最优化方法习题一
习题一
一、考虑二次函数f(x)=
x x x x x x 212
2212132+-++
1) 写出它的矩阵—向量形式: f(x)=x Qx b x T
T +2
1 2) 矩阵Q 是不是奇异的?
3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗? 5) 写出f(x)在点x =)
1,2(T
处的支撑超平面(即切平面)方程
解:1) f(x)=
x x x x x x 212
2212
132+-++
=???? ??x x 2121???? ??6222???? ??x x 21+???
? ??-1
1T
???
?
??x x 21 其中
x=?
??
? ??x x 21 ,Q=???? ??6222 , b=????
??-11 2) 因为Q=???
?
??6222 ,所以 |Q|=6222=8>0 即可知Q 是非奇异的 3) 因为|2|>0,
6
22
2=8>0 ,所以Q 是正定的,故f(x)是正定的 4) 因为
)(2
x f ?
=???
? ??6222,所以|)(2
x f ?|=8>0,故推出)(2
x f ?
是正定的,即
)(2
x f ?
是凸的
5) 因为)(x f ? =
1)
x 6x 1,2-x 2x (22121+++T
,所以)(x f ?=(5,11)
所以 f(x)在点x 处的切线方程为5(
21-x )+11(12
-x
)=0
二、 求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵 1) f(x)=2
x 12
+x x x x
x 2392
312
1
+++x x x 2322+
2) f(x)=ln(
x 1
2
+
x x x 22
21+)
解: 1) )(x f ?= (,94
3
2
1
x x x ++ 263
2
1
+++x x x , x x 2
1
9+)
)(2
x f ?
=????
? ??019161914
2) )(x f ?=(
x x x x x x 1
122
2
1
22
1+++ ,
x x x x x
x 1
122
2
1
2
2
1
+++)
)(2
x f ?
=???
???
?
?
? ??----------++++++++)()()()(22212122222121
422212142221212
22
2221212
2
22121
22
221212212122
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、设f(x)=
x x x x x x x 32322
33
22
122--+++,取点)1,1,1()
1(T
x =.验证d )
1(=(1,0,-1)是
f(x)在点
x
)
1(处的一个下降方向,并计算
min >t f(x )1(+t d )1() 证明: )(x f ?=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T
)5,4,2()(
1T
x f =?
d )(1x f ?=(1,0,-1)???
?
? ??542= -3<0
所以d
)
1(是f(x)在
x
)
1(处的一个下降方向
f(
x
)
1(+t
d
)
1()=f((1+t,1,1-t)) =433)1(1)1(221(
2
2
2
)1()
1+-=----+++-+t t t t t t
?f(x )1(+t d )
1()=6t-3=0 所以t=0.5>0
所以
min >t f(x )1(+t d )
1()=3*0.25-3*0.5+4=3.25 四、设
a
j
，b ，
c
j
（j=1,2,….,n ）考虑问题
Min f(x)=
∑
=n
j j
j x
c 1
s.t. b n
j j
j
x
a =∑=1
0≥x
j
(j=1,2,….,n)
1) 写出其Kuhn Tuker 条件
2) 证明问题最优值是])([1
211
2
∑=n j j j b c a 解：1）因
),....,1(n j x j = 为目标函数的分母故0>x
j
所以
λ
*j
（j=1,…,n ）都为0
所以Kuhn Tuker 条件为 0)()(=?+?x h x f μ
即 ???
??????
?
?
?
??---x c x c x c n n 22222
11 +?
?????? ??a a a n 21μ=0 2）将
a
c x j
j j μ=
代入 h(x)=0 只有一点
得
∑=∑==
?=n
j j
j
n j j j b n c a b
c
a 1
2
2
)
(1
μ
故有a
c
c a x j
j n
j j
j
j
b ∑==
1
所以最优解是]
)([1211
2
∑=n
j j j b c a 五、使用Kuhn Tuker 条件，求问题
min f(x)=
)2()
1(212
2
--+x x
s.t. 0
,0212
1
2
11
2
≥≥=+=-x x x x x x
的Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解
解：x=(1/2,3/2) 0≠ 故
λ*1
，λ*
2
=0
则 0)()()(2
2
1
1
=+?+?x x x f h h μμ
即0111142222121=????
