立体几何基础知识.doc

普通高考数学科一轮复习精品学案

第10讲空间中的平行关系

一.课标要求：

1.平而的基本性质与推论

借助方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位罝关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

?公理h如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

?公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

?公理3:如果两个不重合的平而有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

?公理4:平行于同一条直线的两条直线平行；

?定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2.空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，

认识和理解空间屮线而平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

?平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;

?一个平面A的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行;

通过直观感知、揀作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明:

?一条直线与一个平而平行，则过该直线的任一个平而与此平而的交线与该直线平行；

?两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行;

?垂直于同一个平面的两条直线平行

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二.命题走向

立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在

难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2013年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：

(1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；

(2)在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

三.要点精讲

1.平面概述

(1)平面的两个特征：①无限延展②平的(没有厚度)

(2)平而的画法：通常画平行四边形来表示平面

(3)平面的表示：用一个小写的希腊字母《、A、/等表示，如平面O、平面用

表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

2.三公理三推论：

公理h若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A G / ,Be / ,Ae a ,Be a => I cza

公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平谢。

3.空间直线：

(1)空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点；

平行直线——在同一平而|Aj，没有公共点；

异面直线_不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。

异面直线的画法常用的有卜列三种：

(2)平行直线：

在平而儿何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直

线是异面直线。推理模式：汉,5白汉，6?<=汉,5茫^71/^5与“是异面直线。

4. 直线和平面的位置关系

（1） 直线在平面内（无数个公共点）；

（2） 直线和平而相交（有且只有一个公共点）；

（3） 直线和平而平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为tzc=6r, aC\a = A, alia.

线面平行的判定定理：如果不在一个平妞内的-?条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。推理模式：acza,b （za,a//b=>a//a.

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。推理模式：alla,a^p,a^p = b^allb.

5. 两个平而的位置关系有两种：两平而相交（有一条公共直线）、两平而平行（没有 公共点）

（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面， 那么这两个平面平行。

ac P be /} aC\b=P a" a b"a

推论：如果一个平面内有两条相

交直线分别平行于另一个平面内的两条相 交直线，那么

这两个平面互相平行。

推论模式：a^\b = P,a ca ，b ca ，a'C\b' = P'，a f c c /3，a//a,bllb'^>all/?

（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于

另一个平而；(2)如果两个平行平而同时和第三个平而相交，那么它们的交线平行。

思维总结

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平酣间的位置关 系)的基础上，研宂有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用： 在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几

何中论证问题的规律；定理的模式:

在有关问题的分析与解决的过程中提髙逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用.

1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。

3.注意下面的转化关系：

f ；

线线平行 ----------- 线面平行^ ------------ ?面面平行

t _______________ |

4.直线和平面相互平行

证明方法：0证明直线和这个平而A的一条直线相互平行；?证明这条直线的方叫延和

这个平面IAI的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平ifif的法向量相互垂直。

5.证明两平面平行的方法：

(1)利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

(2)判定定理：一个平面A有两条相交直线都平行于另一个平而，则这两个平而平行, 这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：aAb, a C a, b C a, a//p，b//p, 则a//p0

(3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a丄a, a丄p则a//p。

(4)平行于同一个平而的两个平而平行。a IIpH Y /?///

两个平而平行的性质有五条：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：a//p, a C a,则a//p。

(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线〒?行”。用符号表示是：a//p, any=a, pny=b，则a//b。

(3)一条直线垂直于两平行平而屮的一个平而，它也垂直于另一个平而。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：a//p，a丄a，则a丄P。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

(5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

第11讲空间中的垂直关系

一.课标要求：

以立体儿何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,

认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理:

?一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直

? 一个平而过另一个平而的乗线，则两个平而乗直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

?两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用匕获得的结论证明一些空间位賈关系的简单命题。

二. 命题走向

近年来，立体儿何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正 方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平酣、平面与平面垂直的性质 和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体儿何要求进 行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平而到空间的转化，示知识深化和拓展的 重点，因而在这部分知识点上命题，将是重屮之重。

预测2013年高考将以多面体为载体直接考察线面位罝关系：

(1) 考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；

(2) 在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的 论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

(3) 解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。

三. 要点精讲

1. 线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直;

于另一条。

三垂线定理：在平而A 的一条直线，如果它和这个平 面的

一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的?一条直线，如果和 这

个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂 直。 PO 丄 a,Oe a

推理模式：PA^]a = A /丄40。

注意：⑴三垂线指PA, PO, AO 都垂直(1闪的直线a 其实质是： 线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2. 线面垂直

