高中数学解三角形复习教案

模块一：解三角形复习

正弦定理

教学过程： 一、复习准备：

1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形那么斜三角形怎么办

2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化 →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：

1. 教学正弦定理的推导： [

①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A =

c a sin B =c

b sin C =1 即

c =sin sin sin a b c

A B C

==

. ② 能否推广到斜三角形 （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有

sin sin CD a B b A ==,则

sin sin a b

A B

=

. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高），从而sin sin sin a b c

A B C

==

. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC

当中S

△ABC

=

111

sin sin sin 222

ab C ac B bc A ==. 两边同除以

12abc 即得：

sin a A =sin b B =sin c

C

. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a

CD R A D

===，

同理

sin b B =2R ，sin c C

＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. ,

④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：

① 出示例1：在?ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边

② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ?==中，求和.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③ ·

④

练习：060,1,,ABC b B c a A C ?===中，求和.

在?ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）

④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量

3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：

1.已知?ABC 中，∠A =60°，a =，求

sin sin sin a b c

A B C

++++.

,

余弦定理（一）

教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：

一、复习准备： *

1. 提问：正弦定理的文字语言 符号语言基本应用

2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45

，C =30

，解此三角形. →变式

3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边 二、讲授新课：

1. 教学余弦定理的推导：

① 如图在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC AB BC =+，

∴()()AC AC AB BC AB BC ?=+?+22

2AB AB BC BC =+?+

!

2

2

2||||cos(180)AB AB BC B BC =+?-+222cos c ac B a =-+.

即2222cos b c a ac B =+-，→

② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.

③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角

→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc

+-=，…等.

⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系 —

2. 教学例题：

① 出示例1：在?ABC 中，已知23=a 62c 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b

→ 讨论：如何求A （两种方法） （答案：22b =060A =） → 小结：已知两边及夹角

②在?ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.

c

a b C

;

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边

3. 练习：

① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .

② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.

4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

%

余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.

三、巩固练习：

1. 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）

2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .

3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.

.3 正弦定理和余弦定理（练习）

一、复习准备： }

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. (i ) A ＝

6π，a ＝25，b ＝

； (ii ) A ＝6π

，a ＝

，b ＝

50； (iii ) A ＝

6π，a

＝，b ＝

； (iiii ) A ＝6

π，a ＝50，b ＝

50.

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化

)

② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）

② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝

23π，a ＝25，b ＝

50； (ii ) A ＝23

π，a ＝25，b ＝

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况

(1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 |

(2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.

.

② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.

已知边a,b 和∠A

有两个解

仅有一个解无解

CH=bsinA

分析：由三角形的什么知识可以判别→求最大角余弦，由符号进行判断

结论：活用余弦定理，得到：

=+???

>+???

<+??

222

222

222

是直角是直角三角形

是钝角是钝角三角形

是锐角

a b c A ABC

a b c A ABC

a b c A?是锐角三角形

ABC

③出示例4：已知△ABC中，cos cos

b C

c B

=，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边

3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.

&

三、巩固练习：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2

sin3

A

B

=，求

a b

b

+

的值

2. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos A:cos B:cos C＝ .

3. 作业：

三角形中的几何计算

一、 设疑自探

正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。

对于本节课你想了解哪些内容 -

（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题 （2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题 二、解疑合探

.

.453095||的长求，，

，，中，形例一：如图所示，在梯BD ADB BCA AC AB BC AD ABCD ?=∠?=∠==

A D

#

B C

2

8135601410,=?=∠?=∠==⊥BC BC BCD BDA AB AD CD AD ABCD 答案：的长。，求，，，中，在四边形例二：如图所示，已知

D C

、

A B 面积的最大值。

）求四边形（的函数；表示成的面积试将四边形）若（的两侧。

与圆心分别在且点角形为边作等边三以上半圆上的一个动点，是圆，点上，的延长线

在直径，点的半径是圆例三：如图所示，已知OPDC y OPDC POB PC D PCD PC O P BC AB C O 2,1,11θθ=∠=

\

的取值范围。求于交的平分线

，底角中，底边如图所示，在等腰例五BD D AC BD B BC ABC ,1:=?

]

四、运用拓展

3

3

11334949322016601==

=?==?=??r R BC ABC BC S AB A ABC ABC ，，答案：径。的外接圆和内切圆的半及，求，，中，）在（

）

，的取值范围是（答案：的取值范围。

求的对边，且分别是内角中，在21,

2,,,,)2(a

b

a b

A B C B A c b a ABC =?