??+???? ??-+???
? ??--μμx x ?
1,02
1
-==μμ
而
???
? ??=?
2002)(2
x f 故08)(2
>=?x x f x T 即其为最优解
六、在习题五的条件下证明 L(
μλ,,x *
)),,(),,(μλμλ*
*
**
*
≤≤x L L x
其中 L （x,μλ,）=f(x)+)2()1(2
1
1
2
-++--x
x x x μλ
证明：L(
μλ,,x
*
)=f(x *)+)2()1(2112-++--*
*
*
*
x x x x μλ
= f(x *
) = f(x *
)+
λ
*
)1(12--*
*
x x +μ*-+*
*
x x 21(2)= ),,(μλ*
*
*
x L
= f(
x *
)
)2()1()()(2112-++--+=≤**
x x x x x f x f μλ
= μλ*
*
,,(x L )
习题二
一、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，
x
*
是问题min{f(x)|a b x ≤≤}的最优解。
证明：f(x)是[a,b]上的单谷函数的充要条件是对任意x x x x b a 2
1
2
1
],,[,≠∈
满足f(x x 2
1
)1(λλ
-+) ),f(x 2 )},)1,0(∈λ 证明：不妨设 x 1 ,则x 1 x x 2 2 1 )1(<-+λλ “必要性” 若x x x * < -+21)1(λλ 则由单谷函数定义知)())1((1 2 1 x x x f f <-+λλ 故有)}(),(max{))1((2 1 2 1 x x x x f f f <-+λλ “充分性” 由x 1 ，x 2的任意性取x 1 =x * 时，f(x 2 )>f(x 1 ) 则 x 2 >x x 21)1(λλ-+>x 1=x * 且f(x x 21)1(λλ-+) 若取 x 2 =x * 时, f(x 1 )>f(x 2 ) x * =x 1 1 )1(λλ-+ 且 f(x x 2 1 )1(λλ-+) ) 满足单谷函数的定义 二、设 x 1 ,0)(,0)(2 1 >'<'x x f f 1)证明:满足条件 )()(),()(),()( 2 2 1 1 1 1 x x x x x x f f f '=''='=???的二次函数)(x ?是（严格）凸 函数 2）证明：由二次插值所得f(x)的近似极小值点（即)(x ?的驻点）是 ) ()()()(122122x x x x x x f f f x '-''--= 或者 ) ()()()(121121 x x x x x x f f f x '-''-- = 证明：1）设)(x ?=c bx a x ++2 （0≠a ） 则 b ax x +='2)(? 由 ) (2)()(2)(222111x x x x x x f b a f b a '=+=''=+='?? 得) ())()(()(,0) (2)()(1 2 1 2 1 1 1212x x x x x x x x x x f f f b f f a -'-'- '=>-'-'= 或 ) ())()(()(1 2 1 2 2 2x x x x x x f f f b -'-'-'= 故1）得证 2）)(x ?的驻点为) ()()()(2121121 x x x x x x f f f a b x '-''-- = -= 或- = x x 2 ) ()()()(12212x x x x x f f f '-''- 三、设f(x)= 0,2 1>=++Q c x Qx Q b x T T T 试证：共轭梯度法的线性搜索中)()() ()()()(0 min d t x d x k k k k k t f t f +=+≥，有d d d g t k T k T k k Q k ) ()()()(- =，其中 )() (x g k k f ?= 证明：由已知 ，得b Qx x f +=?)( 令=)(t ?)( ) () (d x k k t f +为t 的凸二次函数。要使t k 是)(t ?的极小点即为驻 点，故满足0)(='t k ? 而?=')(t k ?) () () (d x k k t f +d k ) ( = d b d t x Q k T k k ) (])([) () (++ =d d tQ b x Q k T k k ) (][) () (++ =d d d g k T k T k Q k t ) ())((+） （ 故有 0)(()()=+d d t d g k T k k T k Q k ） （ 得 d d d g t k T k T k k Q k ) () ()()(- = 四、用共轭梯度法求解： min f(x)=x x x x x 12 1222122123--+ , x R 2 ∈ 取初始点)4,2() 1(-=T x 解：易知 ???? ??--=1113A ??? ? ??-=02b 第一次迭代： ) ,23(1221)(x x x x T x f ---=? )6,12()(11 -=?=T x g f )6,12()() 1() 1(-=-?=T x d f 线性搜索得步长 1756121113)6,12(612)6,12()1() 1()1(1 1 )(=? ?? ? ??-???? ??---???? ??---=- =d d d g A T T α 从而 d x x ) 1(1) 1() 2(α+= = ??? ? ??3826171 第二次迭代： )17 12,176( )( ) 2(T x f =? = g 2 )1712,176(T =β1 298 1 )1() 1() 1(2 )(= -d d d g A A T T ?? ?? ? ? ??--=+-=28921028990)1(12)2(d g d β 线性搜索得步长： 7.12 =α ??? ? ??=+= 11) 2(2) 2() 3(d x x α )0,0()() 3(3 T x g f =?= 所以 最优解为 )1,1(* T x = 五、用拟Newton 法求解： min R x x x x x x x f 2 1212 22 1,422)(∈--+= 取初始点 )1,1() 1(T x = 解：1）DFC 法 取初始对称矩阵 ??? ? ??=10011H 第一次迭代： 计算得 )2,4(1 -=T g ， )2,4(1 11 -=-=T g H d 经一维线性搜索得： α1 =0.25 )25.0,2(1112T d x x =+=α )5.0,1(1-=T δ )4,3(1 -=T y )2,1(2 --=T g 2.01 1 1 11== y H y y T T r δ 置 ??? ? ??