定义：如果一条直线/和一个平面a 相交，并且和平面(X 内的任 意一条

直线都垂直，我们就说直线/和平面a 互相垂直其中直线/叫 做平而的乘线，

平而a 叫做直线/的垂而，直线与平而的交点叫做垂足。 直线/与平面a 垂直

记作：/丄a 。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 相交直

垂直于平行线中的一条，必垂直

斜线和平而A —条直

线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平而垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平而，那么这两条直线平行。

3.面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：(线面垂直O面面垂直)

如果一个平而经过另一个平而的一条垂线，那么这两个平而互相垂直。

两平而垂直的性质定理：(而而垂直=> 线而垂直)若两

思维总结

1.通过典型闷题掌握基本解题方法，高考屮立体几何解答题基本题型是：

(I )证明空间线面平行或垂直；

(II)求空间屮线而的夹角或距离；

(III)求儿何体的侧面积及体积。

证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：

①由己知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体儿何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

④三垂线定理及其逆定理在高考题巾使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑. 应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根裾定理巾已知的两直线乖直得岀新的两直线垂直.另外通过计算证明线线乘直也是常用的方法之一。

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

1平行转化：线线平行《线面平行》面面平行；

2垂直转化：线线垂直》线面垂直》面面垂直；

第12讲空间中的夹角和距离

一.课标要求：

1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；(对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离)。

2.掌握点、直线到平而的距离，直线和平而所成的角；

3.掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

二.命题走向

高考立体儿何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展，从历年的考题变化看，以多而体和旋转体为载体的线而位賈关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

预测2013年高考试题：

(1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分伉为6分左右；

(2)选择、填空题考核立儿中的计算型问题，而解答题着重考查立儿中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

三.要点精讲

1.距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包拈：点点距，点线距，点而距，线线距，线而距，而而距。其中重点是点点距、点线距、点而距以及两异而直线间的距离.因此，掌握点、线、

面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

(1)两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

(2)点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP'的长度就是点到平面的距离；求法: 4“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。?等体积法。

(3)直线与平而的距离：一条直线和一个平而平行，这条直线上任意一点到平而的距离，叫做这条直线和平面的距离；

(4)平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距

离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把

所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形.若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线〃、所成的角为，它们的公垂线的长度为f/，在tz上有线段，￡ =w，Z?上有线段=/?,

那么=Vt/2+m2+?2±2"wcos^ (“士”符号由实际情况选定)

2.夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°］、［0°，90°］和［0°，180°］。

(1)两条异面直线所成的角

求法：i先通过其屮一条直线或者两条直线的平移，找出这两条昇面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；S通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异妞直

线所成角得范围是(0，三］，向量所成的角范围是［0,兀］，如果求出的是钝角，要注意转化成相应

的锐角。

(2)直线和平面所成的角

求法：“-?找二证三求”，三步都必须要清楚地写山来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采川“射影转化法”。

(3)二面角的度量是通过其平面角來实现的

解决二而角的问题往往是从作出其平而角的图形入手，所以作二而角的平而角就成为解题的关键。通常的作法有：(1 )定义法；(11)利用三垂线定理或逆定理；(111)自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法.此外，当作二面角的平

的面积为51

'，贝ij cos^= B C P

面角有困难时，可用射影面积法解之，cos =—，其屮5为斜而而积，y 为射影而积， S

为斜面与射影面所成的二面角。

3. 等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等。思维总结

空间的角和距离是空间图形屮最基本的数:W:关系，空间的角主要研究射影以及与射影 有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平妞所成的角、以及二面角和二囬角的平面角 等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面M 题去解决.

1. 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行 定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异而直线所成的角ee （o,

JT 7T

一），直线与平而所成的角（）e 0,一，二而角的大小，可用它们的平而角来度fi,其平而 2

L 2_

角（）E （0，71）0 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个 平面图形，而且是一个三角形的内角來解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直 来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

（1） 求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上 选择“特殊点”，作另一?条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样 就作出了两异面直线所成的角0,构造一个含e 的三角形，解三角形即可。方法二是补形法: 将空间图形补成熟悉的、完整的儿何体，这样有利于找到两条异而直线所成的角e 。

（2） 求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上 取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平ifif 内的射影），最后 解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角

的平而角来解。其屮有棱二而角作平而角的方法通常有：①根据定义作二而角的平而角；② 垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先 作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面（X 上的图形面积为s,它在另一个 平面p 上的投影面积为s',这两个平面的夹角为e,则s'=scose 。

如求异而直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平而所成的角常利用 射影转化为相交直线所成的角；而求二面角a —/一p 的平面角（记作奶通常有以下几种方法:

（1） 根据定义；

（2） 过梭/上任一点（9作梭/的垂面＞ 没Ynot=a4, 则图1）;

（3） 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平而a|Aj —点」，分别作另一个平而（J 的垂线 垂足为5），或棱/的垂线垂足为C ），连结JC ，则或—呀阁2）;

（4） 设J 为平面a 外任一点，卵丄oc ，垂足为丄P,垂足为C ，则ZWC=6^Z 似C =兀一 6（图

3）;

（5） 利用面积射影定理，没平面a 内的平面图形F 的面积为S, F 在平面（3内的射影图形

2.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.

