两类特殊三角形
两类特殊三角形
一、等腰三角形
1．三角形全等的证明方法和技巧
判定两个三角形系全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
证明两个三角形全等的一般思路：
（1）先观察有无相等的角，有无相等的边，然后再选择使用哪种方法；
（2）注意挖掘题中的隐含条件，诸如对顶角、公共角、公共边、边的公共部分等进行证明。
2．等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）。
说明：此定理是把三角形中边相等转化为角相等的重要依据。对于等腰三角形来说，除了上面的性质定理，还有其它的一些性质，如：等腰三角形两个底角的平分线相等、等腰三角形两腰上的高相等、等腰三角形两腰上的中线相等、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等。掌握这些性质并能灵活运用，会给解题带来很大方便。
3．等腰三角形的“三线合一”
等腰三角形的三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
说明：此性质是证明两条线段相等、两个角相等或两条直线互相垂直的重要依据，也是量与量转化的重要依据。使用时要注意它的存在条件：在等腰三角形中。
4．等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
说明：等腰三角形的判定定理主要作用是证明两条线段相等，即将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系；一般情况下，在同一个三角形中，“欲证边
相等，先证角相等”；“欲证角相等，先证边相等”，这是等腰三角形的判定与性质在解题中的具体体现。
说明一个实现上司等腰三角形还有如下的两种方法“
（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形；
（2）一边上的中线与三角形中这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形。
注意：该定理不能叙述为：有两底角相等的三角形是等腰三角形，因为在没有判定它是等腰三角形之前，不能用“底角”这个词语。
5．等边三角形的判定定理
定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形的判定定理：有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 说明：反过来，我们可以得到等边三角形的三个角相等，三条边相等。这是等边三角形的性质定理。
6．含有300角的直角三角形边的关系
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
解读：（1）此定理是把三角形中角的关系转化为边的关系的重要的方法之一，通常用于证明线段的倍分问题；（2）是使用此定理时应注意前提：在直角三角形中，如果只知道一个三角形有一个角为300，就说这个角的对边个于邻边的一半是错误的。
二、直角三角形
1．勾股定理
勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边长求第三边的长；（2）证明三
角形中某些线段的平方关系；（3
勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系，运用勾股定理时应注意以下问题：
（1）如果用a 、b 表示直角三角形的直角边，用c 表示斜边，那么222a b c +=，
由于直角三角形的斜边最长，故利用勾股定理时，一定要抓住直角三角形的最长
边（即斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和。不能写成222
+=，
a c b
除非b为斜边。
（2）运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，如果已知条件中没有直角三角形，要想利用勾股定理必须先构造勾股定理。
（3）运用勾股定理要正确运算，因为斜边的平方等于两直角边的平方之和，而直角边的平方等于斜边的平方与另外一直角边的平方的差，无论是求直角边还是求斜边，最后要不要忘记开方。
2．勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理的作用：（1）它是判断某个三角形是否是直角三角形的重要方法之一；（2）它是把数转化为形的重要依据，是通过计算判断直角三角形形状的方法之一。
运用勾股定理的逆定理应注意的问题：
（1）勾股定理的逆定理不能这样叙述：“当斜边的平方等于两直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形”，这样叙述实际是把待定的三角形当作直角三角形了；
（2）要想判断一个三角形的形状，可以求出三条边的长度，如果三边相等，那么它是等边三角形；如果有两条边相等，那么它是等腰三角形；如果三边都不相等，还要计算各边的数量关系，看最大边的平方是否等于较小两边的平方和，如果是，那么它是一个直角三角形，如果不是，则不是直角三角形。
3．斜边、直角边定理
斜边、直角边定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
判定两直角三角形全等的方法：证明一般三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS都适用于证明两个直角三角形全等，而HL是它特有的方法。
运用斜边、直角边定理应注意的问题：
（1）HL只对直角三角形适用，对一般三角形则不成立；
（2）与一般的三角形全等一样，有三个角对应相等的主教三角形不一定全
等。
4．互逆命题、互逆定理
（1）互逆命题定理：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
解读：对于互逆命题、互逆定理应该注意：（1）任何一个命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一是假命题，也可能是真命题；
（2）定理、逆定理都是真命题，定理不一都有逆定理。
特殊三角形定义
【5068初中网—初中数学直角三角形公式定理】等边三角形要义：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。 直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理) 性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： (1)(AD)2=BD·DC。 (2)(AB)2=BD·BC。 性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 5068初中网公式要领总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。全等三角形 1全等三角形的对应边、对应角相等 2 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 三角形全等的性质： 1.全等三角形的对应角相等。 2.全等三角形的对应边相等。 3.全等三角形的对应边上的高对应相等。 4.全等三角形的对应角的角平分线相等。 5.全等三角形的对应边上的中线相等。 6.全等三角形面积相等。 7.全等三角形周长相等。 5068初中网公式要领总结：斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【精品】小学四年级数学三角形的分类