==2.0002.011H H r ??? ? ??--=-+ =472.0704.0204.0728.011 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 y H y H y y H y y H H T T T T δδ 第二次迭代 ) 24.0,32.0(2 22T g H d =-=经一维线性搜索得： α1 =6.25 )2,4(2223T d x x =+= α )0,0(3 T g = 故最优解为： ) 2,4(3 * T x x == 2）BFGS 法 取定初始对称矩阵??? ? ??=10011H 第一次迭代： 计算得 )2,4(1 -=T g ， )2,4(1 11-=-=T g H d 经一维线性搜索得： α1 =0.25 ) 25.0,2(1 1 1 2 T d x x =+=α 同DFP 法，初始修正矩阵 ??? ? ??=2.0002.01H ??? ? ??=--++ =14.002.002.036.0)1(1 1 1 1 111 11 1 1 1 1 1 1 12 y H y y H y y H y H H T T T T T δδδδ δδ 第二次迭代： )3.0,4.0(2 22T g H d =-= 经一维线性搜索得：52 =α ) 2,4(2 2 2 3 T d x x =+=α )0,0(3 T g = 故最优解为： )2,4(3* T x x == 习题三 1、 给定问题 min x x x x x x x f 212 221211462)(--++= s.t. 0 ,0,0322 3 2 1 2 132 1 ≥≥≥≤+-=++x x x x x x x x 取初始点)0,1,1() 1(T x =，用简约梯度法求其最优解 解：约束条件为 0 ,0,0322 3 212 13 21≥≥≥≤+-=++x x x x x x x x 则 )0,1,1() 1(T x =，??? ? ??-=10210111A ) 0014462(2121)(-+-+=?x x x x T x f ()0093 1 --= T g {}211=I ???? ??-=2111B ??? ? ??=1001N )(1)() (x f x f B T N N N B g ? ?--= =???? ??=???? ??--????? ? ??- -???? ??25933131 313 2 00 ???? ??-=40d N ?? ? ??-=-=-343 41 T N B d B d N )403 4 34() 1(-- =T d ()d d x d x T f f )1()1()1()()1()1()(ααα?+?=+'=' = 0324 964=-α 得8 9 =α 21}42min{max =-- =α 得 2 1},min{max 1==ααα )003 5 3 1( )1(1 ) 1() 2(T d x x =+=α ?? ? ??-- =0073112 T g }2,1{2=I ???? ??-=2111B ??? ? ??=1001N ????? ? ??=???? ??--?????? ??- -???? ??=910943731131313132 00g N ???? ??=00d N ???? ??=-=-001 d B d N B N 0) 2(=d 故)003 5 3 1( )2(T x =为问题的K-T 点 2、 用梯度投影法求解问题 min )3()2(21)(2 2 -++= x x x f s.t. 4 000 3322 1 2 1 ≤≤≥=--x x x x 取初始点()13) 1(T x = 解： )62,42(21)(-+= ?x x T x f 迭代（1） ) 4,10(1 -=T g }1{1 =I ???? ??-=321 A T 投影矩阵????? ? ??=-=-13413613613911111)(A A A A T I P T )13 44,1366(1 ) 1(--=-=T g d P )313 441()213663(2 2) 1() 1()()(--+- +=+=αααα?d x f 0413 88 1013132)(=--+-='ααα? 110 39=α 44 13 }4413,6639min{ max = =α 故44 13 },min{max 1==ααα )0,2 3( ) 1(1) 1() 2(T d x x =+= α ) 6,7(2 -=T g }3,1{2 =I 故 ??? ? ??-=13022 A T 投影矩阵???? ??=-=-0000222 12)(A A A A T I P T )0,0(2 ) 2(T g d P =-= 令 ) 2 9 ,27()(2 2 1 ) 2(2 2T g A A A u T ==- 故 )0,2 3( ) 2(T x =为其 K-T 点 3、用可行方向法求解问题 min )1()2(21)(2 2 --+= x x x f s.t. 0 ,0227 422 1 2 1 21≥≥≤-≤+x x x x x x 取初始点 )0,0() 1(T x = 解：) 22,42(21)(--= ?x x T x f 迭代一：)2,4()() 1(--=?T x f 有效约束}4,3{1 =I 确定下降方向 min -4 d d 21 2- s.t. 1 12 1≤≥≥≤-d d d i i=1,2 解得 12 1 ==d d 且其最优值为-6，即x ) 1(处的搜索方向 )1,1() 1(T d = 线性搜索 562)( )(2 ) 1() 1(+-=+=ααα?αd x f 064)(=-='αα? 2 3 = ?α 而 67 }2,67min{max ==α 6 7 }67,23min{1==α )67,67()1(1 ) 1() 2(T d x x =+=α 迭代2：)3 1,35()() 2(-=?T x f 有效约束}1{1 =I 确定下降方向 min - 3 5d d 2 13 1 + s.t. 1 42121≤≥+≤-d d d i i=1,2 得 )1,1() 2(-=T d 且其最优值为-2 线性搜索 18 1322)( )(2 )2() 2(+ -=+=ααα?αd x f 024)(=-='αα? 2 1= ?