OFDM的基本原理

OFDM 的基本原理

杜岩

（山东大学信息科学与工程学院济南 250100）

1. 引言

现代社会对通信的依赖和要求越来越高，于是设计和开发效率更高的通信系统就成了通信工程界不断追求的目标。通信系统的效率，说到底就是频谱利用率和功率利用率。特别是在无线通信的情况下，对这两个指标的要求往往更高，尤其是频谱利用率。由于空间可用频谱资源是有限的，而无线应用却越来越多，使得无线频谱的使用受到各国政府的严格管理并统一规划。于是，各种各样的具有较高频谱效率的通信技术不断被开发出来，OFDM （Orthogonal Frequency Division Multiplexing）是目前已知的频谱利用率最高的一种通信系统，它将数字调制、数字信号处理、多载波传输等技术有机结合在一起，使得它在系统的频谱利用率、功率利用率、系统复杂性方面综合起来有很强的竞争力，是支持未来移动通信特别是移动多媒体通信的主要技术之一。

OFDM是一种多载波传输技术，N个子载波把整个信道分割成N个子信道，N个子信道并行传输信息。OFDM系统有许多非常引人注目的优点。第一，OFDM具有非常高的频谱利用率。普通的FDM系统为了分离开各子信道的信号，需要在相邻的信道间设置一定的保护间隔（频带），以便接收端能用带通滤波器分离出相应子信道的信号，造成了频谱资源的浪费。OFDM系统各子信道间不但没有保护频带，而且相邻信道间信号的频谱的主瓣还相互重叠（见图1.5），但各子信道信号的频谱在频域上是相互正交的，各子载波在时域上是正交的，OFDM系统的各子信道信号的分离（解调）是靠这种正交性来完成的。另外，OFDM 的个子信道上还可以采用多进制调制（如频谱效率很高的QAM），进一步提高了OFDM系统的频谱效率。第二，实现比较简单。当子信道上采用QAM或MPSK调制方式时，调制过程可以用IFFT完成，解调过程可以用FFT完成，既不用多组振荡源，又不用带通滤波器组分离信号。第三，抗多径干扰能力强，抗衰落能力强。由于一般的OFDM系统均采用循环前缀（Cyclic Prefix，CP）方式，使得它在一定条件下可以完全消除信号的多径传播造成的码间干扰，完全消除多径传播对载波间正交性的破坏，因此OFDM系统具有很好的抗多径干扰能力。OFDM的子载波把整个信道划分成许多窄信道，尽管整个信道是有可能是极不平坦的衰落信道，但在各子信道上的衰落却是近似平坦的（见图1.6），这使得OFDM系统子信道的均衡特别简单，往往只需一个抽头的均衡器即可。

当然，与单载波系统比，OFDM也有一些困难问题需要解决。这些问题主要是：第一，同步问题。理论分析和实践都表明，OFDM系统对同步系统的精度要求更高，大的同步误差不仅造成输出信噪比的下降，还会破坏子载波间的正交性，造成载波间干扰，从而大大影响系统的性能，甚至使系统无法正常工作。第二，OFDM信号的峰值平均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）往往很大，使它对放大器的线性范围要求大，同时也降低了放大器的效率。OFDM在未来通信系统中的应用，特别是在未来移动多媒体通信中的应用，将取决于上述问题的解决程度。

OFDM技术已经或正在获得一些应用。例如，在广播应用中欧洲的ETSI（European Telecommunication Standard Institute，欧洲电信标准学会）已经制定了采用OFDM技术的数

字音频广播（Digital Audio Broadcasting, DVB ）的标准，数字视频广播（Digital Video Broadcasting ，DVB ）的标准也正在制定中；在宽带无限接入应用中，IEEE 802.11a 及IEEE 802.16都有基于OFDM 技术的建议，ETSI 的HiperLAN II 也是一种基于OFDM 技术的标准；在数字蜂窝移动通信中应用中，OFDM 是目前研究的热点技术之一；在有线宽带接入技术中，例如xDSL （各种高速数字用户线）技术中，OFDM 的一种特殊形式——DMT （Discrete Multitone ）以获得广泛应用；等等。OFDM 在这些应用中已经表现出强大的生命力，随着制约OFDM 应用的一些关键问题的解决，相信OFDM 在未来的通信应用中将会扮演越来越重要的角色。

