立体几何基础知识

立体几何基础知识

1. 平面的概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性

2. 平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45

，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，

当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画

②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC .

3. 空间图形是由点、线、面组成的

为α?a .

4. 平面的基本性质

(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示：ααα??∈∈a B A ,． 如图示：

应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延

伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

(2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这

个公共点的直线

符号表示：A l A ααββ∈?

?=?∈?

且A l ∈且l 唯一如图示：

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．

(3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈

应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图

形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

(4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面

推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l

(5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面

推理模式：P b a = ?存在唯一的平面α，使得αα??b a ,

(6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面

推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得αα??b a ,

5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形.

6. 空间两直线的位置关系

（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．

一个平面内，没有公共点；

7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?．

8. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

9. 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相

等

10. 空间两条异面直线的画法

a

b

1

A

A

11. 异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：,,,

A B l B l

ααα

?∈???AB与l是异面直线

12. 异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线//,//

a a

b b

''，,a b

''所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b

''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上

注:异面直线所成的角的范围：

2

,0(

π

13. 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b垂直，

记作a b

⊥．

14. 求异面直线所成的角的方法：通过平移，把两条异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角.

15. 两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交

．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线

理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的

距离．

注意:两条异面直线的公垂线有且只有一条

16. 直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:α

?

a;

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A

α=

，

（3）直线和平面平行（没有公共点）;符号表示为: //

aα．

17. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个

平面平行．

推理模式：α

α

α//

//

,

,a

b

a

b

a?

?

?．

18. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

和交线平行．

推理模式：b a b a a //,,//?=?βαβα ．

19. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

20. 图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．

21. 平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相

平行．

推理模式：：a β?，b β?，a b P = ，//a α，//b α//βα?．

22. 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，

那么这两个平面互相平行．

推理模式：βαββαα//,,,,,//,//'

''''''???=??=b a o b a b a o b a b b a a ．

23. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==? ．

24. 面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

推理模式：//,//a a αβαβ??．

25. 线面垂直定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α

26. 直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

27. 直线和平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行

28. 两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

29. 两平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

推理模式：a α?，a β⊥?αβ⊥．

30. 两平面垂直的性质定理：

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

推理模式：l a a l ⊥?=⊥,,,αβαβα a β?⊥

31. 异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的

大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上

注:异面直线所成的角的范围：2

,

0(π

32. 求异面直线所成的角的方法：

33. 直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角

注:①一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角

②直线和平面所成角范围： [0，

2

π]

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

34. 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱

为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；

35. 二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角

l αβ--的平面角

（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也

是l αβ--的平面角

说明：①二面角的平面角范围是[0,180]

；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

36. 求二面角的射影公式：S

S '=

θcos ， 其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小

37. 点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA

是点P 到平面α的距离

即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短

38. 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．

39. 公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线

40. 两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线

段；

41. 公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；

42. 两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度

说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到

过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离

43. 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离

(转化为点面距离)

44. 两个平行平面的公垂线、公垂线段：

（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 （3）两个平行平面的公垂线段都相等

（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长

45. 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离

46. 七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、

两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求

47. 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边

叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线

48. 棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平

行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）

49. 棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的

直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……

50. 棱柱的性质

（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形

51. 直棱柱：

52. 正棱柱：

53. 长方体的性质:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和

54. 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公

共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．

55. 棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示例如五棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -．

56. 棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱

锥，五棱锥……

57. 棱锥的性质：

定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点

到截面的距离与棱锥高的平方比．

中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面

58. 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜

高）．

（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上

的射影也组成一个直角三角形

59. 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与

定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O

60. 球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截

面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =

为半径的一个圆，截面是一个圆面注:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

61. 表面积、体积公式

（1）直棱柱的侧面积：ch S =；

（2）圆柱的侧面积：rl cl S π2==(其中c 为底面圆的周长)； （3）正棱锥的侧面积: h c S '=2

1

(其中h '为斜高); （4）圆锥的侧面积：rl cl S π==

21

(其中c 为底面圆的周长); （5）圆台的侧面积: l r r l c c S )()(21

'+='+=π;

（6）球的表面积：2

4R S π=； （7）柱体的体积:Sh V =;

（8）锥体的体积：Sh V 31

=;

（9）台体的体积：h S S S S V )(31

+'+'=;

（10）球的体积公式：43

V R π=

注意: ①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R ，而在实际问题中常给出球的外径（直径）

②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化