0
cos x y xdx =?的一阶导数是（ ）
A ．cos x
B ．sin x -
C ．cos 1x -
D ．sin x
5. 与定积分320
|sin |x dx π
?相等的是（ ）
A ．320
|sin |xdx π? B ．320
sin xdx π?
C ．32
0sin sin xdx xdx ππ
π
-??
D.3220
2
sin sin xdx xdx πππ+??
6. 2
1
(1)x dx -?
= .
7.
2
2
1
1
dx x ?
= . 8. 计算定积分：
（1）2
20
(42)(4)x x dx --?
（2）22
1
23
x x dx x
--?
. 9. 计算定积分30
sin xdx π?的值，并从几何上解释这个值表示什么.