高中数学必修第章解三角形全章教案

课题: §1．1．1正弦定理

如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，

角与边的等式关系。

从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a

b

c

A B C ==

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则

sin sin a b A B =， C 同理可得

sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B

=sin c C

= A c B

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a

b

A B =sin c

C =

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

（2）sin sin a

b A B =sin

c C

=等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C

从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B

=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。

例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。

练习：已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c

练习：1.在?ABC 中，已知045A =，030C =，10c =cm ，解三角形。

2.在?ABC 中，已知060A =，045B =，20c =cm ，解三角形。

3.在?ABC 中，已知20=a cm ，102b =，030B =，解三角形。

4.在?ABC 中，已知102c =cm ，20b =cm ，045B =，解三角形。

补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）

课题: §1.1.2余弦定理

如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b 和∠C ，求边c

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c

()()222 2 2c c c a b a b

a a

b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a B

从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)

同理可证 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

2222cos c a b ab C =+-

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=b c a A bc

222

cos 2+-=a c b B ac

222

cos 2+-=b a c C ba

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

若?ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

例1．在?ABC 中，已知=a c 045B =，求b 及A

练习：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A 。

例1．在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =

可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A

= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解；

（2）若sin a b A =，则只有一解；

（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且

sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习：（1）在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在?ABC 中，若1a =，12

c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

例2．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。

练习：（1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。

（2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。

例3．在?ABC 中，060A =，1b =3sin sin sin a b c A B C ++++的值

练习：（1）在?ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S = C

（2）在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=

，求角C

作业

（1）在?ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在?ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断?ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根，求这个三角形的面积。

§2.2解三角形应用举例

(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)

变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30?，灯塔B 在观察站C 南偏东60?，则A 、B 之间的距离为多少？

例3、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

例4、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'?，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'?。已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

例3、在?ABC 中，求证：

（1）;sin sin sin 222222C

B A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcos

C ）

变式练习1：已知在?ABC 中，∠B=30?,b=6,c=63,求a 及?ABC 的面积S

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，

（1） acosA = bcosB

（2） sinC =

B A B A cos cos sin sin ++

附加例题：

例1．在ABC ?中，已知45B ?=，60C ?=，1c =。试求最长边的长度。

例2．在ABC ?中，已知::2a b c =，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。

解三角形归纳提高

一、知识点梳理：

1、正弦定理：在△ABC 中，R C

c B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用

2、余弦定理：在△ABC 中，

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：

bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab

c b a C 2cos 2

22-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===

二、题组训练：

1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为

2、判定下列三角形的形状

在△ABC 中，已知38,4,3=

==c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==

2,2

1cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222==

=--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

7、在△ABC 中，求证：

2222112cos 2cos b a b B a A -=-

2、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=．

（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

3、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．

2、在ABC △中，5cos 13

B =-，4cos 5

C =．

（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S △，求BC 的长．