2. 多载波调制和FFT

OFDM 是一种多载波传输技术。设为N 个子载波频率，则一般的多载波已调信号在第i 个码元间隔内可以表示成

),,2,1(N k f k L = )2exp(),()(10∑?=π=N k k i i t f j t k X t s

（1.2.1）

其中，是信号在第个码元间隔内所携带的信息，它决定了的幅度和相位，一般情况下它们是只与码元标号有关的复常数，它们携带了要传输的信息；例如，若第k 个子载波采用QPSK 调制时，设采用),(t k X i i )(t s i i 4/π方式的星座，当第个码元为“00”时，根据码元和星座的映射关系可以知道，i )1(2

2),j t k +=i (X i (i t X )。为叙述方便，在只需研究一个多载波信号码元的时候，常常省略码元标号；而当子载波采用普通（没有采用波形形成）的QAM 或MPSK 调制时，与无关，从而将简写成，根据上下文这样不会产生歧义。按上述约定，（1.2.1）式可以写成

,(t k X i ),t k )(k X )2exp()()(10∑?=π=N k k t f j k X t s

（1.2.2）

我们希望这种多载波传输方式的频谱利用率要高，即子载波间隔要尽可能小；还希望系统实现简单。

要实现上述多载波传输系统，一般需要个振荡源和相应的带通滤波器组，系统结构复杂，体现不出多载波传输的优势。但是，经过细致的分析可以发现，上述多载波传输系统的调制解调都可以利用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT ）实现，由于DFT 有著名的快速算法FFT （Fast Fourier Transform ），使得多载波传输系统实现起来大为简化，特别是利用FFT 实现的OFDM 系统，以其结构简单、频谱利用率高而受到广泛重视。

N

下面分析多载波传输系统可以用DFT 实现的条件。

为确定子载波间的频率间隔，我们考虑接收端如何对信号解调。我们对接收信号（暂不考虑噪声和失真的影响）以抽样率抽样，利用DFT 对抽样信号进行解调。利用N 点的DFT 可以计算出信号的第个频谱分量为

s f k

∑?=π?=?10)/2exp()/()(N n s N nk j f n s f k S

（1.2.3）

这里，S 是第个频谱分量；s 是抽样信号；?是DFT 的分辨率。为使DFT 正确计算出频谱，信号必须在N 点抽样以外周期性重复，当信号只含有该DFT 的谐波成份时，条件就能满足。将t 代入式（1.2.2）得

)(f k ?k )1,,2,1,0()/(?=N n f n s L s f n /=N f f s /=)/2exp()()/(10∑?=π=N j s j s f n f j j X f n s

（1.2.4）

将式（1.2.4）代入式（1.2.3）得

∑∑?=?=π?π=?1010

)/2exp()/2exp()()(N n N j s j N nk j f n f j j X f k S

∑∑?=?=π?π=101

0)/2exp()/2exp()(N j N n s j N nk j f n f j j X

∑?=?δ=10)(

)(N j s j N k f f j X （1.2.5） 其中

δ =≠=n

m n m n m ,1,

0),(观察上式可以发现，当多载波已调信号的频率

N kf f s k = （1.2.6） 时，就有，其中C 为常数，就是说当各子载波的频率为解调用的DFT 分辨率整数倍时，可以用DFT 对信号完成解调。从以上分析可知，为保证正确解调，X 在一个码元间隔内保持为常数是必要的，如果子载波的QAM 或MPSK 调制采用了波形形成技术，如采用余弦滚降波形，采用DFT 解调时还要作专门的处理。

)()(k CX f k S =?)(k 由以上分析，当各子载波的频率为解调用的DFT 分辨率整数倍时，可以用DFT 对多载波已调抽样信号完成解调。特别地，当子载波的频率间隔为时，由式（1.2.4）有

