多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1）

[选择题]

容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。

1．设有直线?

??=+--=+++031020

123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )

(A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C

2．二元函数???

??=≠+=)0,0(),(,

0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy

y x f 在点)0,0(处 ( )

(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C

3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?

??+=+=2

2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u

( ) (A)

v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v

u y

- 答：B

4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )

(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。

(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )

(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9

,91,91(2- 答：A

6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全微分的（）。

（A).充分条件（B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要答C

7．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在答B

8．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续

(C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微答C 9．若

????f

f y

x x y y x x y y =====

=00

0，则f x y (,)在(,)x y 00是（）

(A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续答D

10．设函数f x y (,)在点(,)x y 00处不连续，则f x y (,)在该点处（） (A).必无定义 (B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。答D

11．二元函数的几何图象一般是：( ) (A)

一条曲线

(B) 一个曲面 (C) 一个平面区域 (D) 一个空间区域

答 B

12．函数2

211arcsin

y x y

x z --++=的定义域为( ) (A) 空集 (B) 圆域 (C) 圆周 (D) 一个点答 C

13．设),(2

z y x f u -+=则

=??x

( ) (A) '2xf

(B) f

u x

??2 (C) )(22

22z y x f

-+?? (D) )

(22

22z y x u

-+?? 答 A

14．3

)0,0(),(lim y x xy y x +→=( )

(A) 存在且等于0。 (B) 存在且等于1。 (C) 存在且等于1- (D) 不存在。

15．指出偏导数的正确表达( )

(A) 2

,(),(lim

),('k

h b a f k b h a f b a f k h x +-++=→

(B) x

x f f x x )

0,(lim

),0('0

→= (C) y

y f y y f y f y y ?-?+=→?)

,0(),0(lim

),0('0

(D) x

x f y x f x f x x )

0,(),(lim

)0,('0

-=→

答 C

16．设)ln(),(22y x x y x f --

= （其中 0>>y x ），则=-+),(y x y x f （）.

（A ）)ln(2y x -；

（B ）)ln(y x -；（C ）)ln (ln 2

1y x -；（D ）)ln(2y x -. 答案A

17．函数)sin(),(2

y x y x f +=在点)0,0(处（）

（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限，但不连续；（D ）连续.

答案D

18．函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，则（）

（A ）函数在点0P 处一定无定义；

（B ）函数在点0P 处极限一定不存在；

（C ）函数在点0P 处可能有定义，也可能有极限；

（D ）函数在点0P 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 答案C

19．设函数),(y x u u =，),(y x v v =由方程组?

?+=+=22v u y v

u x 确定，v u ≠，则 =??x

（）（A ）v u x -；（B ）v u v

--；

（C ）v u u --；（D ）v

u xy

答案B 20．2223z y x u +++=

在点)2,1,1(0-M 处的梯度=gradu （）

（A ）)92,91,91(-；（B ）)94

,92,92(-；

（C ）)32,31,31(-；（D ）)3

,32,32(-.

答案C

21．设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则

函数),(y x f 在),(00y x 处（）

（A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小；（B ）可能有极值，也可能无极值；（C ）必有极大值；（D ）必有极小值. 答案B 22．设,xy z =则

)

0,0(x

??=( )

(A) 0 (B) 不存在 (C) 1-

答 A 。

23．设y e x y xy y z 2arctan )1()sin(-+-+=,则

)

0,1(x z

??=( ) (A) 23 (B) 2

(c)

π (D) 0 答 B 。

24．设),(22z x yf z x -=+则y

y x z z ??+??=( ) (A) x (B) y (C) z

(D) )(22z x yf - 答 A

25．设0),(=x z

x y f ,确定),(y x z z =则y

y x z x ??+??=( ) (A) z - (B) z (C) y - (D) y 答B

26．已知,cos ,tan ,t y t xe e z y x x

===-+则

=t dt dz

=( ) (A) 21 (B) 2

答D

27．设),(y x z z =由方程02=+--z

e z e

确定,则22x

??=( )

(A) 2

2---z xy e e y

(B) 2

2)2()2(------z z xy z xy e e ye e e y (C) 2222)2()2(-+--+--z z xy z xy e e y e e y

(D) 3

2222)

2()2(----+--z z xy z xy e e y e e y 答 D

28．设xy u u x f z ==),,(,则22x z

??=( )

(A) 2

222y u f x f ??+

?? (B) 2

22222y u f y y x f x f ??+???+??

