金融经济学(王江)习题解答

金融经济学习题解答

王江

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2006 年 8 月

第2章

基本框架

2.1 U(c) 和V (c) 是两个效用函数，c2 R n+，且V (x) = f(U(x))，其中f(￠) 是一正单调

函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。

解.假设U(c)表示的偏好关系为o，那么8c1; c22R N+有

U(c1) ? U(c2) , c1 o c2

而f(￠)是正单调函数，因而

V (c1) = f(U(c1)) ? f(U(c2)) = V (c2) , U(c1) ? U(c2)

因此V(c1)?V(c2),c1oc2，即V(c)表示的偏好也是o。

2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态a和b，它们的发生概率相等：

a

b

考虑定义在消费计划c= [c0;c1a;c1b]上的效用函数：

U(c) = log c0 + 1 (log c1a + log c1b)

2

3′

U(c) =

1

c01?°+21

1

c11a?°+

1

c11b?°1?°1?°1?°

U(c) = ?e?ac0?21?

e?ac0+e?ac0

￠

证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。

解.在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。

(a) 先证明不满足性。假设c?c0，那么

有c0 ? c00; c1a ? c01a; c1b ? c01b

而log(￠)是单调增函数，因此有

log(c0) ? log(c00); log(c1a) ? log(c01a); log(c1b) ? log(c01b)

因而U(c)?U(c0)，即coc0。

——

2

第 2 章 基本框架

(b) 现在证明连续性。令 fc (n )g 11 为 R 3 中一个序列，且 lim n!1 c (n ) = c 。对于

8 " > 0; 9 ±，当 j c 0i ? c i j· ± 时我们有 j log(c 0i ) ? log(c i ) j< 3"

; i = 0; 1a; 1b ；对

于 ±，9 N 使得当 n ? N 时，

k c (n ) ?

c k = q

< ±

(c 0 ? c 0(n ))2 + (c 1a ? c 1(n a ))2 + (c 1b ? c 1(n b ))2 因而 j U (c (n )) ? U (c ) j< "，故 lim c (n )!c U (c (n )) = U (c )。 (c) 最后证明凸性。假设 U (C ) > U (C 0)，那么

log(c ) + 1 log(c 1a ) + 1 log(c 1b ) > log(c 0 ) + 1 log(c 0 ) +

1 log(c 0 )

0 2 2 0 2 1a

2 1b

对于 8 ? 2 (0; 1)，

U (?C 0 + (1 ? ?)C )

1 1

= log(?c 0 + (1 ? ?)c 0) +

log(?c 1a + (1 ? ?)c 1a ) +

log(?c 1b + (1 ? ?)c 1b )

2 2

1 0 1 0

1 1 ? ?(log(c 0) + log(c 1a ) + log(c 1b )) + (1 ? ?)(log(c 0) +

log(c 1a ) +

log(c 1b )) 2 2 = ?U (C 0) + (1 ? ?)U (C ) > U (C 0)

故凸性成立。

2.3 U (c ) = c ? 12 a c 2

是一可能的效用函数，其中 c 2 R +，a 是非负的系数。U (c ) 具有不

满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U (c ) 具有不满足性？

解. 不一定。比如当 a = 1 时，U (12 ) = 38 < U (1) = 12 > U (3) = ?1:5。U (c ) 不

具有不满足性。当 a = 0 时，U (c ) = c 具有不满足性；当 a > 0 时，当 c 2 [0;

a 1

] 时 U (c ) 具有不满足性。

2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a ，b 和 c ：

a

b c

证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X 1 = [1; 1; 1] 以及 X 2 = [1; 2; 3]。它们的价格分别为 S 1 和 S 2。

(a) 描述这个经济的支付空间。 (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X 。

(c) 考虑含有 μ1 单位的证券 1 和 μ2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的

支付向量。这个组合的价格是多少？

°c 王江 金融经济学

3

(d) 假设这个市场中总共有K个参与者。每个参与者的禀赋是1单位的证券1

和2单位的证券2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？

市场组合的总价值是多少？

(e) 写出市场化支付的集合。

(f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？

(g) 现在引入新的证券3，它的支付向量为X3= [0; 0; 1]。写出新的市场结构矩

阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？

解.

(a) 这个经济的支付空间是 R3；

4 1 1 5

1 3

= [X1; X2]；

(b) 市场结构矩阵为X = 2 1 2 3

(c) 组合的支付向量为μ1X1 + μ2X2 = [μ1 + μ2; μ1 + 2μ2; μ1 + 3μ2]，组合的价格是

μ1S1+ μ2S2；

(d) 市场组合是K单位的证券 1 和 2K单位的证券 2，组合的支付向量为

[3K; 5K; 7K]，组合的总价值是KS1 + 2KS2 ；

(e) 市场化的支付集合是M = fY2 R2 : Y = μ1X1 + μ2X2; μ1; μ22 R g；

(f) 这时的市场化支付集合是M+ = fY 2 R2: Y = μ1X1+ μ2X2; μ1; μ2 2 R+g；

合为 3 4 1 1 0 5 。

1 3 1

(g) 新的市场结构矩阵为X = 2 1 2 0 3 = [X1; X2; X3]，此时的市场化支付集

M = fY 2 R : Y = μ1X1+ μ2X2+ μ3X3; μ1; μ2; μ3 2 R g

2.5 在练习 2.4中定义的只存在证券1和2的经济中。考虑一个禀赋为μ1单位的

证券1和μ2单位的证券2的参与者。写出他的预算集。

解.参与者的预算集是fC2R3+:C=?1X1+?2X2;其中?1S1+

?2S2·μ1S1+μ2S2g。

2.6 在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3，它的价格为S3。这时，参与者的

预算集是什么（他在证券3上的禀赋为0）？证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集。

解.此时参与者的预算集就变成了fC2R3+:C=?1X1+?2X2+?3X3;其中?1S1+ ?2S2+ ?3S3 · μ1S1+ μ2S2+ μ3S3g。

2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参与者

1的0期禀赋为100而1期禀赋为1，即他的禀赋向量为[100; 1]。他的偏好可

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4第2章基本框架以表示成如下形式：

U(c0; c1) = log c0+ ? log c1:

系数?为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + r F。这里，r F是利率。

(a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用

U a是什么？

(b) 现在假设他可以在市场上进行交易。

2他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富w是多少？

2写出参与者的优化问题。令c0为参与者的当前（即0期）最优消费、s为最优储蓄以及U b为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择

以及相应的效用。把U b表示成财富w、利率r F和偏好系数?的函数。

2讨论参与者的最优选择如何依赖于利率r F和偏好系数?。给出解释。

(c) 证明U b?U a。

(d) 令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为

U b(w ? g) = U a:

计算g。讨论g如何依赖于?？g如何依赖于r F？给出解释。

解.

(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即

c0= 100; c1= 1; U a= log(100) + ? log(1) = log(100)

(b) 参与者的预算集是fC2R2+:c0= 100?S; c1= 1 +S(1 +r F); S2R g，如

果以当前消费为单位，他的总财富是w= 100 +1+1r F。参与者的优化问题就是

max log(100 ?S) + ? log(1 + S(1 + r F ))

S

我们求得最优储蓄

S = 100?(1 + r F ) ? 1

(1 + ?)(1 + r F )

最优消费为

c0= 100(1 + r F ) + 1

=

1

w; c1 =

?(100(1 + r F) + 1)

=

?(1 + r F)

w (1 + ?)(1 + r F ) 1 + ? (1 + ?)(1 + r F ) 1 + ?

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