求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值.此外，我们还常用体积法求点到平而的距离.

求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.

②作线而角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线而角的关键是寻找两“足” （斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到而而垂直的性质定理.

③求二面角高考中每年必考，习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.

解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二

s’面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“CO S0=—”求二面角

S

否则要适当扣分。

④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑而而垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离

求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如h

（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平而的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。

第37讲空间夹角和距离

一.课标要求：

1.能借助空间JL何体内的位置关系求空间的夹角和距离；

2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究儿何叫题屮的作用。

二.命题走向

空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察主要有以下怡况:（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向S:在求夹角和距离屮的应用。

预测2013年高考对本讲内界的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利川空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方而内容应川的讲解, 因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。

三.要点精讲

1.空间屮各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是

通过平行移动直线，把异而问题转化为共而问题来解决。

具体步骤如下：

①利川定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角；

③利用三角形来求角。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

:

具体步骤如下

(3)确定点的射影位罝有以下儿种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角

的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线匕；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底谢上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b.如果顶点到底而各边距离相等或侧而与底而所成的角相等，那么顶点落在底而上的射影是底面三角形的A心(或旁心)；

c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

(4)二而角的范闱在课本屮没有给出，一般是指解题时要注意阁形的位貫和

题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法：在棱上任収一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②而上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点叫另一面引垂线，再由垂足向棱作乘线得到棱上的点(即垂足)，斜足与而上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二而角的平面角；

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：S f = S ^os3（S为原斜面面积，Y为射影面积，沒为斜面与射影所成二面角的平面角）这个公式对于斜面为三角形，任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二而角的平而角有困难时，如果能找得斜而而积的射影而积，可直接应用公

式，求出二面角的大小。

2.空间的距离

（1）点到直线的距离：点P到直线G的距离为点P到直线的垂线段的长，常先找或作直线6?所在平面的垂线，得垂足为A,过A作tz的垂线，垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段P B 即为点P到直线的距离。在直角三角形PA B中求山P B的长即可。

点到平而的距离：点P到平面汉的距离为点P到平而汉的垂线段的长.常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面汉的斜线上两点A , B到斜足C的距离AB, AC 的比为w:/?，则点A，B到平面汉的距离之比也为m:/7.特别地，A B = AC时，点A, B到平面汉的距离相等；③体积法

（2）异面直线间的距离：异面直线人6间的距离为tz,6间的公垂线段的长.常有求法①先证线段A B为异面直线人6的公垂线段，然后求出AB的长即可.②找或作出过Z?且与平行的平面，则直线tz到平面的距离就是异面直线间的距离.③找或作出分别过仏6且与/?, tz分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线人6间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。

（3）直线到平而的距离：只存在于直线和平而平行之间.为直线上任意一点到平而间的距离。

（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。

以上所说的所有距离：点线距，点而距，线线距，线而距，而而距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

3.空间向量的应用

（1）用法向量求异面直线间的距离

如右图所示，a、b是两异面直线，5是a和b的法向量，点Eea,

Feb,则异面直线a与b之间的距离是

EF ? n

d =—-—；

Z7

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平而平行，然后将直线到平而的距离问题转化成直线上一点到平而

的距离问题。

（4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这吋可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

（5）用法14量求二而角

如图，有两个平面a与p，分别作这两个平面的法向量

f与则平面a与（3所成的ft跟法向量f与f所成的

角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角

要求直线〃与平面a所成的角0，先求这个平面a的法向量与直线a的夹角的余弦

cos（^n,a^ ,易知0=

思维总结

1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识

（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平而上来，这里要特别注意平面角的探求；

2.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。

3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；

②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足” （斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；

③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定

义或阁形特征作；根据三垂线定理（或K?逆定理）作，难点在于找到而的垂线。

解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线：作棱的垂面。

作二而角的平而角应把握先找后作的原则。此外在解答题屮一般不用公式—”

S 求二面角否则要适当扣分。

④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法屮常用的是等积法及转移法；

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形屮，通过解三角形最终求得所需的角与距离。

4.注意数学中的转化思想的运用

(1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；

(2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置;

