二次函数对称规律
二次函数对称规律
1、 y 1=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的函数是y 2= -ax 2-bx-c 。
因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a 变为-a ；对称轴未变，y 1的对称轴是a 2b x -=，y 2的对称轴也应该是a 2b a 2b x -=---
=；y 1与y 轴的交点坐标是（0，c ），关于x 轴对称后就是（0，-c ）。 2、 y 1=ax 2+bx+c 关于y 轴对称的函数是y 2= ax 2-bx+c 。
因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a 不变；对称轴改变，y 1的对称轴是a 2b x -=，y 2的对称轴就应该是a
2b a 2b x =--=；y 1与y 轴的交点坐标是（0，c ），y 2与y 轴的交点坐标也是（0，c ），所以c 不变。
3、 y 1=a （x-h ）2＋k 关于原点对称的函数是y 2=-a （x+h ）2-k 。此时必须将抛物线化成顶点式研究。
因为y 1=a （x-h ）2＋k 的顶点是(h,k)，关于原点对称后的顶点是（-h ，-k ），抛物线形状不变，开口方
向相反，所以a 变为-a 。
二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)
1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应如下，从表可知： x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ，④在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上， ②抛物线与 y 轴交于负半轴， ③当 x ＝4 时， y ＞ 0 ， ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 （只填写序号） 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）中，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： 请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ，0)，B (3，0) 两点，则线段 AB 的长 度为（ ） 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则的取值范围是（ ） A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …
二次函数的对称轴(学练结合)
二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。
例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
二次函数性质(对称性)(含答案)
二次函数性质 对称性和增减性： 点A(1，正确的是 A. 1 >2 B. 1 < 2 C. 1 ≥2 D. 1 ≤2 2.若二次函数的与的部分对应值如下表： 则当＝1时，的值为 A 、5 B 、﹣3 C 、－13 D 、－27 3.已知一元二次方程的一根为，在二次函数的图象上有 三点、、，、、的大小关系是 A. B. C. D. 4.若二次函数的图象经过A （－1，1）、B （2，2）、C （，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是 A.1>2>3 B.1>3>2 C.2>1>3 D.3>1>2 x y y y y y y y y 2y ax bx c =++x y x y 230x bx +-=3-23y x bx =+-14 5 ,y ??- ??? 25 4 ,y ??- ??? 31 6 ,y ?? ??? 1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<312y y y <<132y y y < 5.已知函数，若使成立的值恰好有三个，则的值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6.如图6，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点．则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数． ②． ③当时，． ④． 其中正确结论是（ ） A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④ ()()()() 2 211 351 3x x y x x >?--≤?=?--??y k =x k 21(2)3y a x =+-2 21(3)12 y x =-+(13)A ， A x B C ，x 2y 1a =0x =214y y -=23AB AC = 1 二次函数题型-对称轴、顶点、最值测试 教学目标: 二次函数的对称轴、顶点、最值 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2 －m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式 问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称 总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． (一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1 二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。 y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关 求二次函数解析式之对称式 用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况： 1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同，而纵坐标互为 相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为 ()'2y y ax bx c a 0=-=++≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=---≠. 结论：抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数，而纵坐 标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为 ()()()'2 y a x b x c a 0=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠. 结论：抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数，. 也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2 y y a x b x c a 0=-=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠. 结论：抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同. 例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线（红 色）： 4.关于直线x k =（k 是常数）和关于直线y h =（h 是常数）对称. ①.关于直线x k =（k 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的横坐标和的一半等于k ，即，对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2 y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应表示为()()'2 y a 2k x m n a 0=-++≠，即()()'2 y a x 2k m n a 0=--+≠ （注意k 和m 都要变号,n 不变号） ②. 关于直线y h =（h 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的纵坐标和的一半等于h ， 《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯) （一）、教学内容 1. 二次函数的解析式六种形式 ① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2 ()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点） ③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥ y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质 对称轴：2b x a =- 顶点坐标：2 4(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 ☆ 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12 2 x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0) 当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 【典型例题】 题型 1 求二次函数的对称轴 1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。 2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x = 3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。 