拉普拉斯变换和逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中，直接计算

32

8

.95781

2028.6??

=N 5

3)

164.1(?

是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

164

.1lg 53

)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N

然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

一、拉氏变换的基本概念

定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分

()pt f t e dt +∞

-?

在P 的某一区域内收

敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即

dt

e t

f P F pt ?

∞

+-=

)()( （）

称（）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的

拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数）

，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：

（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：00

00[]()[]pt pt

pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞

+∞+∞---+∞-=

=-

=-+?

?? 2020

][0p a e p a dt e p

a pt pt =-=+

=∞

+-∞+-?

)

0(>p

二、单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则

??

?=≠=.0,1,0,0)(t t t Q

由于电流强度是电量对时间的变化率，即

t t Q t t Q dt t dQ t i t ???)

()(lim )()(0-+==

→，

所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，

∞

=-=-+=→→)1

(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ?????。

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强

度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。

定义

设0,

01(),00,

t t t t εδεε

ε

=≤≤??>??，当0ε→时，()t εδ的极限0

()lim ()t t εεδδ→=

称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为δ-函数。

当0t ≠时，()t δ的值为0；当0t =时，()t δ的值为无穷大，即0,

0(),0t t t δ≠?=?∞=?

。

显然，对任何0ε>，有0

1

()1t dt dt εεδε

+∞-∞

==??，所以()1t dt δ+∞-∞

=?。

工程技术中，常将δ-函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将δ-函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示δ-函数的积分，叫做δ-函数的强度。

例 求单位脉冲信号()t δ的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的定义，有

dt

e dt e

dt e

dt e

t t L pt pt

pt

pt

-→∞

+-→-→∞+-?

?

?

?

=?+=

=

ε

εε

εε

εε

ε

δδ0

1

lim

0lim

)1

lim

()()]([

11lim 1)()1(lim 11lim 1][1

lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→ε

εεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ，

即

1)]([=t L δ。

例 现有一单位阶跃输入0,

0()1,

t u t t

解：00

11

[()]()1[]pt

pt pt L u t u t e

dt e dt e p p

+∞

+∞---+∞=

==-

=?

?，(0)p >。 例 求指数函数()at

f t e =（a 为常数）的拉氏变换。 解：()0

1

[]at

at pt

p a t L e e e

dt e dt p a

+∞

+∞

---=

==

-?

?，()p a >，即

)(1

][a p a p e L at >-=

类似可得22

[sin ](0)L t p p ω

ωω

=

>+；22

[cos ](0)p

L t p p ωω=>+。

三、拉氏变换的性质

拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。

性质 (线性性质) 若1a ，2a 是常数，且11[()]()L f t F p =，22[()]()L f t F p =，则

)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += （）

证明：

dt

e t

f a dt e

t f a dt e

t f a t f a t f a t f a L pt pt

pt

-∞+-∞+-∞+?

?

?

+=+=

+)()()]()([)]()([0

22

11

22110

2211 )()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=

例 求函数1

()(1)at f t e a

-=-的拉氏变换 解：

)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=---- 性质（平移性质） 若[()][]L f t F p =，则

[()]()at

L e f t F p a =-（a 为常数） （）

证明：

?

?

∞+--∞+--==

=

)(0

)

()()()]([a p F dt e t f dt e

t f e t f e L t a p pt

at at

位移性质表明：象原函数乘以at

e 等于其象函数左右平移||a 个单位。

例 求[]at

L te ，[sin ]at

L e t ω-和[cos ]at L e t ω-。

解 因为21[]L t p =

，22[sin ]L t p ωωω=+，22[cos ]p

L t p ωω=+，由位移性质即得 。

，

，2

22

22)(]cos [)(]sin [)(1][ωωωωω+++=

++=-=--a p a

p t e L a p t e L a p te L at at

at

性质（滞后性质） 若[()][]L f t F p =，则

)()]([p F e a t f L ap -=- )0(>a （）

证明：

dt

e

a t f a t f L pt

?

