ch8多元函数微分学习题课——知识总结

第八章 多元函数微分学 习题课知识总结

知识总结

知识总结

平面点集

和区域

多元连续函数

的性质

知识总结

多元函数的定义、极限与连续

（详细分析）

1.区域

设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于

δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，（1）邻域

),(0δP U {}

δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x ?0

P δ

（3）n

维空间

（2）区域

连通的开集称为区域或开区域．

2.多元函数概念()()()(){}

()(){}()。上）的图形（或图像）（在

为函数中的子集

的值域，并且称称为函数的定义域，称为函数称为因变量，

称为自变量，其中或值）函数，记作元（实

上的一个称为定义在的任一映射到实数集的一个非空子集，从是设D x f y D x x f y y x x x R f D x x f D f f D y x x x D

x x x x f x f y R

R D f n D f R

D R D n n n n n n

=∈=∈=∈==→?+,,,,,,,,,,,,:2112121 定义

3.多元函数的极限

定义 设函数),(y x f z =的定义域为),(,000y x P D 是其内点或边界点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-+-=<20200)()(||0y y x x PP 的一

切点，都有ε<-|),(|A y x f 成立，则称A 为函数),(y x f z =当0x x →，0y y →时的极限， 记为 A y x f y y x x =→→),(lim 0

（或)0(),(→→ρA y x f 这里||0PP =ρ）.

说明：

（1）定义中 的方式是任意的；

0P P →（2）二元函数的极限也叫二重极限);

,(lim 0

0y x f y y x x →→（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4.极限的运算

).

0()()()3(;

)()()2(;)()()1(,)(,)(0≠→?→?±→±→→→B B A P g P f B A P g P f B A P g P f B P f A P f P P 则

时，设

5.多元函数的连续性

定义 设函数),(y x f 的定义域为点集)(,0,00y x P D 是D 的内点或边界点且D P ∈0，如果)()(lim 00

P f P f P P =→则称函数),(y x f 在点0P 处连续.

如果),(y x f 在点),(000y x P 处不连续，则称

0P 是函数),(y x f 的间断点.

6.闭区域上连续函数的性质

（1）有界性定理

有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．

（2）最大值和最小值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值．

（3）介值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．

知识总结

多元函数的偏导数与全微分

（详细分析）

7.偏导数概念

同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数， 为

y

y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000 记为00y y x x y z ==??，00y y x x y f ==??，00y y x x y z ==或),(00y x f y .00y y x x x z ==??，00y y x x x f ==??，00y y x x x z ==或),(00y x f x .

8. 高阶偏导数

),,(22y x f x z x z x xx =??=??? ??????),,(22

y x f y z y z y yy =??=??? ??????),,(2y x f y x z x z y xy =???=??? ??????).,(2y x f x y z y z x yx =???=??? ??????函数),(y x f z =的二阶偏导数为

纯偏导混合偏导

定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

(,)(,),z f x y x y x =设函数在处偏导数存在函数对的相对改变量

()()()y x f y x f y x x f z z x ,,,-?+=?之比的相对改变量与自变量x x x ?x

x

z z

x ??().

,两点间的弹性到从对称为函数x x x x y x f ?+９. 偏导数在经济上的应用:交叉弹性

即0lim .x x z Ez z x z x Ex x z x ?→??==???,

0时当→?x x

x z z x ??()()记作的弹性处对在的极限称为,,,x y x y x f ,Ez Ex

0lim .y y z

Ez z y z y Ey y z y ?→??==???(,)(,)f x y x y y 类似地可定义在处对的弹性(),,,

,,,.z f x y z Ez x y Ex Ez Ey =特别地如果中表示需求量表示价格表示消费者收入则表示需求对价格的弹性表示需求对收入的弹性