第3章变分法与哈密顿原理

1哈密顿原理

牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；

四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和

波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得

（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色 平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。

在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）

7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数

哈密顿原理

§7-4 哈密顿原理 人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律. 牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架. 哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架. 哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义. 一、变分法简介 1. 函数的变分. 自变量为x 的函数表示为)(x y y =. 函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化. 函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起

的. 这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ. 与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下: )()0,(),(* x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()x x y x y y εηε=?=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动. q t d d →函数的微分. 在曲线I 附近, 存在 着许多相邻曲线, 这些曲 线都满足力学系统的约束 条件, 称为可能运动曲线, 它们的方程表示为 ()()()t t q t q εηε+=0,,* 在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ, ()()()t t q t q q εηεδ=?=0,,*

5.7哈密顿原理作业

１ 哈哈密密顿顿原原理理作作业业 1.如图示，质量为m 的复摆绕通过某点O 的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为0I ，质心C 到悬点O 的距离为 ，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振 动周期。 1.解:取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为： θ+θ=-=cos mg I 21 V T L 2 0 其中取悬点O 为零势能点。 于是哈密顿原理0dt L 21t t =δ?可得：0dt cos mg I 2 121t t 20=??? ??θ+θδ? 即：()0dt sin mg I 2 1t t 0=θδθ-θδθ ? 而δθθ-δθθ=δθθ=θδθ 0 000I )I (dt d )(dt d I I 则：()0dt sin mg I )I (dt d dt sin mg I 212 1t t 00t t 0=??? ??θδθ-δθθ-δθθ=θδθ-θδθ ?? 即：()0dt sin mg I I 212 1t t 0t t 0=δθθ+θ-δθθ ? 而0I 21t t 0=δθθ ，δθ取任意值 所以：0sin mg I 0=θ+θ 即：0sin I mg 0=θ+θ 而θ≈θsin ，则:0I mg 0 =θ+θ ，此即为所求的运动方程。 其中角频率0I /mg =ω 所以振动周期)mg /(I 2/2T 0 π=ωπ=。 2.试用哈密顿原理求质量为m 的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。 2.解:取x,y,z 为广义坐标，则： 体系的动能)z y x (m 2 1 T 222 ++= 势能mgz V =（以地面为零势能点） 拉氏函数mgz )z y x (m 21 V T L 222-++=-=

1哈密顿原理

1哈密顿原理

牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；

四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和

1哈密顿原理-新版.pdf

牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中， 真实运动的主函数具有 稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时） ；

四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数 L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量 ),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，i q dt dq i /是广义速 度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上 运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有 ,两 个，其中cos sin R x ，cos ,sin sin R z b R y ；一 般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐 标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势 能之差；U T L 哈密顿量H

简单的论述哈密顿原理

简单的论述哈密顿原理 摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。 关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程 1.引言 哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至 之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为 什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。 2.理论 2.1变分运算与积分运算次序的可交换性 假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称 为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即

显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随 之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的 泛函。 下面证明变分运算与积分运算顺序的可交 换性，该泛函只依赖一个函数，即 自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形 式与不同的函数有许多。 假设这些函数可以表示为如下的形式： 其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函 数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成 引入（2）式的记法（1）可记为 被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数 的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数

经典力学的哈密顿理论.

第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用 z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变， 用k j i ,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变 矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v ,等物理量。从直角坐标到极坐 标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

量子力学 第二章 算符理论

第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到

哈密顿原理

哈密顿原理 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）； 四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性

1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x = ， θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义 坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差； U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和 ),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ） 其中 )(/i i q L p ??=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。作用量I 定义为 ?=2 1 t t Ldt I 其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。 2.哈密顿原理及轨道稳定性

量子力知识学知识题解答-第3章

第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 22 1??,2Q F Q F i σσ????≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 *()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为

自主学习01 教材内容 第三章 力学量与算符

自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测

重点难点

通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)

由哈密顿原理推导拉格朗日方程

由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班 一、问题重述 试由210t t Ldt δ=?推导()0d L L dt q q αα ???-=?? 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ?= ，和 22 11()0t t t t Ldt L dt δδ==?? (1) 现在来秋L δ。L 是q , q ? , t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L L L q q q q δδδ????=+??……………………..（2） ()()()L L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ?????????==?-????……………….（3） 将（3）代入（2）得 ()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ?????=?-+???…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt q q q δδδ??????+-+=????…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为 2 1(())0t t d L L q q dt dt q q δδ???-=???………………………………（6）即 2 1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ???-+=???……………………………………（7） q 是独立变量，所以有 ()0d L L dt q q ???-+=??即 ()0d L L dt q q ???-=??此式即为拉格朗日方程

7第5章哈密顿原理

48 第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2 k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数