N f s /]/)/(2exp[)()/(1

0∑?=π=N k s s s f n N kf j k X f n s

]/2exp[)(10∑?=π=N k N n j k X

（1.2.7）

上式恰为)1,,2,1,0()(?=N k k X L 序列（以后我们将该序列简记为）的IDFT （Inverse Discrete Fourier Transform ），即当子载波频率间隔为时，多载波已调信号的时域抽样序列可以由IDFT 计算出来。

)(N X N f s / 由于携带信息的序列恰为多载波已调信号抽样序列的DFT ，所以我们说，采用FFT 实现的多载波调制系统的调制是在频域上进行的。

)(N X 由以上分析可知，多载波调制系统的调制可以由IDFT 完成，解调可以由DFT 完成，由数字信号处理的知识可以知道，IDFT 和DFT 都可以采用高效的FFT 实现。

3. OFDM 系统的组成

OFDM 系统的组成框图如下图1.1所示。

输入比特序列完成串并变换后，根据采用的调制方式，完成相应的调制映射，形成调制信息序列，对进行IDFT ，计算出OFDM 已调信号的时域抽样序列，加上循环前缀CP （循环前缀可以使OFDM 系统完全消除信号的多径传播造成的符号间干扰（ISI ）和载波间干扰（ICI ）见§1.4和§1.5的分析），再作D/A 变换，得到OFDM 已调信号的时域波形。接收端先对接收信号进行A/D 变换，去掉循环前缀CP ，得到OFDM 已调信号的抽样序列，对该抽样序列作DFT 即得到原调制信息序列。

)(N X )(N X )(N

X

循环前缀CP 的引入[PR 1]，使得OFDM 传输在一定条件下可以完全消除由于多径传播造成的符号间干扰（ISI ）和子信道间干扰（ICI ）的影响，大大推进了OFDM 技术实用化的进程。图1.2是循环前缀示意图。

OFDM “符号”（symbol ）是一个容易产生歧义的概念。在多数OFDM 文献中，OFDM “符号”指的是调制信息序列，而的各分量（即各子载波上的调制信息）也用“符号”（symbol ）表示。为避免这种混乱，我们将连同循环前缀称为OFDM “帧符号”，简称“符号”，称的分量为“帧内符号”。OFDM 文献中的符号间干扰（ISI ）指的是帧符号间的干扰，具体是指除去循环前缀后的帧符号间的干扰，同样符号同步也是指帧符号同步。这样与OFDM 文献中的名称基本一致，而又不会引起误解。

)(N X )N )(N X )(N X (X 4. OFDM 的时间连续系统模型

OFDM 系统有一些不同的形式，我们先就最流行的采用循环前缀形式的OFDM 系统建立相应的数学模型[ESBL 1]。

最初的OFDM 系统不采用数字调制解调技术，因此下面的OFDM 模型可以看成是理想的OFDM 系统模型，当然，目前一般是采用数字合成技术来实现它。图1.3是OFDM 系统的连续时间基带模型。

发射机 设OFDM 系统共有N 个子载波，系统带宽为W Hz ，符号长度为T ，循环前缀CP 的长度为T ，即一个OFDM 帧符号的传输时间是T ，考虑到循环前缀的影响，发射机发射的第k 个载波波形为

s cp cp s T T += ?∈?π=φ],0[,0],0[)](2exp[1)(T t T t T t k N W j T t cp s k （1.4.1）

注意，当t 时，有，这就是循环前缀的作用，它使得信号在一定的时间内看上去具有周期性。这样第i 个OFDM 帧符号的已调波形为 ],0[cp T ∈)()/()(s k k k T t W N t t +φ=+φ=φ