三角形 第2节 三角形的分类 【知识梳理】 1. 三角形的分类 三角形按角的特征分，可以分为以下三类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。此外，还可以按边分类，分为：三条边都相等的等边三角形，只有两条边相等的等腰三角形，每条边都不相等的不等边三角形。 按角来分 锐角（0° 按边分 三条边都不相等的三角形 2.三角形的高 （1）三角形的三条高线交于一点，锐角三角形的三条高线的交点在锐角三角形的内部，直角三角形三条高线的交点在直角三角形的直角顶点，钝角三角形三条高线的交点在钝角三角形的外部。 （2）作三角形的高 做三角形的高即过三角形的顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的距离叫做三角形的高，当垂足不在三角形的底边上时需要把底边延长，此时，垂足在三角形底边的延长线上，垂足的位置可能在底边的两个端点之间，可能在底边的端点上，也可能在底边的延长线上。 3.三角形中边和角的关系（“大角对大边，小角对小边”） 三角形中的三条边、三个角的大小关系可一一对应，大边所对的角比小边所对的角大，反之，大角所对的边比小角所对的边长，在等腰三角形中，相等的两条腰的对角也相等，即等腰三角形的两底角相等。在等边三角形中，三个内角、三条边及三条边上的高分别相等。 底 边 等边三角形（三条边都相等， 每个角都是60°） 等腰三角形（两条边相等，两 个底角相等） 等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性质,同时具有一般三角形所不具备的特殊性,这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值,也是研究其他三角形和多边形的基础. 利用等腰三角形的轴对称性,"三线合一"等性质探求解题途径。 一、直角三角形 1)直角三角形的定义:有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。又叫Rt三角形。 2)直角三角形的性质: (1)直角三角形两个锐角互余; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (3)在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半;且三边比为1比根号3比2; (4)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°; (5)在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 (勾股定理); (6)直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径. ( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。 (8)直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 3)直角三角形的判定: (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形; (2)一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形; (3)若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形(勾股定理的逆定理); (4)若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形; (5)两个锐角互余的三角形是直角三角形. 4)直角三角形角的性质 若直角三角形ABC中∠C=90°，则 sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A) cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A) tanA=-tan(180°-A) 对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90° sin30°=cos60°=1/2 sin45°=cos45°=√2/2 sin60°=cos30°=√3/2 sin75°=cos15°=(根号6+根号2)/4 cos75°=sin15°=(根号6-根号2)/4 tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3 sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大 二、等腰三角形 1)等腰三角形的定义: 有两边相等的三角形是等腰三角形 2)等腰三角形的性质: 证明（二）之特殊三角形 【知识要点】 常考特殊三角形性质： ①等腰三角形：两个底角相等；顶角的平分线、底边上的中线和高是同一条线段。 ②等边三角形：每个内角都等于60°；角的平分线、中线和高是同一条线段。 ③直角三角形：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。 【经典例题】 3 ，CD⊥AB，求BC边的长。【例1】已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=1 【例2】已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点． 求证：CD⊥AB。 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC． 【例4】△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5。 ①△DEF 的形状是？并请说明理由；②求EF 的长。 【例5】如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，DE ⊥BC 于E ，使得△BED ≌△ACB （点B 、E 、D 分别与点A 、C 、B 对应），连结AD 交BC 于点F ， ①问：△ABD 是等腰直角三角形吗？请说明理由。 ②若AC=2cm ，EC=3cm ，求AD 的长。 【课堂练习】 1．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（ ） A ．10° B ．12.5° C ．15° D ．20° 2．如图，△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（ ） A ．36° B ．45° C ．60° D ．72° 3．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.5 题3 题2 题1 三角形的分类 三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。根据其特性，三角形可以分为不同的类型。以下是三角形的一些主要分类： 1等边三角形：三条边都相等的三角形称为等边三角形。这种三角形的所有角都是相等的，每个角都是60度。