为热力学建筑确定合适的模型

为热力学建筑确定合适的模型

摘要：本篇论文介绍了为热力学建筑确定合适的模型的过程。这个过程对于确定模型而言是十分必要的，这有利于更好的使用智能仪表，未来几年这些智能仪表会被安装在几乎全部的建筑上。而且这个模型有许多用途，例如，控制室内气候，预测能源消耗，以及对于建筑物的能源性能的准确描述。灰箱模型基于先前的物理学知识，并且应用了数据驱动建模，这帮助我们得以了解建筑物的物理特性。日益复杂的层次结构模型由先前的物理学知识论述，并且提出了一个正向的选择策略，以此来使分析人员反复地在日益复杂的模型中筛选出合适的模型。分析人员使用概度比检定来比较不同模型的性能，并且使用适当的数据和物理解释这两者结合的方式来验证结果。在对一个单层120平方米的建筑分析之后，分析人员找到了一个合适的模型来描述个案分析。成果是对一系列日益复杂的不同模型，以及建筑物特征，例如导热性，不同部位的热容，和窗口区域进行了预估。

关键词：连续时间模型；概度比检定；灰箱模型；热力学；热动力学；建筑物；模型选择；集总模型；参数估计

1.简介

本篇论文描述了一种新方法来获得关于建筑热动力学的信息，这种方法基于对热量消耗，室内温度，和其他气候变量的频繁的测取。这种方法被认为极其重要，是更好的使用智能仪表的关键性步骤，未来几年这些智能仪表会被安装在几乎全部的建筑上。这种方法是基于为热动力学建筑选择一个合适模型的过程。Rabl [12]给出了一种关于分析稳态和动态的建筑能源使用的技术的观点，后来涉及到关于建筑热动力系统的建模。这种动态模型可以由一系列不同的等式（由Sonderegger [13]和Boyer et al. [4]实施）来实现。在动态模型中参数估计作为系统识别被认知，并且一项关于建筑物的不同方法在Ref. [3]中被发现。该方法采用的模型是灰箱模型，它由一系列连续时间随机微分方程和一系列分离时间测量方程组成。灰箱模型可以被很好地证明是一个复杂却又精确的方法来模拟动态系统，因此可以得到关于建筑物热力性质的信息（见[8,1,5]）。确定一个合适模型的问题在于找到一个符合物理现实的模型，并且这个模型具有与数据信息水平相符的复杂度，这意味着这个模型应该既不低于标准，又不能高于标准。大多数合适的模型通过一系列日益复杂的模型来确定。一项正向的策略已经被实施，所以分析人员由最简单易行的模型开始建模，并且反复选择日益复杂的模型。在每次迭代中，不同的模型通过概度比检定来比较，并且分析模型的性能。筛选程序直到模型没有明显的进步为止。通过Refs. [11,10]来对可能的理论和模型选择进行深入的评估。分析

人员通过为一个单层120平米的建筑物确定合适的模型来展示这个过程。这个建筑是实验性的能源分布系统的一部分，这个系统实验室在丹麦，它的外部由木头建造，内部由石膏板建成，在它们之间是一层保温棉。使用的数据来自持续6天的一系列建筑能源性能的实验，这个实验在2009年冬天被实施，其在Ref. [2]中被详细描述。

本篇论文的其余部分如下所述。采用的灰箱模型建模技术在第二部分被描述，模型选择的统计检验在第三部分被描述，为确定合适的模型所提出的程序在第四部分简述。接下来部分是个案分析，这将用到前述的程序，它以建筑物和数据的描述为开头，接下来是采用的模型和筛选方法的简述，以结果的讨论为结尾。最后在第六部分给出了一个关于应用程序的观点，结论在第七部分给出。

2. 动力系统的灰箱模型

灰箱模型基于先前的物理学知识，并且采用了统计学，也就是数据中的信息。先前的物理学知识由一系列一阶随机微分方程论述，也称作连续时间随机线性状态空间模型。这个等式描述了建筑物热动力系统的集总模型，它强调了参数的物理解释是基于建筑物在模型中是如何被划分为实体的。