§3 解三角形的实际应用举例

>

教学过程

一、复习引入 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

=== 2、余弦定理：,cos 22

2

2

A bc c b a -+=?bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

,cos 22

2

2

B ca a c b -+=?ca

b a

c B 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=，?ab

c b a C 2cos 2

22-+=

二、例题讲解

引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。

[

解：060=A 075=B ∴045=C

由正弦定理知

045

sin 10

60sin =BC 6545sin 60sin 100

==?BC 海里

例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．

《

750

600

C

B

A

解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。

2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。

3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东020, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东065方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到） 解：16=AB

&

由正弦定理知

020sin 45sin BS

AB =

7.745sin 20sin 100

≈=BS 海里

答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里

例2.测量高度问题

如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两

处，测得烟囱的仰角分别是045=α和0

60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高

1.5m.求烟囱的高。

图中给出了怎样的一个几何图形已知什么，求什么 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11=

所以只要求出B A 1即可

%

练习：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角060=α，

在塔底C 处测得点A 的俯角0

45=β，已知铁

塔BC 部分高32米，求山高CD 。 解：在△ABC 中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°，

∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15°

?S

B A

1150

450

650200

A 1α

βD 1C 1D

C

B

A

?

32

β=450

α=600

D

C

B

A

又BC=32, 由正弦定理

ABC

AC

BAC BC ∠=

∠sin sin 得：m BAC ABC BC AC )26(164

2

61615

sin 30sin 32sin sin 0

+=-==∠∠=

`

课堂小结

1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。

2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。

3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：

?

解三角形

检验（答）

正弦定理余弦定理综合应用

一、知识梳理

1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦

然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：R C c

B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

：

形式二：

??

?

??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)

形式三： 形式四：

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角

的余弦的积的两倍..

形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- 222

2cos c a b ab C

=+-(解三角形的重要工具)

形式二：

二、方法归纳

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=π及，可求出角C ，再求b 、c .

(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2

-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求

出角B 、C. （

(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.

(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理，求出另一边b 的

对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由求出C ，而通过求B

时，可能出一解，两解或无解的情况

a =

b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题

问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC ?中，若5b =，4B π∠=

,1sin 3A =，则a =

.3

111

sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B

?===::sin :sin :sin a b c A B C =sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =

==222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222

cos 2a b c C ab +-=

sin sin sin a b c

A B C ==

sin sin a b

A B =

sin sin a c A C =sin sin a b

A B =

【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

；

【适时导练】

1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ; （2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a. .

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，

4

1cos =

C . （Ⅰ）求ABC ?的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.

》

【例4】（2010重庆文数） 设的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且3+3-3=4b c .

(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求

的值.

【适时导练】

2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c

a b

+2.

（1）求角B 的大小；（2）若b =13

，a +c =4，求△ABC 的面积.

.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

【例5】（2011山东文数）在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知

．

（I ）求的值； （II ）若cosB=，?ABC 的周长为5，求b 的长。

【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，

已知，且 求b

{

ABC ?2

b

2c 2

a 2sin()sin()

441cos 2A B C A

ππ

+++-cos A-2cos C 2c-a

=cos B b

sin sin C A

1

4ABC ?a b c 22

2a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =

3． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin

2

2

B C

+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；（2）若a

＝，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．

问题四：三角恒等变形

【例7】（08重庆） 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A=60，c=3b.求： `

（Ⅰ）a

c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.

4.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，,

.

（1）求；（2）若,求.

》

问题五：判断三角形形状

【例8】在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，

试判断ABC ?三角形的形状.

【例9】. 在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b

a

，

^

【适时导练】

5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2

+b 2

）sin （A-B ）

=（a 2-b 2

）sin （A+B ），判断三角形的形状.

！

问题六：与其他知识综合

ABC ,,A B C ,,a b c sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+sin()cos B A C -=,A C 33ABC S ?=+,a c

【例10】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--?=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.

7（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I ）求的面积； （II ）若，求的值．

|

问题7：三角实际应用

【例11】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A 、B 之间的距离.

！

$

{

ABC ?,,A B C ,,a b c 25

cos

2A =

3AB AC ?=ABC ?1c =a

~

模块二：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。 （

例:已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=

a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列

{}

n a ：

),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b

a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121=

=x x ,∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

???-=-=???

?

?

?+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

3212+=++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()

1(11n S S n S a n n n 与

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通

项公 式n a .

类型7 b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=

+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2

3131

+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=

a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列

{}

n a ：

),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b

a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121=

=x x ,∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ??

?-=-=???

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

3212+=++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()

1(11n S S n S a n n n 与

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通

项公 式n a .

类型7 b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a