222222y u f y y x f x f ??+???+??

(D) 22222u

y y x f x f ??+???+??

答 C

29．设2

,),,(y x v y x u v u f z -=+==,则y

x z

???2=( )

(A) ???

? ????+??v f u f x 222

(B) ???

? ?

???+??2

2222v f u f x

? ????-??2

2222v f u f x (D) ???

? ?

???-??2

2224v f

u f xy 答 D

30．下列做法正确的是( )

(A) .设方程2222a y x z ++=,,2,22z F x z z F z x x ='-'='代入z x x F F z '

=',得z x

z x

2='. (B) 设方程2222a y x z ++=,,2,2z F x F z x ='-='代入z x x F F z '

=',得z x

z x =

'. (C) 求22y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,2,2//()1,2,2(--=→

y x n ,1,1,1,1

2222-===?--==∴

z y x y x 切平面方程为0)1()1(2)1(2=+--+-z y x .

(D) 求8=xyz 平行于平面1=++z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,1,1//(),,(xy xz yz n =→

,1,1

11===?==∴

z y x xy xz yz 切平面方程为0)1()1()1(=-+-+-z y x 答 B

31．设),,(z y x M 为平面1=++z y x 上的点,且该点到两定点)1,0,2(),1,0,1(的距离平方之和

为最小,则此点的坐标为( )

(A) )21

,21,1( (B) )21

,21,1(-

,21,1(--

(D) )2

1,21,1(-

答 B

32．若函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则在该点（）

(A)

???f

x f 与一定存在。 (B)

x f ????与一定连续。 (C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。 (D) 函数不一定连续。答A 章纪

33．在矩形域δδ<-<-00,:y y x x D 内，0),(,0),(≡≡y x f y x f y x 是C y x f =),(（常数）的（）

(A)必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件答C

34．若函数),(),,(),,,(t s y t s x y x t f u ψ?===均具有一阶连续偏导数，则

=??t

( ) (A)2322ψ?''+''f f ( B)23221ψ?''+''+'f f f (C)22

ψ?'+'f f (D)22ψ?'+'+f f f 答B

35．设函数)(),(t t ψ?具有二阶连续导数，则函数)()(y x y x z -++=ψ?满足关系（）

(A)02=???y x z (B) 0222=??+???x

y x z

x z

答D

36．二元函数221y x z +-

=的极大值点是

(A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0) 答D 37．直线

z y x =-=+222

与???=++=++0

2012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 异面

答：B

38．曲面2132222=++z y x 的与平面064=++z y x 平行的切平面方程是( )

(A) 2

64±

=++z y x (B) 2164=++z y x (C) 2164-=++z y x (D) 2164±=++z y x 答：D

39．下列结论中错误的是( ) (A) 0lim

0=+=→y x xy

kx y x (B) 0111lim lim

0000=+

=+→→→→x

y y x xy y x y x (C) 1lim

-=+-=→y x xy x

x y x 。 (D) y x xy

y x +→→0

0lim 不存在。

答：B

40．已知),(y x f 二阶连续可导，),(xy x f z =，记xy v =，则下列结论中正确的是( )

(A) v x f

y x f x z ???+??=??22222。

(B) v x f

y x f x z ???+??=??22

2222

2222222v

f y v x f y x f x z ??+???+??=?? 答：D

41．设函数??

??=≠+==)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x y

x y x f z ，又t y t x ==,，则下列结论中正

确的是( )

(A) 0)0,0(=df 。 (B) 00==t dz 。 (C) 2

10==t dz 。 (D) dt dz t 2

10=

=。

答：D

42．设f x y xy

x y x y x y (,),(,)(,),(,)(,),=+≠=???