一个可行的模型例子如下。它有两个状态变量，其中一个用来描述内部温度T i ,另一个代表建筑物围护结构的温度T e 。由随机微分方程代表一阶动态，

111()i e i h w s i i ie i i i

dT T T dt dt A dt dw R C C C φφσ-=

+++ (1) e 11()()R e i e a e e e ie e a e dT T T dt T T dt dw R C C σ--=++ (2)

其中t 代表时间，ie R 代表建筑物内部和外围之间的热阻，e R a 代表建筑物外围与周围空气的热阻，i C 代表建筑物内部热容，e C 代表建筑物外围热容，h φ是从供热系统流出的能量，w A 是有效窗口区域，s φ是从日光照射中得到的能量，a T 是周围空气的温度，{i w ，t}

和{e w ，t}代表标准维纳过程，2i σ和2e σ代表维纳过程的增量变化。这个模型可以由图一中

的RC 网络所表示，在图一中这个模型被分成不同的部分，以此来说明建筑物的相应部分。

图1

物理模型部分与数据驱动模型部分一起和可观测数据中的信息被用于参数估计。数据驱动部分在可能的模型中用离散时间测量方程表示：

k ik k Y T e =+ （3）

其中k 是一次测量中的时间k t 的一个点，k Y 是测量的内部温度，k e 是测量误差，它被认为是带有变量2

σ的高斯白噪声过程。这种假设确保了模型的评估和模型的测试性能，因为这种假设一旦成立，这将意味着物理模型与所受观察的建筑物的热动力学系统一致。 参数的最大估计 给出一个上述的灰箱模型，可以得到参数的最大估计。观测结果可由以下式子表示， 110[,,...,,]N N N y Y Y Y Y -= (4)

然后得到可能的方程是联合密度方程：

101(;)(,)()||N N K k K L y P Y y P Y θθθ-=??= ???

∏ (5) 其中1(,)|K k P Y y θ-是一个条件密度，它用来指示在考虑到先前的观测结果和参数θ时的观测k Y 的可能性，0|()P Y θ是起始条件的参数化。最大可能参数估计由以下公式得到： ?max{;arg ()}N L Y θ

θθ

= (6) 由于之前提到的关于噪声过程的假设和模型是线性的事实，于是出现了这样的结果：在Eq.(6)中的条件密度是高斯密度。因为这里的条件密度是高斯密度，所以卡尔曼过滤器可以用于计算似然函数，并且可以应用优化算法来将它最大化，然后计算出最大的似然估计（在

[7]中有详细的论述）。这些被应用于计算机软件CTSM ，这款软件已经被用于计算参数估计（在Ref.[6]中有关于这款软件的更多内容）。

3. 模型筛选的统计检验

统计检验可以被用到选择最合适的模型，如果一个模型是更大的模型的子模型，那么一种可能性检测将决定这个更大的模型是否能够表现得比子模型更出色。可以发展一系列筛选最佳模型的策略测试。

3.1概度比检测

使一个模型有0θ∈Ω这个参数，其中0r

R Ω∈是参数空间，0dim()r =Ω在模型中是参数的数量。使一个模型有θ∈Ω这个参数，其中m R Ω∈，dim()m Ω=，并且假定 0Ω?Ω （7）

也就是第一个模型是第二个模型的子模型，而且r m <。

概度比检测公式为：

0()(sup ;()sup ;)

N N N L y y L y θθθλθ∈Ω∈Ω= (8) 其中N y 是观测值，可以被用于检测假设：

00:H θ∈Ω vs. 0:Ha θ∈ΩΩ? (9)

因为在0H 的统计监测量2log(())N y λ-收敛到自由度为（m-r ）的随机变量2

x 的情况下，N y 的样本数量趋于无穷。如果0H 不成立，那么更大的模型的可能性比子模型的可能性要明显大一些，并且可以得到结论N y 在更大的模型中更具观察价值。所以更大的模型比子模型更能描述隐藏在数据中的信息。更多详细内容见Ref. [10]。