∑?=?φ=10)()()(N k k i i iT t k X t s

（1.4.2）

当传输的是一个无限的OFDM 符号序列时，OFDM 已调信号波形可以表示为

∑∑∑∞?∞=?=∞?∞=?φ==

i N k k i i i iT t k X t s t s 10)()()()( （1.4.3）

信道

我们假设信道冲击响应的支撑小于循环前缀CP ，即，则接收机收到的信号为

);(t g τ],0[cp T ∈τ∫+ττ?τ=?=cp

T t n d t s t g t s g t r 0)(~)();())(()( （1.4.4）

这里，)(~t n

是信道的加性Gauss 白噪声（复形式）。 接收机

OFDM 接收机由一个滤波器组构成，其中第k 个滤波器与传输载波波形的后面部分[相匹配，即

)(t k φ],T T cp ?∈?φ=ψ?],0[,0],0[),()(s s k

k T t T t t T t （1.4.5）

就是说，循环前缀CP 以被删除。由于CP 包含了所有前面符号的符号间干扰（ISI ），所以接收机滤波器组的抽样输出将不含有ISI 。因此，我们在计算第k 个匹配滤波器的抽样输出时可以忽略时间标号i ，利用式(1.4.3),(1.4.4),(1.4.5)，我们得到

∫∫∑∫∫???=′′∞∞

?=φ?+φ τ τ?φ′τ=?ψ=ψ?=T T k T T k N k k T k T t k k cp cp cp dt t t T n dt t d t k X t g dt t T t r t r y .)()(~)()()();()()())((100

设信道的冲击响应在一个OFDM 符号间隔内不变，记之为)(τg ，这样就得到

∫∫∫∑??′?=′φ?+φ ττ?φτ′=T T k T T k T k N k k cp cp cp dt t t T n dt t d t g k X y .)()(~)()()()(01

0 积分区间T 以及蕴含着T t cp <

T

t T d N W k j g T N W T t k j d T N W T t k j g d t g cp T s cp T s

cp T k cp cp

cp

<<ττ′π?τ?′π=τ?τ?′πτ=ττ?φτ∫∫∫′ ,]/2exp[)(]

/)(2exp[]/)(2exp[)()()(000

上式的后面的积分部分是信道冲击响应在频域的抽样，抽样频率为N W k f /′=，即在第k ′个载波频率处为

∫ττ′π?τ=′=′cp

T k d N W k j g N W

k G h 0,)/2exp()((

这里G 是的Fourier 变换。采用这些记号，接收机滤波器组的输出可以简化为

)(f )(τg ∫∫∑??

′?=′φ?+φ?′π′=T T k

T T k k s cp N k k cp cp dt t t T n dt t h T N

W T t k j k X y )()(~

)(/)(2exp()

(1

0 ∑∫?=′?

′′′+φφ=1

0,)()(N k T

T k k k k k cp

n dt t t h x （1.4.6）

这里n 。根据滤波器组的正交性

∫?φ?=T T k k cp dt t t T n )()(~

dt

T N

W T t k j T N W T t k j dt t t s

cp T T s cp T T k k cp cp /)(2exp(/)(2exp()()(?π?′π=φφ∫∫?′

),(k k ′?δ=

这里δ是Kronecker 函数。这样式（1.4.6）可以简化为

)(k δk k k n k X h y +=)( （1.4.7）

其中n 是加性高斯白噪声（AWGN ）。

k 5. OFDM 的时间离散系统模型

OFDM 时间离散系统模型与时间连续系统模型相似，如图1.4所示。

OFDM 信号通过时变多径信道，设信道衰落比较缓慢，在一个OFDM 符号间隔内信道的冲击响应不变，记为，则OFDM 接收机收到的信号为

)(n s )(n g )(n r )(~)()()(n N n g n s n r +?=

其中，“”表示离散序列的（线性）卷积运算。

?循环前缀CP 使得成为的循环扩展，根据数字信号处理的知识当CP 的长度≥（的支撑即最大非零定义域）长度时，r 去掉循环前缀后所得r 为

)(n s )(1n s )(n g )(n )(1n )(~)()()(111n N n g n s n r +?=

其中，“”表示循环卷积运算[WSY 1]。

?根据DFT 的时域卷积定理，经过FFT 后的输出为

)(1n r )(n y )

()()()

