热点02 函数及其性质(解析版)
热点02 函数及其性质
※※※※※命题趋势※※※※※
纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法.
※※※※※满分技巧※※※※※
图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入.
零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题. 对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算.
恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若)()(21x ≥g
x f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可.
分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错.
函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想.
※※※※※真题体验※※※※※
1．（2020?海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（5，+∞） D ．[5，+∞）
【答案】D
【解析】由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5．令t ＝x 2﹣4x ﹣5，∵外层函数y ＝lgt 是其定义域内的增函数， ∴要使函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增， 则需内层函数t ＝x 2﹣4x ﹣5在（a ，+∞）上单调递增且恒大于0，
则（a ，+∞）?（5，+∞），即a ≥5．∴a 的取值范围是[5，+∞）．故选：D ． 2．（2020?新课标Ⅰ）设a log 34＝2，则4﹣
a ＝（ ） A ．
116
B ．1
9
C ．1
8
D ．1
6
【答案】B
【解析】因为a log 34＝2，则log 34a ＝2，则4a ＝32＝9则4﹣
a =1a =1
9，故选：B ． 3．（2020?天津）设a ＝30.7，b ＝（
13
）
﹣0.8
，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
【答案】D
【解析】a ＝30.7，b ＝（1
3）
﹣0.8
＝30.8，则b ＞a ＞1，log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜a ＜b ，故选：D ．
4．（2020?新课标Ⅲ）设a ＝log 32，b ＝log 53，c =2
3，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b
【答案】A
【解析】∵a ＝log 32=log 3√83
＜log 3√93
=23
，b ＝log 53=log 5√273＞log 5√253
=23，c =23
，∴a ＜c ＜b ．故选：A ． 5．（2020?山东）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均 人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累 计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1+rT ．有学者基于已有 数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ ）（ln 2 ≈0.69） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天
【答案】B
【解析】把R 0＝3.28，T ＝6代入R 0＝1+rT ，可得r ＝0.38，∴I （t ）＝e 0.38t ，
当t ＝0时，I （0）＝1，则e 0.38t ＝2，两边取对数得0.38t ＝ln 2，解得t =ln2
0.38≈1.8．故选：B ． 6．（2020?新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝x 3?1
x 3
，则f （x ）（ ） A ．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B ．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C ．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D ．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减 【答案】A
【解析】因为f （x ）＝x 3?
1x 3，则f （﹣x ）＝﹣x 3+1x 3
=?f （x ），即f （x ）为奇函数，
根据幂函数的性质可知，y ＝x 3在（0，+∞）为增函数，故y 1=1x 3在（0，+∞）为减函数，y 2=?1
x 3
在（0，+∞）为增函数，所以当x ＞0时，f （x ）＝x 3?
1
x 3
单调递增，故选：A ． 7．（2020?新课标Ⅱ）若2x ﹣2y ＜3﹣
x ﹣3﹣
y ，则（ ） A ．ln （y ﹣x +1）＞0 B ．ln （y ﹣x +1）＜0 C ．ln |x ﹣y |＞0
D ．ln |x ﹣y |＜0
【答案】A
【解析】方法一：由2x ﹣2y ＜3﹣
x ﹣3﹣
y ，可得2x ﹣3﹣
x ＜2y ﹣3﹣
y ， 令f （x ）＝2x ﹣3﹣
x ，则f （x ）在R 上单调递增，且f （x ）＜f （y ）， 所以x ＜y ，即y ﹣x ＞0，由于y ﹣x +1＞1， 故ln （y ﹣x +1）＞ln 1＝0．
方法二：取x ＝﹣1，y ＝0，满足2x ﹣2y ＜3﹣
x ﹣3﹣
y ，
此时ln （y ﹣x +1）＝ln 2＞0，ln |x ﹣y |＝ln 1＝0，可排除BCD ．故选：A ． 8．（2020?新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在（1
2，+∞）单调递增
B ．是奇函数，且在（?1
2，1
2
）单调递减
C ．是偶函数，且在（﹣∞，?12
）单调递增 D ．是奇函数，且在（﹣∞，?1
2）单调递减 【答案】D
【解析】由{2x +1≠02x ?1≠0
，得x ≠±12．
又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数；
由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|=ln |2x+1|
|2x?1|=ln|2x+1
2x?1|， ∵
2x+12x?1
=
2x?1+22x?1
=1+
22x?1
=1+
2
2(x?1
2
)
=1+
1
x?12
． 可得内层函数t ＝|
2x+12x?1
|的图象如图，
在（﹣∞，?12
）上单调递减，在（?12
，12
）上单调递增， 则（1
2，+∞）上单调递减．