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 2等腰三角形：有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。这种三角形的两个底角是相等的，顶角与两个底角的和加起来等于180度。直角三角形：有一个角是90度的三角形称为直角三角形。这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。直角三角形的一个锐角是45度。 钝角三角形：有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。 锐角三角形：所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。这种三角形的所有边都相等。 斜三角形：三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。斜三角形可以 进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形，取决于其最大的角是钝角还是锐角。 这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。例如，等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰 三角形等。还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。 三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。通过掌握不同类型的三角形的特性和关系，我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。 三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念，而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。根据边长和角的特征，三角形可以分为以下几类：等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。等边三角形是一种三边长度相等的三角形，其中三个角的大小也相等。等边三角形的判定方法是：如果一个三角形的三边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。等边三角形是一个特殊的等腰三角形。 等腰三角形是一种两边长度相等的三角形，其中两个角的大小也相等。等腰三角形的判定方法是：如果一个三角形有两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。等腰三角形也被称为对称三角形。 第17章 几种特殊的三角形 【知识衔接】 ————初中知识回顾———— 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上．学-科网 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心． ————高中知识链接———— 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有030角的直角三角形中，0 30角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC === 求：(1)ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ； (2)ABC ∆的内切圆的半径r ； (3)ABC ∆的外接圆的半径R ． 解：(1)如图，作AD BC ⊥于D ． ,AB AC D =∴为BC 的中点， 2222=-=∴BD AB AD , 2222221=⨯⨯=∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=∆2 1,解得423BE =． (2)如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ， IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=， 即11122222 AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅， 解得22r = ． (3)ABC ∆是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ，则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+ 222(22)1,R R ∴=-+解得92.8 R = 2、如图，在ABC ∆中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点．求证：PC PB AB AP •-=22． 证明：过A 作BC AD ⊥于D ． 在ABD R ∆t 中，222AD AB BD ． 在APD R ∆t 中，2 22AP AD DP ． )()(22222DP BD DP BD AB DP BD AB AP -•+-=+-= DC BD BC AD AC AB =∴⊥=,, ． PC DP CD DP BD =-=-∴． PC PB AB AP •-=∴22． 3、已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，ABC ∆的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h ．” 解：(1)当点P 在ABC ∆内时， 法一：如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知' AM PD PE ，而'AM AM PF ， 故PD PE PF AM ，即123h h h h ． 精锐教育学科教师辅导讲义 四、全等三角形 1、全等三角形的判定：SSS,SAS,AAS,ASA 2、直角三角形的判定：HL 3、尺规作图：作线段、作角、作中垂线、作角平分线 4、命题与定理：真命题与假命题、如果+条件，那么+结论 5、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等 五、特殊三角形 1、直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形 性质： （1）有一个角为直角 （2）有两个锐角互余 （3）直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，且分得的两个三角形为等腰三角形 （4）在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。 2、勾股定理：直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方。一般的 3 4 5；6 8 10；5 12 13 ；7 24 25 及其倍数都是勾股数 3、等腰三角形的性质（重点） 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。 注： （1）等腰三角形是轴对称图形。 （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等。 （3）在全等三角形中，相等的边对应的角相等，反之也成立。 