α 而 185 }67,185min{max ==α 18 5 }185,21min{1==α )98,913( ) 2(2) 2() 3(T d x x =+= α 迭代3：) 9 2,910()() 3(--=?T x f 有效约束}2{1 =I 确定下降方向 min - 9 10d d 2 192 - s.t. 1 2121≤≥-≤-d d d i i=1,2 得)1,2 1() 3(T d = ，其最优值为-9 7 线性搜索 81 26 974 5 )()(2 )3()3(+ -=+=ααα?αd x f 09725)(=-= 'αα? 14 45 =?α 而 67 }2,67min{max ==α 9 1 }91min{3==α )1,2 3( ) 3(2) 3() 4(T d x x =+= α 迭代 4：)0,1()() 4(-=?T x f 有效约束}2,1{1 =I 确定下降方向 min - d 1 s.t. 1 020 42121 21≤≤-≤+≤-d d d d d i i=1,2 得)0,0() 4(T d = ，其最优值为0 = x *)1,2 3( ) 4(T x =为K-T 点 北航最优化方法大作业参考 1 流量工程问题 1.1 问题重述 定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成： Af m=b m 本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单，省区了未用到的弧。此外，弧上的数字表示弧的编号。此时，c=((5,5…,5)1 )T， ×13 根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1× )。 13 图 1 网络拓扑和流量需求 1.2 7节点算例求解 1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T） 转化为线性规划问题： Minimize c T x1 Subject to Ax1=b1 x1>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x1=20 1.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T） Minimize c T x2 Subject to Ax2=b2 X2>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x2=20 1.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T） Minimize c T x3 Subject to Ax3=b3 X3>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x3=40 《最优化方法》复习题 第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】?7 1 xeR n xeR n 2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x 3设f : D u RJ R?若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V 1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*) 则对\^^{0,1,2,???},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ : 13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。V 15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ . 16函数f ?. D匚R“ T R在点*?沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一?维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 . 17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3?G（0,a）使得x 二、简述题 1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。 2怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如:判断函数/（x） = xf +2兀|兀2 +2兀;一10兀1 +5兀2是否为凸函数） 三、证明题 1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 1Z* T —X Gx + c x + b 2 判断s.t. Ax = b（其小G是正定矩阵）是凸规划. x>0 2熟练掌握凸规划的性质及英证明. 《最优化方法》复习题 一、 简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-． 二、计算题 双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2, 1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形： Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x 列成表格： 1 2 1 610011460105122001112----- 可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得 1 2 1 2102310401162010021212 11-------- 再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得 1 2 12 32 30 210231040116201002121211- ------ 再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得 4 2 3 3 410120280114042001112--- 再迭代一次得 10 2 30 2 10 6 221023 1010213000421021013-- 选取最优解： 发动机空燃比控制器 引言：我主要从事自动化相关研究。