又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f （x ）在（﹣∞，?1
2）上单调递减．故选：D ．
9．（2020?山东）若定义在R 的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，且f （2）＝0，则满足xf （x ﹣1）≥0的x 的 取值范围是（ ）
A ．[﹣1，1]∪[3，+∞）
B ．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C ．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D ．[﹣1，0]∪[1，3]
【答案】D
【解析】∵定义在R 的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，且f （2）＝0，f （x ）的大致图象如图：
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （﹣2）＝0；故f （﹣1）＜0； 当x ＝0时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立， 当x ＝1时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立，
当x ﹣1＝2或x ﹣1＝﹣2时，即x ＝3或x ＝﹣1时，不等式xf （x ﹣1）≥0成立， 当x ＞0时，不等式xf （x ﹣1）≥0等价为f （x ﹣1）≥0， 此时{x ＞00＜x ?1≤2
，此时1＜x ≤3，
当x ＜0时，不等式xf （x ﹣1）≥0等价为f （x ﹣1）≤0， 即{x ＜0?2≤x ?1＜0
，得﹣1≤x ＜0， 综上﹣1≤x ≤0或1≤x ≤3，即实数x 的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D ．
10．（2020?新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区 新冠肺炎累计确诊病例数I （t ）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）=
K 1+e ?0.23(t?53)
，其中K 为最大确诊病例数．当
I （t *）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）（ln 19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69
【答案】C
【解析】由已知可得
K 1+e ?0.23(t?53)
=0.95K ，解得e
﹣0.23（t ﹣53）
=1
19，
两边取对数有﹣0.23（t ﹣53）＝﹣ln 19，解得t ≈66，故选：C ．
11．（2020?新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
【答案】A
【解析】由3
4log 55=
34
log 88，∵log 5534＞log 53，而log 883
4＜log 85
∴log 53＜log 85，即a ＜b ；∵55＜84，∴5＜4log 58，∴log 58＞1.25，∴b ＝log 85＜0.8； ∵134＜85，∴4＜5log 138，∴c ＝log 138＞0.8，∴c ＞b ，综上，c ＞b ＞a ．故选：A ． 12．（2020?新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（ ） A ．a ＞2b B ．a ＜2b
C ．a ＞b 2
D ．a ＜b 2
【答案】B
【解析】因为2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ；
因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +log 2b +1即2a +log 2a ＜22b +log 22b ；
令f （x ）＝2x +log 2x ，由指对数函数的单调性可得f （x ）在（0，+∞）内单调递增； 且f （a ）＜f （2b ）?a ＜2b ；故选：B ．
13．（2020?天津）已知函数f （x ）={x 3，x ≥0，?x ，x ＜0．若函数g （x ）＝f （x ）﹣|kx 2﹣2x |（k ∈R ）恰有4个零点，则k 的
取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，?1
2）∪（2√2，+∞） B ．（﹣∞，?1
2）∪（0，2√2） C ．（﹣∞，0）∪（0，2√2） D ．（﹣∞，0）∪（2√2，+∞）
【答案】
【解析】若函数g （x ）＝f （x ）﹣|kx 2﹣2x |（k ∈R ）恰有4个零点， 则f （x ）＝|kx 2﹣2x |有四个根，
即y ＝f （x ）与y ＝h （x ）＝|kx 2﹣2x |有四个交点， 当k ＝0时，y ＝f （x ）与y ＝|﹣2x |＝2|x |图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当k ＜0时，y ＝|kx 2﹣2x |与x 轴交于两点x 1＝0，x 2=2
k （x 2＜x 1） 图象如图所示，
当x =1k
时，函数y ＝|kx 2﹣2x |的函数值为?1k
， 当x =1k
时，函数y ＝﹣x 的函数值为?1k
， 所以两图象有4个交点，符合题意，
当k ＞0时，y ＝|kx 2﹣2x |与x 轴交于两点x 1＝0，x 2=2k
（x 2＞x 1） 在[0，2
k ）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需y ＝x 3与y ＝kx 2﹣2x 在（2
k
，+∞）还有两个交点，即可，
即x 3＝kx 2﹣2x 在（2
k
，+∞）还有两个根，即k ＝x +2x
在（2
k
，+∞）还有两个根，
函数y ＝x +
2
x
≥2√2，（当且仅当x =√2时，取等号）， 所以0＜2k
＜√2，且k ＞2√2，所以k ＞2√2，
综上所述，k 的取值范围为（﹣∞，0）∪（2√2，+∞）．故选：D ． 二．填空题（共2小题）
14．（2020?北京）函数f （x ）=1
x+1+lnx 的定义域是 ．
【答案】{x |x ＞0}
【解析】要使函数有意义，则{x +1≠0x ＞0，所以{x ≠?1
x ＞0，所以x ＞0，
所以函数的定义域为{x |x ＞0}，故答案为：{x |x ＞0}．
15．（2020?江苏）已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2
3，则
f （﹣8）的值是 ．
【答案】-4
【解析】y ＝f （x ）是奇函数，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝x 2
3， 可得
f （8）＝82
3
=4，则f （﹣8）＝﹣f （8）＝﹣4，故答案为：﹣4．
※※※※※闯关检测※※※※※
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（2019·陕西高三一模（文））若函数33
2,0
()2,0x log x x f x x +->?=?