4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0）， 对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ） y x O 配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 提取二次项系数 加上再减去一次项系数一半的平方 例1、试用配方法把二次函数①y =－2x 2+4x －4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表： 练习；一、填空题： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是 5．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 6．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 7．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线， 且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 9．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 10．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 11．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x 1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性 教学目标： 1．能从数和形两个角度认识函数的奇偶性，掌握判断函数是奇函数还是偶函数的方法； 2．理解函数的奇偶性将有助于函数图象的绘制简化函数性质研究的工作量； 3．通过代数推理手段理解二次函数图象的对称性，提高抽象、概括、推理能力； 4．进一步领悟数形结合的思想方法。 教学重点： 1．函数的奇偶性定义的形成与应用； 2．认识二次函数图象的对称轴，以及二次函数的对称性的应用。 教学难点： 1． 用数量关系刻画函数奇偶性与二次函数的对称性； 2． 综合利用函数的奇偶性与单调性研究函数。 教学过程： 一． 复习提问 1． 叙述函数单调性的定义，以及描述二次函数单调性与最值的定理。（口头提问） 2． 课本53页练习（三位同学上黑板练习） （1）写出函数232-=x y 的图象的开口方向，顶点坐标，并作出草图； （2）写出函数2)3(--=x y 的图象的开口方向，顶点坐标，并作出草图； （3）已知函数m x x x f +-= 42)(2，当m 在什么范围内变化时，函数的定义域为全 体实数？ 二．二次函数的图象和性质——对称性。（板书） 我们接着上次研究二次函数的图象和性质。两个内容：从解析式看函数的奇偶性；二次函数图象的对称性。 1． 从解析式看函数的奇偶性。 从练习（1），我们看到函数232-=x y 的图象关于y 轴对称。想想看，可以把图象具有这种性质的函数叫什么函数？（偶函数） 让我们看看二次函数n m x a x f +-=2)()(),0(R x a ∈≠在什么情况下是偶函数？二 次函数c bx ax x f ++=2)(),0(R x a ∈≠。通过计算机演示，把m 调到0，得到n ax x f +=2)(的图象。把b 调到0，得到c ax x f +=2)(的图象。 由图象看，它关于y 轴对称，此函数为偶函数。现在问，不画图能不能从函数的解析式看出一个函数是偶函数？类似地，我们知道，如果一个函数的图象关于原点对称，这个函数叫奇函数。能不能从函数的解析式看出一个函数是奇函数？如果能，函数图象画出 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 复习 集合的概念，集合的特点，区间的表示 定义域，值域，映射 初中知识回顾 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解 特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布 主要思想：分类讨论 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 二次函数图像的对称性 1.若一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的一根为2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=2，则 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为 。 2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过(-4，9) (5，9)两点，则该抛物线的对称轴为 。 3.已知二次函数y=a(x-1)2+c 与x 轴交于A 、B 两点，若A 点坐标为(3,0),则B 点坐标为 。 4.若二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=2，且经过(3,0)点，则a+b+c 的值为 。 5.若抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8)，则方程ax 2+bx+c=-8的根为 。 6.若抛物线y=ax 2+bx+c 满足4a-2b+c=0,9a+3b+c=0,且抛物线经过点(5,3),则方程ax 2+bx+c=3 的根为 7.若一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根为x 1=-3,x 2=5,且若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点 为(-2,0),则该抛物线与x 轴的另一个交点为 。 8.若抛物线y=ax 2-2ax+k(a ＞0)上有三点分别为A(√2,y 1),B(2,y 2),C(-√5,y 3),则y 1,y 2,y 3的大 小关系为 。 9.若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A(-3,0)，对称轴为直线x=-1，顶点到x 轴的距离为2，则该 抛物线的解析式为 。 10.如图所示，由抛物线可知，当x 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 有最大值，当 时，函数值y ＞0. 11. 如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0) 的顶点P 横坐标为4，图像交x 轴于A(m,0)和点B ，且m ＞4，则线段AB 长为 （用含m 的代数式表示）。 12.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0；⑤c ＜0;⑥b 2＞4ac 其中正确的个 是（ ）。 （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个 13.已知二次函数y=ax 2+bx+c )0( a 的图象如图所示，给出以下结论：①a+c ＜b ②c-a=2； ③ab ＜0④ 14 a- 12 b+c ＞0；其中所有正确结论的序号是 。 14.若（-134 ,y 1）、(-54 ,y 2)、(14 ,y 3)为二次函数y=x 2+4x-5图像上的三点，则y 1,y 2,y 3从小到大排列为 。 15.二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如右表，根据表中所的信息可得如下结论：①抛物线的对称轴为 ②a 0, ,③x=2时，y= ,④a+b-c= ,⑤当x= 时，y 有最 值；⑥y=-9时，x= ，⑦方程ax 2+bx+c=-3的两根为 ，⑧不等式ax 2+bx+c ＞1的解集为 。 第12题 第10题 第11题 第13题 二次函数知识点 二次函数概念: 1．二次函数的概念:一般地,形如y=a ｘ2+ｂx ＋ｃ(a b c ，，是常数，a ≠0)的函数,叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零.二次函数的定义域是全体实数。<＜>≤≥ ２． 二次函数ｙ＝ax 2+bx+c 的性质 1）当ａ>0时,抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，. 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. ２. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三)、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ,b ,c 为常数,0a ≠)； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ,h ,k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式:12()()y a x x x x =--（0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x 为自变量)( )?Ａ． Ｂ． Ｃ. D ．? ２． 函数y ＝ｘ2－2x+3的图象的顶点坐标是( )? Ａ． (1，-４) B.(-1，２) C. (1，2) Ｄ．(０,3) 3． 抛物线y ＝2(x-３)２的顶点在( ) A ． 第一象限 Ｂ. 第二象限 C. x 轴上 D ． y 轴上 二次函数专题训练2——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，， 两点，则线段 AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-初中数学二次函数题型-对称轴、顶点、最值
二次函数的对称变换
二次函数的对称性
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数对称性的专题复习
二次函数对称轴经典问题
求二次函数解析式之对称式
二次函数顶点对称轴,解析式
(完整版)二次函数对称性
配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标
二次函数的图象和性质对称性
高中数学二次函数对称轴问题
二次函数的性质讲义.doc
二次函数图像的对称性
初中二次函数知识点总结(全面)
二次函数专题训练2——二次函数对称性