∞+--=

-0

)()]([=dt

e a t

f dt e

a t f a

pt a

pt

?

?

∞

+---+

-)()(0，

在拉氏变换的定义说明中已指出，当0t <时，()0f t =。因此，对于函数()f t a -，

当0t a -<（即t a <）时，()0f t a -=，所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令t a τ-=，则

)

()()()]([0

)

(p F e d e f e

d e

f a t f L ap p ap

a p -∞

+--∞

++-===

-?

?

ττττττ

滞后性质指出：象函数乘以ap

e -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位。 由于函数()

f t a -是当t a ≥时才有非零数值。故与()f t 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -，所以滞后性质也表示为

)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--

例 求[()]L u t a -。 解：因为1[()]L u t p =

，由滞后性质得1[()]ap L u t a e p

--=。 例 求()

[()]a t L e

u t ττ--。 解：因为1[]at L e p a =-，所以()

1[()]a t p L e u t e p a τττ---=-，()p a >

例 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a

≤

)

21(233ap ap ap ap e e p c

e p c e p c p c ----+=-+=，

由拉氏变换定义来验证：

?

?

--+

=

a a a

pt pt

dt

ce dt ce

t f L 0

32)]([

)21()221(33ap ap ap ap ap e e p c

e e e p c ------+=-+-=

。

性质（微分性质） 若[()][]L f t F p =，并设()f t 在[0，+∞)上连续，'

()f t 为分段连

续，则

)0()()]([f p pF t f L -='

证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得

dt e

t f t f L pt

?

∞+-'=

'0

)()]([?

∞+-∞

+-+=0

)(])([dt

e t

f P

e

t f pt pt ，

可以证明，在[()]L f t 存在的条件下，必有lim ()0pt

t f t e

-→+∞

=。因此，

)0()()]([)0(0)]([f p pF t f pL f t f L -=+-='

微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ，再减去函数的初始值。

应用上述结果，对二阶导数可以推得

)}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([2f pf p F p f f p pF p f t f pL t f L '+-='--='-'=''

同理，可得

)}0()0()0({)()]([23f f p f p p F p t f L ''+'+-='''

以此类推，可得

)}0()0()0({)()]([)1(21)(---+'+-=n n n n n f f p f p p F p t f L （）

由此可见，()f t 各阶导数的拉氏变换可以由p 的乘方与象函数[]F p 的代数式表示出

来．特别是当初值(1)

(0)'(0)''(0)(0)0n f f f f

-====时，有更简单的结果

),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n ， （）

利用这个性质，可将()f t 的微分方程转化为()F p 的代数方程。 例 利用微分性质求[sin ]L t ω和[cos ]L t ω。

解：令()sin f t t ω=，则2

()sin (0)0,'(0),"(0)sin f t tf f f t ωωωω====-，由（）式，得

)]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，

即

ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，

移项化简得

2

2

[sin ]L t p ω

ωω

=

+

利用上述结果，1

cos (sin )'t t ωωω

=

及（）式，可得

])(sin 1[][cos '=t L t L ωωω}

0sin ][sin {1

])[(sin 1-='=t pL t L ωω

ωω

2222}0{1ωωω

ω+=

-+?

=

p p

p p ．

性质（积分性质） 若[()]()L f t F p = (0)p ≠，且设()f t 连续，则

?

=t p p F dx x f L 0)(])([ （）

证明：令0

()()t

t f x dt ?=

?

，显见(0)0?=，且因'()()t f t ?=，由微分性质，得

)0()]([)]([???-='t pL t L ，而)()]([)]([p F t f L t L =='?，所以有

()[()][()]t

F p pL t pL f x dx ?==?，即0

1

[()]()t

L f x dx F p p

=

?。 积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数p 。 例 求[]n

L t （n 是正整数）。 解：因为

?