这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。 发动机空燃比控制器设计中的最优化问题 AFR =a f m m && (1) 空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获 得最好的动力性能和排放性能。如果假设进入气缸的空气流量a m &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进 气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜 蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。 1110101122211ττττ?? ?? -?? ??????????=+????????-????????????-???? ? ??? ?? ????????? ?f f f v X x x u x x X x y =x && (2) 其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fv m &表示为液化部分燃油、fi m &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3） 0000001 1 011011114.70ττττ????-?? ??????????=-+-??????????????? ??????????????? ?? ??=?????? f f v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3) 其中()0 14.7?t a q = y -m &。由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以 使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *a m /&。 12-- u =K q K x (4) 这里面的12、K K 确定，可由主导极点概念降维成两个参数12C ,C ，虽然都是最终稳态无差，但是目标是使得瞬态过程中y 和阶跃输入y r 的差异尽可能的小。所以原问 《最优化方法》复习题(含答案) 附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+， 《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题 ()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。 基于粒子群算法的神经网络在电液伺服系统中的应用 摘要：由于人工神经网络在解决具有非线性、不确定性等系统的控制问题上具有极大的潜力，因而在控制领域正引起人们的极大关注，并且已在一些响应较慢的过程控制中获得成功应用。由于电液伺服系统属 于非线性系统，因此本文利用神经网络控制电液伺服系统，并利用粒子群优化算法训练该神经网络的 权值。通过对神经网络的优化实现对电液伺服系统的控制。 关键词：神经网络电液伺服系统粒子群算法优化 近年来，由于神经网络具有大规模并行性、冗余性、容错性、本质的非线性及自组织自学习自适应能力，所以已成功地应用于众多领域。但在具有复杂非线性特性的机电设备的实时控制方面，虽然也有一些神经网络技术的应用研究，但距实用仍有一段距离。电液伺服系统就属于这类设备[1]。 神经网路在用于实时控制时，主要是利用了网络所具有的其输人——输出间的非线性映射能力。它实际上是通过学习来逼近控制对象的动、静态特性。也就是构造实际系统的神经网络模型[2]。本文利用神经网络控制一电液伺服系统，并利用粒子群优化算法训练该神经网络的权值，将结果与BP神经网络控制该系统的结果进行比较。从而得在电液伺服系统中引入神经网络是可行的。 1、粒子群算法 粒子群优化算法(Particle Swarm optimization, PSO)是一种进化计算技术, 由Eberhart博士和kennedy博士发明, 源于对鸟群捕食的行为研究, 粒子群优化算法的基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解[3]。算法最初受到飞鸟和鱼类集群活动的规律性启发，利用群体智能建立了一个简化模型，用组织社会行为代替了进化算法的自然选择机制，通过种群间个体协作来实现对问题最优解的搜索[4]。 在找到这两个最优值时, 粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置 v[]=v[]+c1*rand()*(pbest[]-present[]) + c2*rand()*(gbest[]-present[]) present[]=persent[]+v[] 式中ω为惯性权重，ω取大值可使算法具有较强的全局搜索能力，ω取小值则算法倾向于局部搜索。一般的做法是将ω初始取0.9并使其随迭代次数的增加而线性递减至0.4，这样就可以先侧重于全局搜索，使搜索空间快速收敛于某一区域，然后采用局部精细搜索以获得高精度的解；c1、c2为两个学习因子，一般取为2；randl和rand2为两个均匀分布在(0，l)之间的随机数；i=1，2，?，m；k=1，2，?，d。另外，粒子在每一维的速度Vi都被一个最大速度Vmax所限制。如果当前粒子的加速度导致它在某一维的速度 超过该维上的最大速度Vmax，则该维的速度被限制为最大速度[5]。 粒子群算法流程如下： (一)初始化粒子群。设群体规模为m，在允许的范围内随机设置粒子的初始位置和速 度。 (二)评价每个粒子的适应值。 (三)调整每一个粒子的位置和速度。 (四)如果达到最大迭代次数genmax或误差达到最初设定数值终止迭代，否则返回(2)。 2、神经网络 神经网络一般由输入层、隐含层、输出层组成。对于输入信号，先向前传播到隐节点，经过节点作用函数后，再把隐节点的输出信息传播到输出节点，最后输出结果。节点的作用函数通常选取S 型函数f（x）=1/（1+e-x）。神经网络算法的学习过程分为正 惯性导航基础课程大作业报告（一）光纤陀螺误差建模与分析 班级：111514 姓名： 学号 2014年5月26日 一.系统误差原理图 二.