，则()()3f f -=（ ） A ．3- B ．2-
C ．1-
D ．0
【答案】B
【解析】根据题意，函数33
2,0()2,0
x log x x f x x +->?=?
(3)21f --==， 所以()()3
3(1)log 122f
f f -==-=-.故选B ．
2．（2018·江西南昌·高三三模（文））已知函数2(1)
()ln (1)x x f x x x -≤?=?>?
，那么函数()f x 的值域为（ ）
A ．[)(,1)0,-∞-?+∞
B ．()(,1]0,-∞-?+∞
C ．[)1,0-
D ．R
【答案】B
【解析】()y 21x x =-≤的值域为(,1]-∞-，y=
ln (1)x x >的值域为：(0,)+∞故函数()f x 的值域为(](),10,-∞-?+∞，选B
3．（2019·山东滕州市第一中学新校）设函数2
sin cos ()(,0)x x x
f x a R a ax
+=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( ) A ．2 B ．-2
C ．2019
D ．-2019
【答案】B
【解析】因为2sin cos ()x x x f x ax +=
，所以22
sin()cos()sin cos ()()x x x x x x
f x f x ax ax
---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-.故选B
4．（2019·江西一模（文））若函数ln ,1
()1,1
x x f x ax x ≥?=?-
A ．(0,1]
B ．[1,)+∞
C ．[1,0)-
D ．(,1)-∞-
【答案】
【解析】函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥?=?
-
10
a a >??-≤?，解得01a <≤.故选:A.
5．（2020·天津南开中学高三月考）函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3
C ．()3,4
D ．()4,5
【答案】B
【解析】函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续， f （2）＝ln 2+2?2﹣6＝ln2﹣2＜0， f （3）＝ln3+2?3﹣6＝ln3＞0；
故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上，故选B ． 6．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））函数()ln 1
1
x f x x -=
-的大致图象是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】令12x =，则1ln
1
122ln 201212
f -??==> ???-，排除B 、C ；
()()ln 21ln 1ln 1
22111
x x x f x f x x x x -----===-=-----，即()()20f x f x -+=，
故函数图像关于()1,0成中心对称图形，故选：A
7．（2020·渝中·重庆巴蜀中学其他）交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为
()f v dB ，那么满足：()12
10lg
110v
f v -=??．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能
达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A ．40 B ．100 C ．40000 D ．10000
【答案】D 【解析】
由公式()1210lg
110v f v -=??可知，911210110v -=?，5
212
10110
v -=?，所以1210000v v =，故选：D ． 8．（2020·黑龙江实验中学高三其他（文））若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当
10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()2
9log f x x =根的个数为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16
【答案】D
【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数， 所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()2
21122f x x x x =-+=-，
设()2
93log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，
求方程()2
9log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，
画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：
可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，
所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()2
9log f x x =根的个数为16.故选：D.
二、多选题
9．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足()00f <，()10f >，()20f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上一定没有零点 B ．()f x 在区间()0,1上一定没有零点，在区间()1,2上一定有零点 C ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上可能有零点 D ．()f x 在区间()0,1上可能有零点，在区间()1,2上一定有零点 【答案】ABD
【解析】由题知()()010f f ?<，
所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点，又()()120f f ?>， 因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.故选ABD .
