数学实验矩阵的运算

数学实验报告

学院：

班级：

学号：

姓名：

完成日期：

实验四矩阵的运算

（一）投入产出分析

一．实验目的

1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；

2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩

阵等的含义。

二．问题描述

设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示

表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表

根据表回答下列问题：

（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？

（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问

他们的总产出分别为多少?

三.实验过程

1．问题（1）的求解

（1）求直接消耗矩阵A

根据直接消耗的计算公式

a ij=x ij/x j

和各部门中间需求;

x n a n

运行如下代码可得直接消耗系数表。

X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];

X_colsum=[100 200 150];

X_rep=repmat(X_colsum,3,1)

A=X./ X_rep

运行结果为：

A =

0.1500 0.1000 0.2000

0.3000 0.0500 0.3000

0.2000 0.3000 0 （2）求解

根据公式

X=(I-A)-1y

在运行如下代码

y=[50;150;100];

n=size(y,1);

W=eye(n)-A;

X=W\y

运行结果为

X =

139.2801

267.6056

208.1377

即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。

2．问题2求解

设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为

Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy

利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果：

dx=inv(W)

运行结果:

dx =

1.3459 0.2504 0.3443

0.5634 1.2676 0.4930

0.4382 0.4304 1.2167

根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加 1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。四．实验总结

投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。

（二）Hill密码的加密、解密与破译

一、实验目的

1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和

运算.

2. 熟悉Hill密码体制的加密, 解密和破译过程.

3. Hill密码体制的加密, 解密和破译过程的MATLAB编

程实践.

二、问题描述

对明文为“Mr Hill made this code”,利运用不同的密匙矩

阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。

三．实验过程

（1）模型建立于问题分析

简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：

表2-1 26个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系设明文为M=（m1, m2,…,m i）T，密匙矩阵为可逆的l x l 的方阵，则经过线性变换得到密文C=E K（M）=（c1c2…cI）T，其中

C1=(k11m1+ k12m2+…+ k1l m l)mod28,

C2=(k21m1+ k22m2+…+ k2l m l)mod28,

………….

C l=(k l1m1+ k l2m2+…+ k ll m l)mod28,

或写成矩阵形式

C=（KM）mod28,

其中

C=（C1，C2，…，C l）T ，M=（m1，m2，…，m l）T，K=(k ij)lxl 解密得明文

M=（K-1C）mod28

注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、

或小数。当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵

K-1的元素是整数。若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。

（2）加密

对明文为“Mr Hill made this code。”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：

. 13 9 13 0 19 4

M= 18 12 1 20 0 5

0 12 4 8 3 27

8 0 5 9 15 0

为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：

4 x 8 y

K1= 12 1 6 9 , I K1I=1,

3 6

4 6

2 11

3 8

利用如下的MATLAB代码可求得密匙矩阵K1的行列式：

syms x y;

K=[4,x,8,y;12,1,6,9;3,6,4,6;2,11,3,8];

det_K=det(K)

运行结果：

det_K=

-760-105*x+187*y

可知二元一次方程为

-760-150x+187y=1，即105x-187y=-761. 下面利用辗转相除法求一整数解。

设u=x,v=-y,得

105u+187v=-761

对上式辗转相除：

187=1x105+82

105=1x82+23

82=3x23+13

13=1x10+3

10=3x3=1

3=3x3=0

从而得到

187 = 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 105 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

= 187 57 1 = Q 1

105 32 0 0 ,

即

1 = Q-1 187 = -3

2 57 187

0 105 105 -187 105

也即

105x57+187x(-32)=1

两边同时乘以-761，得

105x(-43377)+187x24352=-761

故u=-43377,v=24352为一个特解，

从而u=-43377-187t,v=24352+105t,t为整数

故而x=-43377-187t,y=-24532-105t,t为整数

不妨取t=-232,可得x=7,y=8.从而密匙矩阵可取为

4 7 8 8

K1= 12 1 6 9

3 6

4 6

2 11

3 8

以上过程可采用如下的MATLAB代码实现;

syms t;

Q=[1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [3 1;1 0]

S=[187;105]

Q*[1;0]

Q_inv=inv(Q)

uv0=[-761*Q_inv(1,2) -761*Q_inv(1,1)]

gs=gcd(S(1),S(2));

u=uv0(1)-S(1)/gs*t;

v=uv0(2)+S(2)/gs*t;

u0=uv0(1)-S(1)/gs*(-232);

v0=uv0(2)+S(2)/gs*(-232);

x0=u0,;

y0=-v0;

于是将要发出的信息乘以K1变成“密码”后发出：

4 7 8 8 13 9 13 0 19 4

（K1M）mod 28 = 12 1 6 9 18 12 1 20 0 5

3 6

4 6 0 12 4 8 3 27

2 11

3 8 8 0 5 9 15 0

18 20 19 24 24 15

C= 22 24 2 9 17 19

27 7 7 10 19 10

8 18 5 8 27 4

对照表2-1可知接受者接到的密文是”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”.