??3000

0022

则在原点处（） (A).偏导数不存在，也不连续 (B).偏导数存在但不连续

(C).偏导数存在且可微 (D).偏导数不存在也不可微答:(B)

43．设f x y x y xy

xy x

xy (,)sin(),,=≠=?????20

0则'=f (,)01（） (A). 0 (B). 1 (C). 2 (D).不存在

答：(B)

44．设f x y x y

(,)ln(),=+2则'f y (,)10=（） (A). 1 (B). 1

(C). 2 (D). 0

答： (B)

45．设f x y y

x (,)()=-13则??f

x =（） (A).2)

y ?- (B). ()

()ln 1332--

(C). ()ln 1332-?y

x y x

(D). ---y x y

()

答：(B)

46．设z y xy y x e

=+-+-sin ()arctan 12，则

??z x

(,)

10=（）

(A). 3/2 (B). 1/2 (C).π/4 (D).0

答：(B)

47．设方程y F x y F x y =+++()()22

确定隐含数y f x =()（其中F 可微），且

f F F (),(),()0221

241='='=,则'=f ()0( ) (A). 1/7 (B).71- (C).4

1- (D).31

答：（B)

48．曲面xyz =1上平行于平面x y z +++=30的切平面方程是（） (A).x y z ++-=30 (B).x y z ++-=20

(C).x y z ++-=10 (D).x y z ++=0 答：(A)

49．二元实值函数z x y =-2在区域D x y R y x =∈≤≤-{(,)}201上的最小值为（）

(A). 0 (B). 1- (C). 2- (D). 3- 答：(C)

50．平面23x y z +-=λ是曲面z x y =+2322在点（1/2，1/2，1/2）处的切平面，则 λ的值是（）。

(A).4/5 (B). 5/4 (C)2 (D).1/2 答：(C) 51．已知曲面x y z a a ++=>,()0，在其上任意点(,,)x y z 000处的切平面方程

为

12121

2000000

0x x x y y y z z z ()()()-+-+-=，则切平面在三坐轴走上的截距之和为（）

(A)a (B). 3a (C).a (D). 3a 答：(C)

52．指出2

22),(y x xy

y x f +=

与不相同的函数( )

(A)

21),(y

x y x y x y x f +-=-+ (B) 0

,00

,),(222222222=+≠++-???=-+y x y x y x y x y x y x f

23),(v u v u v u v u f +-=-+

(D) 2

2242222),(v

uv u uv

u v u u f +--=- 答 B

53．指出错误的结论：( )

(A) 按等价无穷小的替换原则，有0lim )sin(lim 222

20,22220,=++=++→→y

x y x y x y x y x y x (B) 按无穷大量与无穷小量的关系，有01

lim lim

0,0,=+=+→→x

y y x xy y x y x ，

因当0,→y x 时，

∞→y

x 1

,1。 (C) 按变量代换的方法，有1)1(lim 1lim 1

,0,=+=-+→→t y x y x y x t e e y

x ，

此处1-=y

e e t 。

(D) 按根式有理化方法，有2

111lim 11lim

0,0,=-+=--→→xy xy xy y x y x 。

答 B

54．以下各点都是想说明),(lim 0

,y x f y x →不存在的，试问其理由是否正确？( )

(A) 对y

x xy

y x f +=

),(，理由是x y -=时函数无定义。 (B) 对,,0,),(???

??-=-≠+=x

y x y y x xy

y x f 理由是令2x y =或x x -2将得到不同的极限值1,0-。

,00

,),(?????=≠=x x x

y x f 理由是令x y -=1，即知极限不存在。 (D) 对,0,00

,1sin 1sin ),(??

???

=≠+=xy xy x

y y x y x f 理由是当0→x 或0→y 时极限已经不存在，故二重极限更不可能存在了。答 B

55．在具备可微性的条件下，等式 ,)(dv du v u d +=+ ,)(du u d λλ=

,)(vdu udv uv d += )(1

)(2

udv vdu v v u

d -=的成立，对v u ,还有什麽限制？( )

(A) 没什麽限制（除v 作分母时不为 0）。 (B) v u , 只能是自变量。

56．对二元函数而言，指出下列结论中的错误。( ) (A) 两个偏导数连续?任一方向导数存在。 (B) 可微?任一方向导数存在。 (C) 可微?连续。

(D) 任一方向导数存在?函数连续。

答 D

57．设0),,(=z y x F 满足隐函数定理的条件，问

z y y x ????????如何？( ) (A) 该式=

1=??????????x

z y z

y x

(B) 该式1)()()(-=????-=-?-?-=z

y x x z y z x y z

x y

F F F F F F F F F F F F

x ,则为自变量，于是

0=??y

，故所给表达式为0。 (D) 仿(C)不妨设由0),,(=z y x F 确定z 为y x ,的函数,因

??无意义,故所给表达式无意义。答 B

58．设?