10．（2020·江苏省太湖高级中学高一月考）某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（ ）
A ．前三年中，产量增长的速度越来越快
B ．前三年中，产量增长的速度越来越慢
C ．第三年后，这种产品停止生产
D ．第三年后，年产量保持不变
【答案】BC 【解析】 由函数图象可知,
在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；
在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0. B 、C 正确故选：BC
11．（2020·辽宁高一月考）（多选）对于实数x ，符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()3.9 4.1f f -= B ．函数()f x 的最大值为1 C ．函数()f x 的最小值为0 D ．方程()1
02
f x -
=有无数个根 【答案】ACD
【解析】( 3.9)( 3.9)[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，(4.1) 4.1[4.1] 4.140.1f =-=-=，A 正确；显然
[]1x x x -<≤，因此0[]1x x ≤-<，∴()f x 无最大值，但有最小值且最小值为0．B 错，C 正确；方程1
()02
f x -
=的解为1
()2
x k k Z =+
∈，D 正确．故选ACD. 12．（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为[,]a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中
0,0a b a c >>>>，给出下列四个结论正确结论的是（ ）
A ．方程[()]0f g x =有且仅有三个解
B ．方程[()]0g f x =有且仅有三个解
C ．方程[()]0g g x =有且仅有一个解
D ．方程[()]0f f x =有且仅有九个解
【答案】AC
【解析】根据函数的图象，函数()f x 的图象与x 轴有3个交点， 所以：方程[()]0f g x =有且仅有三个解； 函数()g x 在区间上单调递减，
所以：方程[()]0g g x =有且仅有一个解．
对于D ：方程[()]0f f x =，即()f x b =-或()0f x =，或()f x b =，
因为()0f x =有三个解，当b c >时()f x b =或()f x b =-只有一个解，故[()]0f f x =有5个解，故D 错误； 对于B ：方程[()]0g f x =，即()f x b =，当b c >时()f x b =只有一个解，故[()]0g f x =只有1个解，故B 错误； 故选：AC ． 三、填空题
13．（2020·1
225lg 5lg 20++=______； 【答案】9
()
()1
122
2
25lg5lg 205
+lg5+lg 45++=?
252lg5lg 47+2lg52lg 2=+++=+
()72lg2lg59=++=，故答案为：9.
14．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学期中）函数1
3x y a +=-(0a >，且1a ≠)的图象一定经过的点是___________
【答案】()1,2--
【解析】令10x +=，求得1x =-且2y =-，故函数1
3x y a +=-的图象恒过一定点()1,2--，故答案为：()1,2--．
15．（2020·安徽马鞍山二中月考）若定义在R 上的奇函数()f x 单调递减，则不等式()
2
(21)40f x f x ++->的解集
为________． 【答案】(3,1)- 【解析】
()f x 是R 上的奇函数，且单调递减；
∴由2(21)(4)0f x f x ++->得：2(21)(4)f x f x +>-；
2214x x ∴+<-；
解得31x -<<；
∴原不等式的解集为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．
16．（2020·浙江高三其他）已知()21,1
2,1x x f x x x a x -≤?=?-+>?
若1a =，且()4f m =，则m =________；若对任意的0t >，
直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】3或3- (],1-∞ 【解析】当1a =时，由()4f m =得， 当1m 时，14m -=，解得3m =-；
当1m 时，2214m m -+=，解得3m =，或3m =-（舍去）；
画出函数()21,12,1x x f x x x a x -≤?=?-+>?()2
1,111,1
x x x a x -≤??=?-+->??的图象如图，
∵对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点， ∴由图可知，10a -≤，解得1a ≤； 故答案为：3或3-；(],1-∞．
函数教材分析解读
《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容 没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么 变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是 为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社
会中的简单问题。” 二、内容安排： 函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。
高中函数及其性质
高中函数及其性质 一、函数的基本性质： 1. 函数图像的对称性 （1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立； 偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。 （2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。 若某一函数与其反函数表 示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。 （3） 若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足 ()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。 （4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。 2．函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数(0)a y x a x =+>的图像和单调区间。 3．函数的周期性 对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中 存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。 （1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。 （2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为 T a 的周期函数。 （3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。 （4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。 4.函数的最值： 常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数 对于任意实数x ，我们记不超过x 的最大整数为[]x ，通常称函数[]y x =为取整函数。又称高斯函数。又记{}[]x x x =-，则函数{}y x =称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分。 高斯函数的常用性质： （1） 对任意,1[][]1x R x x x x ∈-<≤<+均有 （2） 对任意x R ∈，函数{}y x =的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,,,[][]x x R x x x x ∈≤≤若则 （4） 若,,[][],{}{}n Z x R x n n x n x x ∈∈+=++=则有，后一个式子表明{}y x =是周期为1的函数。 （5） 若,,[][][][][]1x y R x y x y x y ∈+≤+≤++则 （6） 若* ,,[][]n N x R nx n x ∈∈≥则 二、应用举例： 例1．已知)(x f 是一次函数，且10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1 +）= x x x 112 2++，求f （x ）的解析式. 解： 设 x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1 )11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2 －x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2 )(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2 )1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2 －1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2 +bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①
f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2 +（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ?? ?==. 7,1b a 故f （x ）= x 2 +7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 四、消去法（方程组法） 例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （ x 1 ）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x 1 去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方 程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （ x 1 ）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x 1 （x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32 －3 x （x ≠0）. 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足 ，求 的解析式。 五、特殊值法 例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有 f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式. 分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到 f （x ）函数解析式，只有令x = y. 解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得 f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.