(3)解密

接收者收到信息”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”后，运用事先约定的密匙矩阵K1的逆矩阵K-1解密，从密码中恢复明文，当K-1得元素出现负整数，则加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28可得解密的密匙矩阵K2 根据表2-1，反过来查表，即可得明文，解密正确。给定密匙矩阵，利用如下代码可求得问题的解:

M=[13 9 13 0 19 4;18 12 1 20 0 5;0 12 4 8 3 27; 8 0 5 9 15 0];

K1=[4 7 8 8; 12 1 6 9; 3 6 4 6;2 11 3 8];

det(K1)

C=mod(K1* M,28)

K1_inv=inv(K1)

K1_inv=round(K1_inv);

K2=mod(K1_inv,28)

M=mod(K2*C,28)

ans =

1.0000

C =

18 20 19 24 24 15

22 24 2 9 17 19

27 7 7 10 19 10

8 18 5 8 27 4 K1_inv =

-112.0000 -34.0000 371.0000 -128.0000 -105.0000 -32.0000 348.0000 -120.0000 -39.0000 -12.0000 130.0000 -45.0000 187.0000 57.0000 -620.0000 214.0000 K2 =

0 22 7 12

7 24 12 20

17 16 18 11

19 1 24 18

M =

13 9 13 0 19 4

18 12 1 20 0 5

0 12 4 8 3 27

8 0 5 9 15 0

此矩阵与原矩阵相符，解密成功。

现依照上面步骤取另一个可逆矩阵K2，来作为密匙为求出合适的密钥矩阵K2，在一个4*4阶的矩阵中，任设二元素的值为x，y，其余元素给出具体的非负整数数字，并令其行列式的值等于1或-1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取

1 x

2 y

K2 = 3 1 6 9 ,|K2|=1.

3 6

4 6

2 7

3 8

利用如下的代码可求得密钥矩阵K2行列式：

syms x y;

K=[1,x,2,y;3,1,6,9;3,6,4,6;2,7,3,8];

det_K=det(K)

运行结果：

det_K =

21*x - 23*y + 62

可知二元一次方程为21x-23y+62=1，即21x+61=23y

下面利用枚举法求一整数解，代码如下：

x=1;

while mod(21*x+61,23)~=0

x=x+1;

end

x

y=(21*x+61)/23

运行结果：

x =

19

y =

20

故密钥矩阵（发送者和接受者事先都知道的矩阵）可取为

1 19

2 20

K2= 3 1 6 9

3 6

4 6

2 7

3 8

于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以K2变成“密码”后发

出：

(K2 M)mod28= 11 9 0 16 17 13

17 27 25 9 14 11

27 7 7 10 19 10

20 26 1 12 27 12

=C

对照表5-4可知接受者收到的密文是

“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”.

3．解密

接受者收到信息“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”后，运用事先约定的密钥解密，即用

K2-1= -112 -54 -271 544

21 10 51 -102

87 42 211 -423

-23 -11 -56 112

从密文中恢复明文。由于K2-1的元素出现负整数，故把它的每一个元素加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28.即取

K= 0 2 9 12

21 10 23 10

3 1

4 1

5 25

5 17 0 0

13 9 13 0 19 4 (KC)mod 28= 18 12 1 20 0 5 =M.

0 12 4 8 3 27

8 0 5 9 15 0

以上可有以下代码实现

M=[13 9 13 0 19 4;18 12 1 20 0 5;0 12 4 8 3 27; 8 0 5 9 15 0];

K1=[1 19 2 20;3 1 6 9;3 6 4 6;2 7 3 8];

det(K1)

C=mod(K1* M,28)

K1_inv=inv(K1)

K1_inv=round(K1_inv);

K=mod(K1_inv,28)

M=mod(K2*C,28)

运行结果

ans = 1.000

C =

11 9 0 16 17 13

17 27 25 9 14 11

27 7 7 10 19 10

20 26 1 12 27 12

K1_inv =

-112 -54 -271 544

21 10 51 -102

87 42 211 -423

-23 -11 -56 112

K =

0 2 9 12

21 10 23 10

3 1

4 1

5 25

5 17 0 0

M =

13 9 13 0 19 4

18 12 1 20 0 5

0 12 4 8 3 27

8 0 5 9 15 0

根据表5-4，反过来查表，即可知得明文“mr hill made this code.”解密正确。

四．实验总结

Hill密码是基于矩阵的线性变换而设计的一种密码。Hill 密码的思想比较简单，其最大的好处是隐藏了字符的频率信息，使得传统的通过字频来破译密文的方法失效。从实验过程可以看出，利用矩阵及其运算可以方便的描述加密和解密

过程，而MATLAB的强大矩阵运算功能使得Hill密码的实现变得简单。