4、等腰三角形的判定定理、 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） 。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 《特殊三角形》知识点归纳及练习 【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对__________)； ②等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等腰三角形； ②有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 二、等边三角形 1．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____； ②等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有____边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是______的三角形是等边三角形； ③有两个角都是______的三角形是等边三角形； ④有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_______； ②直角三角形斜边上的中线等于_______； ③直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 ④30°角所对的直角边等于斜边的________ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是______的三角形是直角三角形； ②有两个角_______的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1. 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）； 2. 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长； 法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________ 2、已知等腰三角形的一边长为4cm ，另一边长为9cm ，则它的周长为 。 3、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 4、在等腰三角形中，设底角为 ，顶角为 ，用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的 代数式表示x ，则x= 。 3、直角三角形中线的性质：即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 例3、在△ABC 中, ∠ACB ＝90°，AB ＝10cm,点D 为AB 的中点，则CD ＝_____cm 。 分析：因为三角形ABC 是直角三角形，AB 是斜边；又因为D 是AB 的中点，则CD 是直角三角形ABC 的中线，根据直角三角形中线的性质，所以有CD=5. 4、直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半。 5、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于第三边的平方。 例4、若直角三角形两边分别为3与4,则第三边为____________. 分析：题目中，告诉我们直角三角形的两边分别为3和4，但是没有说是两个直角边还是一个直角边、一个斜边，这里我们也得分两种情况进行分析。 第一：当3和4分别是两个直角边时，第三边的长度是5； 第二：当3和4一个为直角边、一个为斜边时，那么第三边的长度为√7。 知识概括、方法总结与易错点分析 1、直角三角形，斜边的中线与斜边的关系、以及30度角所对的边与斜边的关系是考试的重点，在题目中经常会运用这层关系，要学会发现题目中的条件，利用性质解决问题； 2、直角三角形中，勾股定理是个难点。要知道勾股定理的运用，并能计算正确。 针对性练习 1、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(2 2 =-+-+-a c c b b a ，那么这个三 角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 2、如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。请你说明∠DEC=90°的理由。 3、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为米，当端点B 向右移动米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？ 五种特殊的等腰三角形 （一）顶角是36°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC,问：图中有几个等腰三角形？或者说明④AD＝BD＝BC； 2、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且④AD＝BD＝BC；问：说明 ③BD平分∠ABC； 3、如图，△ABC中，①AB＝AC，点D在AC上，且③BD平分∠ABC；④AD＝BD＝BC；问：说明②∠A＝36° 4、如图，△ABC中,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC, ④AD＝BD＝BC；问：图中有几个等腰三角形？或者说明①AB＝AC； （二）顶角是60°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且CD⊥AB,延长CD至E，使ED＝CD,连结 AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）AD＝BD吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？ 说明理由； 2、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且AD＝BD,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由； 3、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且∠ACD＝∠BCD ,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) AD＝BD 吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由； （三）顶角是90°的等腰三角形 1、如图，△ABC中，∠A＝90°,AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BC于E,DF∥AB交 BC于F，问：(1)AD＝ED吗？说明理由；（2）FB＝FD吗？