3.2预选

在预选程序中，分析人员从一个最小的、可行的模型开始，然后依次用给定值最低的部分拓展模型，也就是说，这是最重要的改进。可能改进的模型是在每次迭代中选择出来的对当前模型而言需要最小拓展的那个。当模型没有改进的必要时程序停止，除非假定值低于预先规定的限定值，通常设定为5%。

4. 模型筛选程序

筛选合适模型的不同策略在文献中给出，并且发现了一种合适的策略，这种策略基于具体的建模设置。一种纯粹的算法和详细的选择的程序很难做到合适，所以分析人员在筛选中一定程度上涉及到的迭代法被广泛应用。在这，一种预选程序被提出来，它被用来确定一种基于概度比检测的合适的热动力系统模型，这种程序在3.1中被详细介绍。

4.1模型选择

Ω和

这个程序开始于一个关于最简可行性模型的设想，它有参数空间m

Ω的完整模型，

一个具有参数空间full

Ω?Ω（10）

m full

在这个范围内可以建立一组模型，并且能够确定一个合适的模型。这个合适的模型是最精简的模型，它足以描述隐藏在数据[10]中的信息。这种选择源于最简单的模型并且这种模型的拓展是迭代增加的。当被选定的模型不需要再改进时，程序会停止，并且给出一个高于预先设定的限制值的假定值，这个模型更适合于观测数据。上述提到的纯粹的算法程序是不可能做到这一点的，所以分析人员必须在每次迭代中评估预计的模型，评估的内容主要是分析残差的属性和参数估计。如果某些属性不符合设想和物理事实，分析人员可能会不得不影响模型的选择。在图2中列出了具体的程序，每一个步骤的主要内容是模型拟合：从当前模型拓展得到的模型依靠参数的最大似然估计而适合数据。

图2

似然比测试：把现有的模型与每一个扩展模型进行比较，然后计算出似然比检验的统计数据。如果没有一个测试中的假定值低于5%，那么停止计算并且使用当前的模型作为最终模型，若不是则选择拓展后的具有最低假定值的模型。

估计：分析人员估计被选择的、拓展后的模型。如果结果是令人满意的，那么继续使用这个模型并且下一次迭代可以开始；如果结果不是令人满意的，那么重复之前的步骤来选择其他的拓展。

如果两个扩展显示出几乎相同的改进，也就是说，测试中的假定值几乎相等，那么这种选择模式可以被拓展，并且分别检验不同部分的拓展的内容。程序将会进行到几个模型无法相互由于对方为止，这时需要分析人员来决定哪一个更加优秀。这需要由比较可能性来完成，如果两个模型具有相同的可能性，那么应首选小一些的模型，并且还需考虑残差检验和模型估计。也可能发生这样的情况，几个模型这有性能上的边际差异，那么这几个模型都可以被认定是有效的模型。

4.2模型评价

被选取的模型在每一个步骤中必须被评估。这有助于检验模型是否满足假设和是否能够从一个物理的观点给出合理的评价。并且这种评价可以通过发现模型的哪些部分应该更加完善来揭示模型的缺点。这种评价应该包括以下几个方面：

-关于白噪声残差的假定应当使用自相关函数和累计周期图来得到，这样也可以揭示如何更好的在不同时间尺度上的动力学建模。

-关于输入量，输出量，残差的统计图。这些统计图可以用于了解模型没有描述好哪些效果。-关于估计的物理参数的评价。很明显，不同模型之间的结果应该是一致的，举例来说，在众多模型中关于建筑物外围结构热阻的估计不应该有很明显的改变。