系统误差的分析 （一）漂移引起的系统误差 1. εx ，εy ，εz 对东向速度误差δVx 的影响 clc;clear all; t=1:0.01:25; g=9.8; L=pi/180*39; Ws=2*pi/84.4*60; Wie=2*pi/24; R=g/(Ws)^2; e=0.1*180/pi; mcVx1=e*g*sin(L)/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie*sin(Ws*t)/Ws); mcVx2=e*((Ws^2-(Wie^2)*((cos(L))^2))/(Ws^2-Wie^2)*cos(Ws*t)-(Ws^2)*((sin(L))^2)*cos(Wi e*t)/(Ws^2-Wie^2)-(cos(L))^2); mcVx3=(sin(L))*(cos(L))*R*e*((Ws^2)*cos(Wie*t)/(Ws^2-Wie^2)-(Wie^2)*cos(Ws*t)/(Ws^2-Wi e^2)-1); plot(t,[mcVx1',mcVx2',mcVx3']); title('Ex,Ey,Ez 对Vx 的影响'); xlabel('时间t'); ylabel('Vx(t)'); 0,δλδL ,v v δδ legend('Ex-mcVx1','Ey-mcVx2','Ez-mcVx3'); grid; axis square; 分析：εx，εy，εz对东向速度误差δVx均有地球自转周期的影响，εx，εy还会有舒勒周期分量的影响，其中，εy对δVx的影响较大。 2.εx，εy，εz对东向速度误差δVy的影响 clc;clear all; t=1:0.01:25; g=9.8; L=pi/180*39; Ws=2*pi/84.4*60; Wie=2*pi/24; R=g/(Ws)^2; e=0.1*180/pi; mcVy1=e*g*(cos(Wie*t)-cos(Ws*t))/(Ws^2-Wie^2); mcVy2=g*sin(L)*e/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie/Ws*sin(Ws*t)); mcVy3=g*cos(L)*e/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie/Ws*sin(Ws*t)); plot(t,[mcVy1',mcVy2',mcVy3']); title('Ex,Ey,Ez对Vy的影响'); xlabel('时间t'); ylabel('Vy(t)'); legend('Ex-mcVy1','Ey-mcVy2','Ez-mcVy3'); grid; axis square; 课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜 索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题 在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。 课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2） 采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题 （1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。 武工院你们懂的 1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形： Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x 列成表格： 00001216 100114 60105122001112----- 可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得 0000 1 2 121023 10 40116201002 1 21 211-------- 再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得 1 002 1232 30210231 040116201002121211-- ----- 再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得 4002 3 03410120280114042001112--- 再迭代一次得 10 23021 062 21023 1010 213 000421 2 10 13- - 选取最优解： 01=x 42=x 23=x 3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。 min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2 取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。 解：取I H =0,初始点()T X 9,8= 2221)6()5(4)(-+-=x x x f ??????--=?122408)(21x x x f ???? ??=?624)() 0(x f T x f d )6,24()()0()0(--=-?= )0(0)0()1(d x x α+= T )69,248(00αα--= ])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--?=+αααd x f )6()63(2)24()2458(8) (00)0(0)0(=-?-+-?--=+ααααd d x df 13077.013017 0≈= α ???? ??=???? ??--?+???? ??=21538.886153.462413077.098)1(x 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 2013-2014学年第一学期 数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷 试卷来源：自拟 送卷人:赵俊英 打印：赵俊英 乔凤云 校对：赵俊英 一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________， 可行域D 可以表 为_____________________________， 若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是） 严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥?? 