(3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

第36讲空间向量及其应用

一.课标要求：

(1)中间向景及其伝赏

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④掌握空间向量的数量积及其炮标表示，能运川向量的数量积判断向量的井线与垂直。

(2)空间向量的应用

①理解直线的方|4|4鲞与平面的法叫麓；

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系：

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研宂几何问题中的作用。

二.命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式力：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2013年商考对本讲内容的考査将侧重于叫量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方而的讲解，加大了向的应用，因此作为立体儿何解答题，用向

量法处理角和距离将是主要方法，在复习吋应加大这方血的训练力度。

三.要点精讲

1.空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：川有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研宄同一平面内的平移，而空间向量研宄的是空间的平移。

2.向量运算和运算率

OB = OA + AB = a-^-b

BA = OA-OB = a-b

= R)

加法交换率：5 + 6 =6+5.

加法结合率：(5 + /?) + c = 5 + (/?+c).

数乘分配率：A（a+b） = A5^Ab.

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和：② 向量加法的平行网边形法则在空间仍成立。

3.平行向量（共线叫量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向g叫做共线向S或平行向S。5平行于6记作5 // ft。

注意：当我们说5、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说5、S平行吋，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量5 （5^6） . b, 5//6的充要条件是存在实数A 使石=A a 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a //S（5邦），则有6 =2 5,其中/I是唯一?确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数义，使Z； = A5 （5/0），则有5//Z；（若用此结论判断5、f所在直线平行，还耑5 （或6）上有一点不在6 （或5）上）。

⑵对于确定的A和5, 5表示空间与5平行或共线，长度为|/15|，当义：>0时

与5同向，当；1<0时与5反向的所有向量。

⑶若直线f//5, Ael, P为/上任一点，0为空间任一点，下面根据上述定理来推导5?的表达式。

推论：如果/为经过己知点且平行于己知非零向量5的直线，那么对任一点点P 在直线/上的充要条件是存在实数z,满足等式

OP = OA + ta①

其屮向量5叫做直线/的方向向量。

在/上取35 = 5,则①式可化为~op =（y-t）OA+tdB.②

当r = |?时，点尸是线段的中点，则OP = + OB）.③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段的中点公式。

注意：⑴表示式（*）、（* *）既是表示式①，②的基础，也是常用的直线参数方程的表示

形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4.向量与平面平行：如果表示向量5的有向线段所在直线与平面6Z平行或5在汉平面内，我们就说向量3平行于平面汉，记作5//汉。注意：向量5//6Z 与直线《//汉的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共而向:W定理如果两个向S5、&不共线，则向:与向蛩5、6共而的充要条件是存在实数对X、使戶=+ yf.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面内的充要条件是存在有序实数对;v、使

+ 風④

或对空间任一?定点（9,有+

在平面内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面的向量表示式。

又??? MA = OA-OM，涵= 而，.代入⑤，整理得

OP = （\-x-y）OM +xOA + yOB. ?

由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面内；对于平面MAB内的任意一点P,

满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量巧、MB（或不共线三点M、

A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、

B、P四点共面的充要条件。

5.空间向量基本定理：如果三个向量5、？不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组X，y，z，使p = xa + yb + zc.

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量5、《、5不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是*[p|户= x5 +W + 火、ZG 7?},这个集合可看作由向量5、6、5生成的，所

以我们把{5, 叫做空间的一个基底，5, b, 3都叫做基向量；⑵空间任意三个不

共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向呈纟II，一个基向量是指基底屮的

某一个向量，二者是相关联的不同的概念；（4）由于6可视为与任意非零向量共线。与任意两个非

零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是3。

推论：设6＞、J、5、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、j/、z ,使（9尸=xOA-\- yOB + zOC.

6.数量积

（1）夹角：已知两个非零向量5、6，在空间任取一点（9，作5Z = i，0^ = b , 则角叫做向量5与石的夹角，记作〈5，幻

(1) (2)

说明：⑴规定0$〈5，因而〈5，b）=（b9 5）；

—? 7T -? -?

⑵如果〈5, b}=-，则称5与A互相垂直，记作5丄

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、

（4）中的两个向量的夹角不同，

图（3）中，

图（4）屮—

从而有（-OA，OB） =（OA,-OB）=兀-{OA, OB）.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：|5咚|（^〈5，石〉叫做向量5、6的数量积，记作5 ?石。

即5.6 =|5||6|cos〈5,6〉, \^.~AB在5方向上的正

射影:

(4)性质与运算率(D5-? = cos〈5,e〉。

(2)5 丄石<=> a'b =0

(3)|5|2=5.5.

W(Aa\b=A(a-b) (2) a b =b - a (^)d-(b+c) = d-b+ac

a-e=\ AB\c^a,e} = A'B f