函数的基本性质解析
1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 热点02 函数及其性质 ※※※※※命题趋势※※※※※ 纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法. ※※※※※满分技巧※※※※※ 图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入. 零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题. 对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算. 恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若)()(21x ≥g x f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可. 分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错. 函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想. ※※※※※真题体验※※※※※ 1．（2020?海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（5，+∞） D ．[5，+∞） 【答案】D 【解析】由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5．令t ＝x 2﹣4x ﹣5，∵外层函数y ＝lgt 是其定义域内的增函数， ∴要使函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增， 则需内层函数t ＝x 2﹣4x ﹣5在（a ，+∞）上单调递增且恒大于0， 则（a ，+∞）?（5，+∞），即a ≥5．∴a 的取值范围是[5，+∞）．故选：D ． 2．（2020?新课标Ⅰ）设a log 34＝2，则4﹣ a ＝（ ） A ． 116 B ．1 9 C ．1 8 D ．1 6 【答案】B 1.2.3 从图象看函数的性质 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.单调函数的定义 函数值y随自变量x的①而增大的函数叫作②;函数值y随自变量x的增大而③的函数叫作④. 单调递增,单调递减通常称为递增或递减.递增函数和递减函数统称为单调函数. 2.奇偶函数的几何定义 若函数的图象绕原点旋转180°后和自己重合,则称这类函数是⑤.若函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则称这类函数是⑥. 3.函数的最值 (1)上界与下界:设D为函数f(x)的定义域,如果有实数B使得f(x)⑦B对一切x∈D成立,则称B是函数的一个上界;如果有实数A使得f(x)⑧A对一切x∈D成立,则称A是f(x)的一个下界. (2)有上界又有下界的函数叫作有界函数,否则函数称为无界函数. (3)函数的最大(小)值的定义: 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最大值M=f(a),称M 为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.如果有a∈D,使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值,a为f(x)的最小值点. 4.函数的单调性 (1)递增、递减函数 条件一般地,设函数f(x)的定义域为D:如果对于定义域D内某个区间I上的⑨两个自变量的值x 1 ,x 2 ,当x 1 论在区间I上是 函数 图 示 (2)单调区间 如果一个函数在某个区间上是递增函数或是递减函数,就说这个函数在这个区间上具有单调性,该区间称为这个函数的单调区间. (3)定义法证明函数的单调性 在函数单调性的定义中,记x=x 1,x+h=x 2 ,条件x 1 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； 考点03 利用函数的图像探究函数的性质（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2017苏州暑假测试） 若函数6,2, ()(0,1)3log ,2,a x x f x a a x x -+?=>≠? +>? ≤的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】12a <≤． 解析 作出函数的图象，易知当2x ≤时，()64f x x =-+≥，要使()f x 的值域为[4,)+∞， 由图可知，显然1a >且3log 24a +≥，即12a <≤． 2、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝||2x －2(x ∈(－1,2))，则函数y ＝f (x －1)的值域为________． 【答案】[0,2) 解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f (x )＝|2x －2|的图像．由下图易得值域为[0,2)． 解法2 因为x ∈(－1,2)，所以2x ∈????12，4，2x －2∈????－3 2，2，所以|2x －2|∈[0,2)．因为y ＝f (x －1)是由f (x )向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y ＝f (x －1)的值域为[0,2)． 3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f (x )＝? ???? 4， x ≥m ， x 2＋4x －3， x 函数的基本性质(考点加经典例题分析)热点02 函数及其性质(解析版)
从解析式和图像看函数的性质高一数学总结练习含答案解析D
知识讲解_指数函数及其性质_基础
考点03 利用函数的图像探究函数的性质(1)(解析版)
函数的基本性质(考点加经典例题分析)