()]([)()}

(~)()](({[)(111n N n G n X n N n g DFT n X n N n g n X IDFT DFT n y +?=+?=+?= 其中是信道的频域响应，通过简单的均衡就可用消除其影响，提取出所传输的数据。

)(n G )(n X 应该指出，虽然CP 在一定条件下可以完全消除ISI 和ICI ，但接收信号去掉CP 后在作DFT 前，仍然存在帧内符号间干扰，即OFDM 帧符号与信道作了（循环）卷积，经DFT 解卷积后，通过均衡消除了帧内符号间干扰并得到信息序列。

)(N X

我们知道，两个N 长序列的时域循环卷积是N 长序列，经DFT 变换到频域后，对应的是两个N 长序列DFT 的乘积，这就是著名的DFT 的卷积定理。即DFT 解卷积解的是循环卷积，由于离散序列经过线性系统后的输出是序列与线性系统的冲击响应的线性卷积，因此不可以直接用DFT 解卷积。循环前缀CP 的作用就是将线性系统对离散序列的卷积作用变成循环卷积（根据数字信号处理的理论可以知道，只有CP 的长度≥信道冲击响应的长度时才是如此），从而可以利用DFT 解卷积。

当CP 的长度大于信道的最大时延时，一方面CP 起到了保护间隔的作用，所以可以完全消除由于信道的多径传播造成的OFDM 的符号间干扰；另一方面，从以上分析可以知道，DFT 的输出的信号项仅受到（子）信道的固定的衰减，而不存在子信道间的干扰，即CP 还起到了保持子载波间的正交性的作用，从而消除了载波间干扰（Intercarrier Interference ，ICI ）。

6. OFDM 信号的频谱特性

当各子载波用QAM 或MPSK 进行调制时，如果基带信号采用矩形波，则每个子信道上已调信号的频谱为形状，其主瓣宽度为Hz ，其中T 为OFDM 符号长度（不包括CP ）。由于在T 时间内共有OFDM 信号的N 个抽样，所以OFDM 信号的时域抽样周期为T 。由于相邻子载波之间的频率间隔为，其中为OFDM 信号的抽样频率，即， 所以

)(x Sa s s T s T /2f =?s N s /N f s /s f s f =N /s s T N f f /1/==? （1.7.1） 即这些已调子载波信号频谱函数的主瓣宽度为2，间隔为1。根据函数的性质，知道它们在频域上正交，这就是正交频分复用（OFDM ）名称的由来。

)(x Sa s T /s T /)(x Sa 我们知道，一般的频分复用传输系统的各子信道之间要有一定的保护频带，以便在接收端可以用带通滤波器分离出各子信道的信号。保护频带降低了整个系统的频谱利用率。OFDM 系统的子信道间不但没有保护频带，而且各子信道的信号频谱还相互重叠，如图1.5所示，这使得OFDM 系统的频谱利用率相比普通频分复用系统有很大提高，而各子载波可以采用频谱效率高的QAM 和MPSK 调制方式，进一步提高了OFDM 系统的频谱效率。

应该指出，由于循环前缀的影响，OFDM 信号的频谱结构将发生一定的变化，但这仅仅使信号的某些频谱成份得到增强，而不会使OFDM 信号增加新的频率成份。

我们知道，移动信道一般存在多径传播问题，使信道表现出明显的衰落特性。信道的多径衰落在单载波传输系统中往往会产生严重的码间干扰，使得接收机往往需要比较复杂的均衡滤波器，所以设计单载波高速移动通信系统的均衡器是一项富有挑战性的工作。OFDM

OFDM 子信道

系统利用N 个子载波，将整个信道划分成N 个窄子信道，在每个子信道上信道的衰落近似平坦衰落，如图1.6所示，而且每个子信道上的码速率也比较低，这使得OFDM 系统的均衡滤波器的设计比较容易，一般每个子信道只需要一个单抽头的（自适应）均衡器即可，这也是OFDM 吸引人的特点之一。