7第5章哈密顿原理

第 5 章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判 别准则以区分真实运动和可能的运动。 哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间 的位形轨迹加以比较， 而哈密顿作用量 S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函， 从而得到对 真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系， 开拓了应用前景； 由动力学普遍方程对时间积分， 导出一个重要的力学变分原理——哈密顿 原理， 提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则； 对于有限过程， 提供了 一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是 2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题 是研究这个微分方程组的积分， 但是求解往往是很困难的。 哈密顿正则方程的重要性在于它 将 n 个二阶微分方程变换为 2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了 有利条件。 若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用， 则哈密顿正则方程对分析力学 中的积分理论起着基础的和推动的作用。 哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性 研究中， 并不需要求解微分方程组， 而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方 法求解。 5.1.1 正则方程的建立 设拉格朗日函数 L 满足条件 2 L det 0 q j q k 于是， 可由式 (5-2)反解出 q j f j (q 1, ,q k , p 1, , p k , t) (j 1,2, ,k) 式(5-3)和式(5-4)就把方程 (5-1)由 k 个二阶微分方程化为 组(5-4) 并非正则形式。引入 哈密顿函数 k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 dL dt q j L q j 0 ( j 1,2, ,k) 引入广义动量 p j L (j 1,2, ,k) q j 代入式 (5-1) ，有 L p j (j 1,2, ,k) (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) 2k 个一阶微分方程，其中方程 对于主动力均有势的 q j

耗散系统的哈密顿原理及其应用

题目耗散系统的哈密顿原理及其应用 学生闫俊杰学号1210014049 所在学院物理与电信工程学院 专业班级物理学1202 班 指导教师王剑华__ __ 完成地点理工学院

2016 年 5 月20 日

耗散系统的哈密顿原理及其应用 作者：闫俊杰 （理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级，723000） 指导老师:王剑华 [摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。 [关键词] 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律. 引言 哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，

哈密顿原理

哈密顿原理 设n 个质点所形成的力学体系受有k 个几何约束，则这力学体系的自由度是k n s -=3。因此，我们如果能够做到把s 个广义坐标αq ),,2,1(s =α作为时间t 的函数加以确定，我们也就确定了这力学体系的运动。因运动方程是s 个二阶微分方程，故有s 2个积分常数，兹以s c c c 221,,, 表之。另一方面，我们也可以认为s 个确定的αq 代表着s 维空间的一个点，而描写力学体系运动状态的积分 ),,,,(221s c c c t q q αα= ),,2,1(s =α （5.7.7） 由于时间t 的推移则在s 维空间中描出一条曲线。 为了寻求力学体系的运动规律，哈密顿提出可以从具有相同端点，并为约束所许可的许多条可能的运动轨道即s 维空间曲线中，挑出一条真实轨道。为此，可以采用变分法的方法来挑选这一条真实轨道。既然可以从许多约束所许可的轨道中，选出真实轨道，当然也就确定了力学体系沿这条真实轨道运动时的运动规律。 我们现在用拉格朗日方程来推导在保守力系作用下的哈密顿原理。至于任意力系作用下的哈密顿原理，由于用得不是太多，我们就从略了。 把拉格朗日方程（5.3.18）中的各项乘以αδq ，对α求和，然后沿着一条可能的运动轨道即s 维空间一条曲线自两曲线共同端点)(11t t P =至)(22t t P =对t 积分，则得 0211=?? ????????????????-???? ?????∑=dt q q L q L dt d t t s ααααδ （5.7.8） 但 )(ααααααδδδq dt d q L q q L dt d q q L dt d ??-??? ? ????=???? ???? ααααδδq q L q q L dt d ??-??? ? ????= (5.7.9) 因哈密顿用的是等时变分，故这里也用了变分对易关系式)(ααδδq dt d dt dq =??? ??，把式（5.7.9）代入式（5.7.8），得 ?∑∑===??? ? ????+??-??2111210t t s s dt q q L q q L t t q q L ααααααααδδδ (5.7.10) 因);,,,;,,,(2121t q q q q q q L L s s =，而1|t t q =αδ=2|t t q =αδ=0,故式（5.7.10）简化为 ?=2 10t t Ldt δ (5.7.11) 又因0=t δ，故式（5.7.11）中积分号内的δ可移至积分号外，即

耗散系统的哈密顿原理及其应用

题目耗散系统的哈密顿原理及其应用 学生姓名闫俊杰学号 1210014049 所在学院物理与电信工程学院 专业班级物理学1202 班 指导教师王剑华 __ __ 完成地点陕西理工学院 2016年 5 月 20 日

耗散系统的哈密顿原理及其应用 作者：闫俊杰 （陕西理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级，陕西汉中 723000） 指导老师:王剑华 [摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。 [关键词] 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律. 引言 哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,内容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学范畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学范畴。耗散系统就是指一个不断地与外界交换能量的系统这样的新结构就是耗散结构[2]。拉格朗日方程是力学理论中的基本方程，它在力学系统中得到广泛的应用。它的表述形式不再是直观的矢量形式，而是抽象的数学分析，即分析力学。分析力学所注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，同时又扩大了坐标的概念。所以拉格朗日方程更适用于处理复杂力学系统的问题，而且可以更进一

波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得

（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单 色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。

在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）