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥? 二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或 四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥? 六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新 的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分） function [x,dk,k]=fjqx(x,s) flag=0; a=0; b=0; k=0; d=1; while(flag==0) [p,q]=getpq(x,d,s); if (p<0) b=d; d=(d+a)/2; end if(p>=0)&&(q>=0) dk=d; x=x+d*s; flag=1; end k=k+1; if(p>=0)&&(q<0) a=d; d=min{2*d,(d+b)/2}; end end %定义求函数值的函数fun，当输入为x0=（x1，x2）时，输出为f function f=fun(x) f=(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; function gf=gfun(x) gf=[-4*x(1)*(x(2)-x(1)^2)+2*(x(1)-1),2*(x(2)-x(1)^2)]; function [p,q]=getpq(x,d,s) p=fun(x)-fun(x+d*s)+0.20*d*gfun(x)*s'; q=gfun(x+d*s)*s'-0.60*gfun(x)*s'; 结果： x=[0,1]; s=[-1,1]; [x,dk,k]=fjqx(x,s) x =-0.0000 1.0000 dk =1.1102e-016 k =54 function f= fun( X ) %所求问题目标函数 f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+2*X(2)^2+X(3)^2+ X(4)^2- X(2)*X(3)+2*X(1)+3*X(2)-X(3); end function g= gfun( X ) %所求问题目标函数梯度 g=[2*X(1)-2*X(2)+2,-2*X(1)+4*X(2)-X(3)+3,2*X(3)-X(2)-1,2*X(4)]; end function [ x,val,k ] = frcg( fun,gfun,x0 ) %功能：用FR共轭梯度法求无约束问题最小值 %输入：x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度 %输出：x、val分别是最优点和最优值，k是迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.5;sigma=0.4; x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 《结构优化设计》 大作业报告 实验名称: 拓扑优化计算与分析 1、引言 大型的复杂结构诸如飞机、汽车中的复杂部件及桥梁等大型工程的设计问题，依靠传统的经验和模拟实验的优化设计方法已难以胜任，拓扑优化方法成为解决该问题的关键手段。近年来拓扑优化的研究的热点集中在其工程应用上，如: 用拓扑优化方法进行微型柔性机构的设计，车门设计，飞机加强框设计，机翼前缘肋设计，卫星结构设计等。在其具体的操作实现上有两种方法，一是采用计算机语言编程计算，该方法的优点是能最大限度的控制优化过程，改善优化过程中出现的诸如棋盘格现象等数值不稳定现象，得到较理想的优化结果，其缺点是计算规模过于庞大，计算效率太低;二是借助于商用有限元软件平台。本文基于matlab软件编程研究了不同边界条件平面薄板结构的在各种受力情况下拓扑优化，给出了几种典型结构的算例，并探讨了在实际优化中优化效果随各参数的变化，有助于初学者初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。 2、拓扑优化研究现状 结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。目前有关结构拓扑优化的工程应用研究还很不成熟，在国外处在发展的初期，尤其在国内尚属于起步阶段。1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。自1964 年Dorn等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。20 世纪80 年代初，程耿东和N. Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。1993年Xie.Y.M和Steven.G.P 提出了渐进结构优化法。1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。2002 年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为两大类：退化法和进化法。结构拓扑优化设计研究，已被广泛应用于建筑、航天航空、机械、海洋工程、生物医学及船舶制造等领域。 3、拓扑优化建模（SIMP） 结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构。优化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。 变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高。变密度法中常用的插值模型主要有:固体各向同性惩罚微结构模型(solidisotropic microstructures with penalization，简称SIMP)和材料属性的合理近似模型(rational approximation ofmaterial properties，简称RAMP)。而本文所用即为SIMP插值模型。北航最优化方法大作业参考
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