5.案例分析：建筑物的模型识别

分析人员通过将一种方法应用于为一个建筑物确定合适的模型来演示这种方法。这个建筑物叫做FlexHouse，它是位于丹麦国家实验室的实验性能源系统Syslab的一部分。这座建筑物很适合这类实验，因为它有一个可控的电加热系统。五分钟的检测结果甚至比六天的检测值更具价值，并且这些检测结果将被用于实验的描述，而且实验数据已经给出来了。这一部分开始于对建筑物和测量设备的描述，然后给出了考虑的模型的概述并且提供了数据，最后给出了模型识别和评价。

5.1建筑物和测量设备的描述

建筑物的外部由木头建造，内部由石膏板建成，在它们之间是一层保温棉。在图3中我们可以看到北立面和南立面的样子。这些建筑物是成群的，在地面和建筑物之间有一间隙。房顶是平的并且由油毡纸覆盖。建筑物的平面图的规模大约是16米的7.5倍。在图4中给出了建筑物的平面图。在建筑物内安装了服务系统，它可以控制电加热器，它位于建筑物平面图指示的位置。为了测量室内温度，位于一小块木头上的Hobo U12-012温度/湿度/亮度/外部传感器被悬挂在每个房间的中央。一个小型气候站坐落在建筑物东边两米的地方，其相对于建筑物的位置在图4中给出。

图3

图4

5.2数据

目前的研究是基于在2009年2月到四月进行的一系列实验收集到的数据。接下来用到了由五分钟平均值组成的时间序列：

y (0C)代表室内温度的一个单信号。它由来自Hobo传感器测量的室内温度的最重要的测量结果形成。

Ta (0C)在气候站观测的周围环境的温度。

φ建筑物电加热器的全部的热量输入。

()

h KW

2

φ气候站测量的全球辐照度。

(/)

s KW m

图5是时间序列图。可控热量输入是一个伪随机二进制序列（PRBS），它有白噪声特性并且与其他输入量没有关联。它被设计成用来在若干范围的频率下激发热动力学，这个频率是建筑物的时间常数预计要成为的，如此数据中隐藏的信息被用来优化建筑物热动力属性的估计

（见Ref.[9]）。

图5

5.3应用模型

建议的程序是这样的，分析人员从一个最简单的模型开始并且迭代选择更加复杂的模型。这意味着从最简单的模型开始拟合一组模型，到最复杂的可行模型，也就是完整的模型。在这部分描述了一组应用模型和迭代选择程序的结果。所有的模型是灰箱模型（在第二部分有详细介绍），其中物理部分是随机线性状态空间模型并且模型的动态情况可以写成： dT ATdt BUdt dw =++ （11）

其中T 是状态矢量，U 是输入矢量，并且没有状态变量或者输入变量是在A 或B 中，其只由参数组成。所有可能的模型都有一输入矢量，这个输入矢量带有个带有三个输入量： ,,[]a s h T U T φφ= （12）

所有的模型是集总的，但是各有一个不同的结构，这意味着一个给定的参数不必代表着相同的物理实体。例如，参数i C 代表在最简单的模型中建筑物的热容量，然而这个热容量在整个模型中被分成了五个热容量，其中参数i C 代表室内空气的热容量。这在5.5.2中被更加详细地描述，并且给出了模型的参数估计。并且应当牢记于心的是这些模型真正的系统的线性

近似。

在接下来的部分描述了完整的最简的模型，因为它们代表了应用模型的范围。首先完整的模型概括的给出了全部的个体部分的完整的观点，这些个体部分全部都在模型中。然后给出了最简单的模型，因为它是第一个应用于选择程序的模型并且它描述了模型是如何被集总的。每个模型由它的状态矢量命名，并且还需要几个参数名称。见附录A可得全部应用模型相应的阻容网络的列表。

5.3.1.完整的模型

最复杂的完整的应用模型的阻容网络，在图6中被描述。这个模型包括建筑物所有的个体部分，并且分析人员发现它对于将线性模型和当前的可用数据包括在内是可行的。这些模型个体部分如图中所示。

