线性规划问题计算机解法

线性规划问题计算机解法

本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．

1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题

以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．

下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：

１设计电子表格

将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，

,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于

12

值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．

２设置规划求解参数

点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：

在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示

点击对话框中“添加”，弹出如下对话框

在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：

类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：

3 应用规划求解工具：

点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”

确定后则形成一张新的工作表：

如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．

1.6.1应用LINGO求解线性规划问题

从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。

仍以例1.5为例, 打开LINGO，点击“File”下拉菜单，选择“new”弹出对话框，在对话框中输入目标函数和约束条件，其格式是：

max=2*x1+3*x2;

x1+2x*2<=8;

4*x1<=16;

4*x2<=12;

如下图所示：

说明：每个表达式以“分号”隔开；如果目标函数是取小，则使用“min=”．

保存文件后点击LINGO弹出下拉菜单，选择“solver”或者直接点击快捷按钮即会输出计算结果报告

和解的状态报告

从上面的介绍看出，在求解线性规划问题时，Lingo 较Excel 更为人性化．但涉及到整数规划和非线性规划问题时，格式有所不同，后面将要介绍．

1.6.1应用MATLAB 求解线性规划问题

针对不同的线性规划模型，MA TLAB 优化工具箱提供不同的命令，具体分以下几种情况：

模型1

min ..0

z CX

s t AX b X =≤??≥? 其命令为 x=linprog （C ，A ，b ）

说明：向量C 为行向量；命令用于求目标函数为最小的形式．

模型2

min

0z CX

AX b AeX =be X =≤????≥?

命令为x=linprog （Ｃ，A ，b ，Ae,be ）

说明：若没有不等式约束b AX ≤存在，则令A=[ ]，b=[ ]；若没有等式约束，可用模型１中的命令，或者令Aeq=[ ], beq=[ ]．

3、模型：

min ..

0e e l u z CX

AX b s t A X =b x X x =≤????≤≤≤?

命令为x=linprog （C ，A ，b ，Ae,be, xl ，xu ）

或者 x=linprog （C ，A ，b ，Ae,be, xl ，xu, x0）

说明： 若没有等式约束, 则令A=[ ], b=[ ]；若没有等式约束，令Ae=[ ], be=[ ]；x0表示初始值．

注：以上命令可以用格式[x,fval]=linprog(…)，其含义为返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval ．

例1：用matlab 优化工具箱计算例1.5线性规划问题

解 新建M 文件如下：

C=[-2 -3];

A=[1 2; 4 0;0 4];

b=[8;16;12];

x=linprog(c,A,b)

保存文件为xxgh1.m ，点击Debug 选择run 或适用快捷键F5，运行结果为

x =

4.0000

2.0000

或者建立如下M 文件：

C=[-2 -3];

A=[1 2; 4 0;0 4];

b=[8;16;12];

Ae=[ ]; be=[ ];

xl=[0;0;0;0;0;0]; （或xl=zeros(6,1)）

xu=[ ];

[x,fval]=linprog(c,A,b,[ ],[ ],vl,[ ])

保存并运行，结果为

x =

4.0000

2.0000

fval =

-14.0000

例2

123

123123min 63412030..050

20

z x x x x x x x s t x x =++++=??≥??≤≤??≥?

解: 编写M 文件如下：

C=[6 3 4];

Ae=[1 1 1];

be=[120];

A=[0 1 0];

b=[50];

xl=[30,0,20];

xu=[ ];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Ae,be,xl,xu) 保存为xxgh2.m并运行，结果为

x =

30.0000

50.0000

40.0000

fval =

490.0000