OFDM 子信道间的间隔对系统的性能有很大影响。子信道间隔越大，由于各种因素造成的子信道间的干扰越小，但同时系统的频谱效率也越低，由于子信道带宽的加大，系统抗击频率选择性衰落的能力也下降；反之，为提高系统的频谱效率而缩小子信道间的间隔，必然使系统的子载波间的干扰加大；系统设计人员需要在它们之间折衷。信道带宽和FFT 的点数决定了OFDM 子信道间的间隔，确定子信道间隔的一般原则是，满足系统频谱利用率和保证OFDM 系统的良好的抗击频率选择性衰落的前提下，尽可能加大子载波间的间隔。

7. OFDM 的子载波调制

OFDM 的子载波调制一般采用QAM 或MPSK 方式。各子载波不必要采用相同的状态数（进制数），甚至不必要采用相同的调制方式。这使得OFDM 支持的传输速率可以在一个较大的范围内变化，并可以根据子信道的干扰情况，在不同的子信道上采用不同状态数的调制，甚至采用不同的调制方式。调制信号星座的形成在IDFT 前由相应的调制映射完成。具体地说，就是根据串并变换后的比特序列以及QAM （或MPSK ）的星座映射关系，计算出

相应的同相分量和正交分量b ，

得到，这就是第个载波被调制后在一个i a i i i jb a i X +=)(i

OFDM 符号周期内的频谱（所以我们说OFDM 的子载波调制是在频域上进行的），然后将该符号周期内的频域信号变成时域信号，这个过程由IDFT 完成。IDFT 的输出加上循环前缀后，分实部虚部分别作D/A 变换后串行传输实部和虚部的波形。或者计算出信息序列后，将信息序列延长成长度为2N +2，变成共轭对称的形式，如图1.7所示，根据数字信号处理的理论，这样的序列作IDFT 后为实信号，可以直接传输。

)(N X j 33?

下面以子载波采用16QAM 调制为例，说明16QAM 调制映射的实现。

一种最简单的16QAM 信号星座图如下面图1.8所示，这种星座图不是最佳的，即这种星座图形式的16QAM 对信号功率的利用没有达到最佳，但是这种星座图实现最容易。关于信号星座图的优化设计见[Chen 1]。

图中的横轴表示同相分量的信息比特，纵轴表示正交分量的信息比特，当然也可以作另外的假设。设第k 个子信道上要传输的信息比特为“1101”，从图1.8可知，X ；同样若信息比特为“1010”，则k )(=j k X +?=3)(，等等。

由于OFDM 的子载波调制是在频域上根据信号星座图计算出来的，而且完成调制的IDFT 也需要大量的运算，因此OFDM 系统的发射机必须有强大的计算能力（其实接收机也是如此），这可以由专门的DSP 芯片或FPGA 芯片完成，随着计算机技术的进步，未来也有可能由通用计算机完成。从这种意义上说，OFDM 是通信和计算技术的融合。由于OFDM 的发射机和接收机有强大的一般计算能力，所以在OFDM 子载波调制中，不必考虑复杂的星座图信号在实现上的复杂性，这样OFDM 的子载波调制中可以采用任何先进的信号星座图优化技术，以提高信号的功率利用率。

参考文献

[Chen 1] 陈如明. 大容量数字微波传输系统工程. 人民邮电出版社，1998,9

[ESBL 1] Edfors et al. An introduction to orthogonal-frequency division multiplexing. Research Report 1996:16, Division of Signal Processing, Lule? University of Technology, Sept. 1996

[PR 1] Peled A and Ruiz A. Frequency domain data transmission using reduced computational complexity algorithms. In Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Signal Processing, pp.964-967, Denver, CO, 1980

[PB 1] Pollet T, Bladel M and Moeneclaey M. BER sensitivity of OFDM systems to carrier frequency offset and Wiener phase noise. IEEE Trans. Commun., 43(2/3/4):191-193, Feb/Mar/Apr 1995

[Proakis 1] Proakis J G. Digital Communications. Prentice-Hall, 3rd edition, 1995

[WSY 1] 王世一. 数字信号处理. 北京理工大学出版社，1987