说明理由； 2、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明：（1）、AD＝DB＝DC，∠BAD＝∠CAD；（2）、DE＝DF；（3）、AE＝AF；BE＝CF； 3如图，△ABC中，①∠A＝90°，②AB＝AC，试说明③∠B＝∠C＝45° 4如图，△ABC中，①∠A＝90°，③∠B＝45°或∠C＝45°，试说明②AB＝AC； 5、如图，△ABC中，③∠B＝∠C＝45°，试说明①∠A＝90°；②AB＝AC 两类特殊三角形 一、等腰三角形 1．三角形全等的证明方法和技巧 判定两个三角形系全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 证明两个三角形全等的一般思路： （1）先观察有无相等的角，有无相等的边，然后再选择使用哪种方法； （2）注意挖掘题中的隐含条件，诸如对顶角、公共角、公共边、边的公共部分等进行证明。 2．等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）。 说明：此定理是把三角形中边相等转化为角相等的重要依据。对于等腰三角形来说，除了上面的性质定理，还有其它的一些性质，如：等腰三角形两个底角的平分线相等、等腰三角形两腰上的高相等、等腰三角形两腰上的中线相等、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等。掌握这些性质并能灵活运用，会给解题带来很大方便。 3．等腰三角形的“三线合一” 等腰三角形的三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 说明：此性质是证明两条线段相等、两个角相等或两条直线互相垂直的重要依据，也是量与量转化的重要依据。使用时要注意它的存在条件：在等腰三角形中。 4．等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 说明：等腰三角形的判定定理主要作用是证明两条线段相等，即将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系；一般情况下，在同一个三角形中，“欲证边 图2 三角形（二）——特殊三角形 【等腰三角形】 1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。 【典型例题】 例1.已知ABC ∆中，C B ∠∠与的平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，那么ABC ∆一定是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等边三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等腰直角三角形 第12届（2001年）初二培训 例2.如图2，在ABC ∆中，AB=AC ，∠A=36°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，它们相交于F 点，是图中等腰三角形的个数是（ ） 第14届（2003年）初二培训 例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。 （A ）30° （B ）30°或150° （C ）120°或150° （D ）30°或120°或150° 第10届（1999年）初二第1试 图 1 【等边三角形】 1．三边相等的三角形是等边三角形。 2．等边三角形既是轴对称图形，也是等腰三角形。 3．三个角都相等的三角形是等边三角形。 4．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 【典型例题】 例1.用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b 平方米，现于这个等边三角形内任取一点P P 则点,到等边三角形三边距离之和为（ ）米。 （A ） a b 2 （B ）a b 4 （C ）a b 6 （D ）a b 8 第12届（2001年）初一第2试 例2.如图2，C 在线段AB 上，在AB 的同侧作等边三角形△ACM 和△BCN ，连接AN ，BM ，若∠MBN=38°，则∠ANB=______________。 第10届（1999年）初二第1试 例3.如图3，已知等边△ABC 内有一点N ，ND ⊥BC ，NE ⊥AB ，NF ⊥AC ，D ，E ，F 都是垂足，M 是△ABC 中异于N 的另一点，若,,21MF ME MD p NF NE ND p +++++=则1p 与2p 的大小关系是______________。 第11届（2000年）初二培训 图 1 图 2 图3 第二课时 一般三角形与特殊三角形 第一部分：知识清单 一、 一般三角形 （一）概念： 1．三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与其对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 3. 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点之间的线段叫做三角形的中线。 4. 高（线）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（线）。 5.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 6.内心、重心和垂心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 7.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 9.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 11.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 （二）性质： 1.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 2.三角形具有稳定性。 3.三角形三个内角的和等于180º。 4.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。 5.n 边形内角和等于（n ﹣2）×180º。 6 .n 边形外角和等于360º。 7. .n 边形的对角线有n （n ﹣3）/2条。 （三）分类： 1.三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形. 2.三角形按边分类如下: 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧ ⎨⎩⎧⎨⎩ 【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_____ ；等腰三角形两底角（即在同一个三角形中，等边对 _________ ）； ② 等腰三角形三线合一，这三线是指__ 、 ___________ ______________ ，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是______ 图形，它的对称轴有条。 2．等腰三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等腰三角形； ②有__ 相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_ ）。 二、等边三角形 1 ．