?==0),,(0

),,(z y x G z y x F ，试求对x 的导数。( )

(A) 由第一个方程两边对x 求导，得0=?+x z x z F F ，故z

x F F z -

=。 (B) 由第二个方程两边对x 求导，同理得z

x G G z -

=。 (C) 由两个方程消去y 得0),(=z x H ，再对x 求导，得0'=?+z H H z x 故z

H H z -

='. (D) 视z y ,为x 的函数，在方程组两边对x 求导，得???=?+?+=?+?+0''0

''z G y G G z F y F F z y x

z y x ，故解出

z z y x y y x G F G F G F G F z --=

'。

答 D

59．设),(t x f y =，则由0),,(=t y x F 两边对x 求导的结果为：( )

(A) 0''=?+?+t F y F F t y x ,其中dx

dt t dx dy y ==

','。 (B) 0)'('=?+?+?+y t t F y F F y x t y x 。

(D) 0)'()(=?+?+?+?+y t t F t f f F F y x t x t x y x 。

答 A 60．=+-+∞

→∞→22lim

y xy x y

x y x （）

（A ）1；（B ）0；（C ）1-；（D ）不存在.

答案：（B ）

61．设函数???

??=≠+=)

0,0(),(,0)0,0(),(,),(422

y x y x y x xy y x f ，则（）

（A ）极限),(lim 00

y x f y x →→存在，但),(y x f 在点)0,0(处不连续；

（B ）极限),(lim 00y x f y x →→存在，且),(y x f 在点)0,0(处连续；（C ）极限),(lim 0

0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在点)0,0(处不连续；（D ）极限),(lim 0

0y x f y x →→不存在，但),(y x f 在点)0,0(处连续.

答案：（C ）

62．设M m ,分别为函数),(y x f z =在区域D 上的最小值和最大值，且M m ≤≤μ，则（）

（A ）函数),(y x f z =在定义域D 内一定有点),(y x P ，使满足：μ=)(P f ；（B ）当D 为闭区域，),(y x f 为连续函数时，则在D 上至少有一点),(y x P ，使 μ=)(P f ；

（C ）当D 为有界区域，),(y x f 为连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f ；

（D ）当D 为连通区域，),(y x f 为D 上的连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f . 答案：（D ）

63．函数),(y x f 在点),(00y x 偏导数存在是),(y x f 在该点连续的（）

（A ）充分条件但不是必要条件；（B ）必要条件但不是充分条件；（C ）充分必要条件；

（D ）既不是充分条件也不是必要条件. 答案：（D ）

64．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处满足关系（）

（A ）可微（指全微分存在）?可导（指偏导数存在）?连续；（B ）可微?可导?连续；

（C ）可微?可导，或可微?连续，但可导不一定连续；（D ）可导?连续，但可导不一定可微. 答案：（C ） 65．若

0=??==y y x x x

f ，

0=??==y y x x y

f ，则),(y x f 在),(00y x 是（）

（A ）连续且可微；（B ）连续但不一定可微；（C ）可微但不一定连续；（D ）不一定可微也不一定连续. 答案：（D ）

66．设??

??=≠=,0,,0,)

sin(),(2xy x xy xy

y x y x f 则=)1,0(x f （）（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）不存在. 答案：（B ）

67．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是),(y x f

在该点连续的（）（A ）充分条件而非必要条件；（B ）必要条件而非充分条件；（C ）充分必要条件；

（D ）既非充分条件又非必要条件. 答案：（D ） 68．已知

)

()(y x ydy

dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （）（A ）1-；（B ）0；（C ）1；（D ）2. 答案：（D ）

69．下列命题中正确的是( ) (A)),(lim lim 0

0y x f y y x x →→与

),(lim )

,(),(00y x f y x y x →等价

(B) 函数在点),(00y x 连续,则极限),(lim

)

,(),(00y x f y x y x →必定存在.

(C)

p x

??与

p y

f ??都存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续

(D)),(y x f 在0p 点沿任何方向→

u 的方向导数存在,则),(y x f 在点),(00y x 必连续答 B

70．如),(y x f 在点),(00y x 不可微, 则一定不成立的是( ) (A)),(y x f 在0p 点不连续

(B)),(y x f 在0p 点沿任何方向→

u 的方向导数不存在

(C)),(y x f 在0p 点两个偏导数都存在且连续

(D)),(y x f 在0p 点两个偏导数存在且至少有一个不连续答 C

71．下列条件中 ( ) 成立时, ),(y x f 在),(00y x 点必有全微分0=df (A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

x y x f ?+???=

(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

222)sin(y

x y x f ?+??+?=

(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

sin )(y x y x f ?+??+?=?