?

?

=

=

=

t t t dx

x t xdx t dx t 0

2

3

2

321，，，…，

?

-=

t n n

dx

nx t 0

1，

所以由（）式即得

,

!

3][3]3

[][,

!2][2]2[][,

!

1]1[]1[][420

2

3

302

21

0p p t L dx x L t L p

p t L xdx L t L p p p L dx L t L t t p t

==========?

?

?

一般地，有

1

10

1

!][][][+--===?

n n t n n

p n p t nL dt x

n

L t L

性质 若[()][]L f t F p =，则0>a 时

)

(1)]([a p F a at f L =

（）

性质 若[()][]L f t F p =，则

)()1()]([)(p F t f t L n n n -= （）

性质 若[()][]L f t F p =，且0()

lim

t f t t

→存在，则

?

∞+=p dp

p F t t f L )(])

([ （）

例 求[sin ]L t t ω。 解：因为2

2

[sin ]L t p ω

ωω

=

+，由（）式可得

22222)(2)()

1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L

例 求sin [

]t

L t

。 解：因为21[sin ]1L t p =

+，而且0sin lim 1t t t

→=，所以由（）式可得

p arctg p arctg dp p t t L p p -==+=?

∞

+∞+2|11]sin [2

π

即

sin 2

pt t e dt arctgp t π

+∞

-=-?

。因此，当0=p 时，得到一个广义积分的值 ?

∞+=

02sin π

dt t t

这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。

现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：

习题

1．求下列函数的拉氏变换 （1）4()t

f t e

-=

（2）2

()f t t = （3）()at

f t te =

（4）()sin()f t t ω?=+（,ω?是常数） 2．求下列题中函数的拉氏变换 （1）43t

e

- （2）5sin 23cos t t -

（3）1,04()1,

4

t f t t -≤≤?=?

≥? （4）sin ,0(),

t t f t t t ππ

≤≤?=?

≥?

（5）0,02()1,240,4t f t t t ≤≤??

≤

（6）()n at f t t e = 第二节 拉普拉斯逆变换

前面我们主要讨论了怎样由已知函数()f t 求它的象函数()F p 的问题．运算法的另一面是已知象函数()F p 要求它的象原函数()f t ，这就是拉斯逆变换问题．在控制工程中，求拉

氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．

性质（先行性质）

)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--。

性质（平移性质）

)()]([)]([11t f e p F L e a p F L at at ==---。 性质（滞后性质） )()()]([1a t u a t f p F e L ap -?-=--。

例 求2

23

()25

p F p p p +=-+的逆变换。 解：

]4)1(5)1(2[]5232[

)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f

]4)1(2

[25]4)1(1[22

121+-++--=--p L p p L ]

42

[25]4[22121+++=--p L e p p L e t t ]

2sin 25

2cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=

在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对

于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数。

例 求32

3

()44p F p p p p

+=++的逆变换。 解：先将[]F p 分解为几个简单分式之和：

22

23)2(2)2(3443++

++=++=+++p C

p B p A p P p P p p p ， 用待定系数法求得34A =，34B =-，1

2

C =-，所以

22

3)2(21

24343443)(+-+-=+++=p p p P p p p p F ，

于是

])2(1

212143143[

)]([)(211+-+-==--p p p L p F L t f

])2(1[21]21[43]1[432111+-+-=

---p L p L p L t

t te e 22214343----=

习题

求下列题中函数的拉氏逆变换

1. 2()

3F p p =

- 2. 24()16p

F p p =+ 3. 228()36p F p p -=+ 4. 1

()(1)(2)

F p p p p =++

5．232()69p F p p p p =++ 6. 22

1

()(1)

p F p p p +=- 第三节 拉氏变换在电学中的应用

一、求解常微分方程

例 求微分方程'()2()0x t x t +=满足初值条件(0)3x =的解。 解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设[()]()L x t X p =：