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边___ ，各内角____ ，且都等于； ②等边三角形是____ 图形，它有条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是____ 的三角形是等边三角形； ③有两个角都是____ 的三角形是等边三角形； ④有一个角是____ ______ 的三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_____ ； ②直角三角形斜边上的中线等于____ ； ③直角三角形两直角边的平方和等于_____ （即勾股定理）。 ④ 30°角所对的直角边等于斜边的___ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是____ 的三角形是直角三角形； ②有两个角______ 的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_____ 的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1.分类讨论思想（特别是在语言模糊的等 腰三角形中）； 2.方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有 就是在等 腰三角形中求角度，求边长； 3.等面积法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1 ：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分 18cm 和 21cm 两部分，则它的三边长为为 第13讲特殊三角形 [基础篇] 一、等腰三角形 1、等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 底边 2、等腰三角形的性质： 2.1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)； 2.2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”； 2.3 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴。 3、等腰三角形的证明方法： 3.1 有两个角相等的三角形是等腰三角形； 3.2 “两线合一”可证“三线合一” 二、等边三角形 1、等边三角形的性质 1）三条边相等； 2）等边三角形的内角都相等,且等于60 °； 3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一； 4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 2、等边三角形的判定 1）三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形； 3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。 [技能篇] 类型一：等腰三角形概念 例1-1 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） （A ）42°； （B ）60°； （C ）36°； （D ）46° 例1-2 ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75BDC ∠=︒，则A ∠的度数是（ ） （A ）35°； （B ）40°； （C ）70 °； （D ）110° 例1-3 等腰三角形的对称轴是（ ） （A ）顶角的平分线； （B ）底边上的高； （C ）底边上的中线； （D ）底边上的高所在的直线 例1-4 如图，ABC ∠中，AD BC ⊥，AB AC =，30BAD ∠=︒，且AD AE =，则EDC ∠等于（ ） （A ）10； （B ）125︒．； （C ）15° （D ）20° 例1-5 ABC ∆中AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个 例1-6 如图，已知OC 平分AOB ∠，//CD OB ，若3OD cm =，则CD 等于（ ） （A ）3cm ； （B ）4cm ； （C ）1.5cm ； （D ）2cm 例1-7 如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ， 过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；•③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有（ ）． （A ）①②③； （B ）①②③④； （C ）①②； （D ）① C B E D C A B 0B D E F特殊三角形知识点
特殊三角形性质
三角形的分类
几种特殊的三角形-初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
特殊三角形
授课类型 授课日期及时段 教学目的
T（同步）
C（专题）
T（能力）
教学内容
几何图形一（特殊三角形）
【知识梳理】 一、三角形的分类 1、按边可分为等边三角形和不等边 三角形 2、按角可分为锐角三角形、直角 三角形、钝角三角形 注意：等边三角形属于特殊的等腰 三角形，锐角三角形和钝角三角形有时称为斜三角形 二、三角形的性质 1、三角形的内角和是 180 度；三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任 意一个和它不相邻的内角 。 2、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 。 3、三角形具有稳定性 。 注意：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的延长线组成的角，三角形有 3 个外角，三角形的外角和是 360 度。 2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据 三、三角形中的主要线段 1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形内部且交于一点，角平分线上的点到角两边的距离相等 2、中线：三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点 3、高线：不同三角形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形内部 ，直角三角形有一条高线在内部， 另两条高线与直角边重合，钝角三角形有一条高线在三角形内部，两条在三角形外 部 4、中位线：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 注意：三角形的角平分线、中线、高线都有 3 条且都是线段
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考点一：特 殊 三 角 形 的 基 本 性 质
2特殊三角形知识点归纳及练习
第二章-特殊三角形教案
五种特殊的等腰三角形
两类特殊三角形
初中数学三角形(二)特殊三角形
第二课时 一般三角形与特殊三角形
特殊三角形知识点归纳及练习
2020年上海中考数学·一轮复习 第13讲 特殊三角形