图6

这些模型部分是：

T:室内热介质的温度，也就是室内墙壁和设备的温度；

m

T：加热器的温度；

h

T：建筑物外围的温度。

e

模型的参数代表建筑物不同的热特性，包括热阻：

R：室内与传感器之间的热阻；

is

R：室内与室内热介质之间的热阻；

im

R：加热器与室内之间的热阻；

ih

R：室内与环境之间的热阻；

ia

R：室内与建筑物外围之间的热阻；

ie

R a：建筑物外围与环境之间的热阻。

e

建筑物不同部分的热容由以下字符表示：

C：温度传感器的热容；

s

C：室内的热容；

i

C：室内墙壁和设备的热容；

m

C：电加热器的热容；

h

C：建筑物外围的热容。

e

最后还包括了两个系数，每个代表着对来自日光照射的能量进入建筑物的有效区域的估计。它们是：

A：建筑物的有效窗口区域；

w

A：日光照射进入建筑物外围的有效区域。

e

描述整个模型热量流动的随机微分方程是：

1()s i s s s is s

dT T T dt d R C σω=

-+ （13） 111()()()i s i m i h i is i im i ih i

dT T T T T dt T T R C R C R C =-+-+- （14） 11()()e i a i i i ie i ia i

T T dt T T dt d R C R C σω-+-+ （15） 1()m i m m m im m

dT T T dt d R C σω=-+ (16) 11()h i h h h ih h h

dT T T dt d R C C σω=-+ (17) e 111()()R e i e a e e s e e ie e a e e dT T T dt T T dt A dt d R C C C φσω=-+-++ (18) 测量方程是：

,k s k k Y T e =+ （19）

因为观测的温度有一些测量上的误差。

5.3.2.最简模型Ti

经过考虑的最简模型在图7中用阻容网络说明。

图7

这个模型有一个状态变量Ti 和下面的一些参数：

ia R ：室内与环境之间的热阻；

i C ：整个建筑物的热容，包括室内空气，室内墙壁，设备等，和建筑外围；

w A ：建筑物的有效窗口区域。

描述热量流动的随机微分方程是：

111()i i a i w s h i ia i i i dT dw T T A dt R C C C dt

φφσ=-+++ （20） 并且测量方程是：

,k i k k Y T e =+ （21）

注意在表示建筑物的部分方面，最简模型与完整模型的区别，也就是说，ia R 在最简模型中表示建筑物外围的热阻，而在完整模型中由ia R ，ie R ，e R a 联合表示。

5.4模型辨识

辨识程序是用来在一组从Ti到TiTmTeTeThTsAeRia的模型中寻找一个有效的模型。每个模型的合适的似然函数，通过迭代的模型选择列在表1中。这个程序从最简单的模型开始。然后在第一次迭代中，对四个拓展后的模型进行拟合并且选择了TiTh，因为它有最高对数似然和似然比测试的最低假定值（四个模型具有相同的参数）。筛选程序进行到模型没有明显的拓展空间为止，这通常在第五次迭代时出现。在每次迭代中都评估来当前的模型（见5.5）。研究人员发现在每次迭代中被选择的模型都满足关于改进的结果的评估。在表2中列出了每次迭代中关于模型拓展的似然比测试的结果。显然在前三次迭代中模型的拓展对于模型有很大的提高。在第四次迭代中，提高的效果仍然低于5%，而在第五次迭代中没有任何提高。所以程序以TiTeThTsAe作为可靠的模型而结束，这个模型在图8中用阻抗网络描述。