]0[)](2)('[L t x t x L =+，

0)]([2)]([=+'t x L t x L ， 0)(2)0()(=+-p X x p pX 。

将初始条件(0)3x =代入上式，得

3)()2(=+p X p

这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程。

第二步 解出()X p ：3

()2

X p p =

+ 第三步 求象函数的拉氏逆变换：1

1

23

()[()][]32

t x t L X p L e p ---===+ 这样就得到了微分方程的解2()3t

x t e

-=。

例 有一个二阶动态电路满足微分方程''3'22t

y y y e --+=，并且其初值条件(0)2y =，

'(0)1y =-，求其解。

解：对所给微分方程的两边分别作拉氏变换．设[()]()L y t Y p Y ==，则得

12

2)]0([3)]0()0([2+=

+--'--p Y y pY y py Y p

将初值条件(0)2y =，'(0)1y =-，代入，得到Y 的代数方程

7212

)23(2-++=

+-p p Y p p

即

1

5

5

2

)2

3

(

2

2

+

-

-

=

+

-

p

p

p

Y

p

p

解出Y，得

)1

)(

2

)(1

(

5

5

22

-

-

+

-

-

=

p

p

p

p

p

Y

将上式分解为部分分式

2

3

7

1

4

1

3

1

-

-

-

+

+

=

p

p

p

Y

再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为

t

t

t e

e

e

t

y2

3

7

4

3

1

)(-

+

=-

用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。

二、电学应用举例

例求图示电路的输入运算阻抗Z in(s)

解：由串并联关系得

Z in(s) =

()()

()2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

+

+

=

+

+

+

=

?

?

?

?

?

+

s

s

s

s

s

s

s

例求图(a)所示电路中的i(t)、u C(t)。

（a）（b）解：先画出运算电路如图（b）所示。由运算电路得

()

()()j

3

j

3

1

10

6

1

10

6

1

1

3

2

1

2+

+

+

-

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

s

K

s

K

s

K

s

s

s

s

s

s

s

s

I

其中

()()

5

1

10

6

1

1

2

1

1

-

=

+

+

=

+

=

-

=

-

=

s

s s

s

s

s

s

I

K

()()()()()(

)?

=

+==++=?

-=

-=+++=

-+=--=+-=+-=87.81 /21j0.71.0j 387.81 /2

1j0.71.0j 31j 3j 33j

3j 32s s s s s I K s s s

s s I K

则

()()[]()A )ε( 87.81cos e 2e 51L 31t t s I t i t t ???

????-+-==---

()()()()

10

6110

102+++==

s s s s I s s U C j 3j 31321+++-+++=s K s K s K 其中

()()210

610

1 1

211=++=

+=-=-=s s C s s s s U K

()()()()j

3j 32j 3110

j 3 +-=+-=+++=

-+=s s C s s s s U K

?=+-=565.116 /5j21

()()?-=++=--=565.116 /5j 3 j 33s C s s U K

则

()()[]V )ε( )]565.116(cos e 52e 2[L 31t t s U t u t t C C ?++==---

习题

1．求解一输入响应电路的微分方程。

0)0(1053==+-i e i dt di

t ，

2. 求图(a)所示电路中的回路电流i 1和i 2.。

自测题

1. 求各函数的拉氏变换

（1）

0,01()1,122,2t f t t t ≤≤??

-≤

（3）

2()8sin 3f t t = （4）()1t f t te =+

2. 求各象函数的逆变换 （1）21()(1)

F p p p =

- （2）2

39()210

p F p p p +=++ （3）235157()(1)(2)p p F p p p -+=+- （4）22()p

p e

e F p p

---=

3．如图所示电路激励为()

()i t t δ=，响应为1u 、2u 。求阶跃响应1()S t 、2()S t 。

u 2-1/4F

u 1

+-2H

2Ω

1Ω+

4．求图示两电路的输入运算阻抗Z in (s )