答 D

72．下列结论中正确的是( )

(A) 设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===,如ψ?,在点),(00y x 存在偏导,f 在点 ),(00v u 存在偏导,则

y v y u x v x u v f u f y

v f u f x z ''+''=??''+''=??,一定成立.

(B) yx xy f f ,只要存在,必有yx xy f f = (C) 偏导数只要存在必定连续 (D) 初等函数在有定义的点必定连续答 D

73．设xy y x f =

),(,则在)0,0(点( )

(A) 连续,但偏导数不存在. (B) 偏导数存在,但不可微 (C) 可微

(D) 偏导数连续,但不可微答 B

74．???

??=≠+=0

),(0

)0,0(),(2),(4

22y x y x y x xy y x f , 则在)0,0(点( )

(A) 不连续,偏导数存在且可微 (B) 连续,偏导数存在,但不可微

v 的方向导数存在,且可微

(D) 不连续,但沿任何方向)sin ,(cos ?θ=→

v 的方向导数存在,并且不可微答 D

75．设),(y x f z =在(1,1)点可微,,)

1,1(,)1,1(,

1)1,1(b y f a x f f =??=??=又有 ))),,(,(,()(x x f x f x f x =?则==1

)(x x dx

d ?( )

(A) )(232b ab ab a +++. (B) 3

b ab ab a +++ (C) 32a ab a ++ (D) 3

a a

b ab a +++ 答 A

76．下列极限中存在的是( ) (A) y

x y

x y x +-→→)1(lim

(B) 2

420

0lim y x y

x y x +→→

220

0lim y x y

x y x +→→

(D) 2

0lim

x xy

y x +→→ 答 C

77．设),1,1,0(,1ln ),,(0=-++=→

x e

y z xy z y x xz

?有0)1,1,0(=?,下列结论中正确的是

多元函数微分学复习题

多元函数微分学补充题 1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y ??+=??，设1111u x v y x z x ?? ?=? ?=-?? ?=- ?? ，对函数(,)u v ??=，求证 0u ? ?=?。 2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z '''==，证明u 仅为r 的函数，其中r = 3.设)(2 2 y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x u x y u x u +=+??-??+??，试求函数u 的表达式。 4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '= ，又 u f =满足0222222=??+??+??z u y u x u ，试求)(r f 的表达式。 5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足 02=???y x f ，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r = ，其中r =),(y x f 。 6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且 )(2223xyz f z y x z y x u '''=????，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23 2 22222)(y x y u x u +=??+??，试求函数f 的表达式. 8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ?=-，其中(,)x y ?在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0?=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得 ||||PQ PM +最小. 10.过椭圆13232 2 =++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值. 11.从已知ABC ?的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置. 12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且 )()(2 2 2 2 y x f y x z ++=满足02222=??+??y z x z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值. 13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数2 22),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向 j i l -=的方向导数最大. 14.设向量j i v j i u 34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有 6-=??p u f ,17=??p v f ,求p df . 15.设函数),(y x z z =由方程)(2 z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算 y z y x z x ??+??并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且 0≠??y f ,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xx y f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章多元函数微分学习题课一疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

(整理)多元函数微分习题

第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微分学习题

答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

多元函数微分学习题

6 ．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全第五部分多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于。 (B) 在上答：C (D) 与斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )

第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。（2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时 § 1 可微性一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微分学习题

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时， =??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

(C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92 ,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要答C 7．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在答B 8．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微答C

多元函数微分习题

多元函数微分学 1．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 2．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 3．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 4．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要答C 5．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在答B 6．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微答C

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。（2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。答：（） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续。答：（）三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第二节作业一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设答：（）三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足第三节作业一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。答：（）

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ）（A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

多元函数微分学习题

多元函数微分学复习题

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十七章多元函数微分学习题课

(整理)多元函数微分习题

多元函数微分学习题

多元函数微分学知识点梳理

多元函数微分学习题

第七章 多元函数的微分学

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元函数微分学习题

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

多元函数微分学练习题

多元函数微分学习题

多元函数微分学习题

多元函数微分习题

最新多元函数微分法及其应用习题及答案

多元函数微分学习题课

(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

多元函数微分学复习题及标准答案

第七章多元函数的微分学