图8

5.5模型评估

在下文中经选择的模型被评估，正如在4.2中概括的那样。

5.5.1残差

在图9中可见每个模型的输入量，输出量，残差的平面图。每个模型的残差的自相关函数（ACF）绘制在图10中并且累计周期图绘制在图11中。从图中可以直接看到来自最简函数Ti 的残差，可以发现它们没有白噪声特性并且它们不独立于输入量。残差的自相关函数也明显显示出高滞后的依赖，并且累计周期图揭示出模型不足以描述动态特性。在第一次迭代中检测被选择的模型的残差图，可以发现与Ti相比，TiTh的残差水平下降了。通过分析自相关函数与累计周期图发现关于白噪声残差的假定没有实现。在第二次迭代中从被选择的模型的残差图可知，与Ti相比TiTh的残差水平明显下降了，但是输入量还存在一些依赖性，主要来自阳光辐照度。自相关函数揭示出残差特性与白噪声更为接近，这也可以从累计周期图中看出，这意味着现在模型可以可以很好地描述建筑物的热动态特性。在第三次迭代中从被选择的模型的残差图，自相关函数图和累计周期图可知，TiTeThTs与之前的模型相比只有小幅度的提高。最后，从最终被选择的模型TiTeThTsAe可知，与之前的模型相比几乎没有任何不同。在太阳辐射度很高的情况下，可以观测到最大误差，所以可以得知，对于模型的进一步改进应针对阳光进入建筑物的那个部分，或者让维纳过程的增量变化依赖于太阳辐射。

图9

图10 图11

5.2参数估计

下面是被选择的模型的参数估计的评价。在表3中给出了参数估计和每个模型经过计算的时间常数。在表4中给出了经被选择的模型估计的建筑物外围的全部热容和热阻。正如经过评估残差所发现的那样，模型Ti和TiTh不能很好地描述系统的动态特性，这意味着关于热容的估计并不可靠。通过三个较大的模型所发现的关于热容的估计显得更加可信一些，特别是发现时间常数几乎相等，这意味着这些模型包含相同的动态特性。无法给出较小的热容Ci，Ch，Cs的准确的物理解释，但是值得注意的是它们的总和，三个较大的模型中的每一个都相当接近于从1.03到1.08千瓦时/?C。在表4中可见经被选择的模型估计的建筑物外围的全部热阻，从而发现对于全部的模型而言，UA值是非常相似的。

6.应用

为建筑物热力学确定合适的模型的关键在于反复阅读热量消耗，室内温度，周围环境温度和气候变化的数据，这对不同的用途而言是非常有效的。应用的重要领域有：

对建筑物能源性能的准确描述：建筑物的能源特性能够提供许多重要的能源方面的信息，并且建筑物可以得到有效的改进。可以确定对于一座单体建筑最有效的措施。并且热量消耗取决于物理效应，例如一个可怜的孤立的建筑物围墙可以由行为效应分离，例如很高的室内温度。

预测供热能源消耗：供热能源消耗的预测可用于大规模可再生能源的综合，例如风能和太阳能。通过带有热水箱的电加热系统而实现个人住房的热量存储，将会在未来几年有利可图。

关于建筑物热动力学的知识对于预测和管控这类系统而言是必不可少的。

室内气候控制：控制室内温度，空气流通等，为了提供一个良好的室内条件可以运用包括建立热动力学模型在内的一些方法。这些方法可以拓展以包括风力效应，从而能够提供建筑物其密度方面的信息。

7.结论

为建筑物热力学系统确定合适模型的步骤，已过在2009年2月实验所得到的数据的基础上描述和应用。这个步骤以似然比检验和预选方案相结合为基础。拟建的模型是灰箱模型，其中运用了先验知识和数据驱动建模相结合的方式。用于建模的数据由在当地测得的气候数据，室内温度测量数据，伪随机二进制序列控制的热量输入。

在统计和物理背景下，评价和讨论了确认程序的结果。这个评价显示了被选择的模型满足关于白噪声残差的假定，所以它可以给出与现实相符的可靠的估计，并且结果也通过了统计上的确定。此外文章指出了模型上的不足，应该探究更先进的模型。对于考虑的建筑物而言，太阳辐射进入建筑物的部分在模型中是主要的。

文章已经证明了这个方法是能够提供建筑物热动力学方面的相当详细的知识。这其中包括例如：建筑物外围的热阻和UA值，描述蓄热性能的参数，以及建筑物的时间常数。