C．AB=2BD D．AD平分∠BAC 【答案】C 【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得， A．AD⊥BC，故A选项正确； B．∠B=∠C，故B选项正确； C．无法得到AB=2BD，故C选项错误； D．AD平分∠BAC，故D选项正确． 故选C． 【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质. 1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm. 考向二等腰三角形的判定 1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形． 典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形． 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形． 2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形 在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。 一、等腰三角形 等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，两个底角的大小相等。等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质： 1. 等腰三角形的底角相等。 无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。这是等腰三角形的一个重要性质。 2. 等腰三角形的高线相等。 等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。 3. 等腰三角形的内角和为180度。 等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。 二、直角三角形
直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。直角三角形中最常 用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角 边的平方和。除此之外，直角三角形还有以下性质： 1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。 直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于 90度。 2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。 直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。 3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。 直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。 三、等腰三角形与直角三角形的联系 等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。 其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。 此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计 算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计 算面积。
等腰直角三角形
11 等腰直角三角形 等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。 目录 1关系 2线段 3解三角形 4勾股定理 5证明方法 6定理 7相关定理
8梅涅劳斯9特殊等腰
高：顶点到对边垂足的连线。 角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 中位线：任意两边中点的连线。 3解三角形 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) （2）余弦定理。 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab 4勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C 满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 5证明方法 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
等腰三角形性质及判定
等腰三角形性质及判定（基础） 【学习目标】 1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A=180°－2∠B，∠B=∠C=180 2A ︒-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1：证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据． 性质2：用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.
等腰三角形和直角三角形的关系
等腰三角形和直角三角形的关系 等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，在几何学中具有重要的地位和应用。它们之间存在一定的关系，本文将从不同的角度进行介绍和比较。 从定义上来看，等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形，而直角三角形则是指其中一条角为直角的三角形。根据这两个定义，可以得出等腰直角三角形是指既具有两条边长度相等，又具有一个角为直角的三角形。 从形状上来看，等腰三角形的顶角和底边角度相等，而直角三角形的底边角度为90度。因此，等腰直角三角形的顶角也为45度，底边角度为90度，这种特殊的角度使得等腰直角三角形具有独特的形态。 进一步探讨等腰直角三角形的性质，可以发现以下几点： 1. 等腰直角三角形的两条等腰边相等，这是等腰三角形的性质；同时，其中一个角为直角，这是直角三角形的性质。因此，等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合。 2. 等腰直角三角形的斜边长度可以通过等腰边的长度计算得出。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。由于等腰直角三角形的两个等腰边相等，所以可以简化
为斜边长度等于等腰边长度的平方根乘以2。 3. 等腰直角三角形的面积可以通过等腰边的长度计算得出。根据三角形面积公式，等腰直角三角形的面积等于等腰边长度的平方除以2。 4. 等腰直角三角形的高度可以通过等腰边的长度计算得出。根据等腰三角形的性质，等腰直角三角形的高度等于底边长度的一半。 除了以上性质，等腰直角三角形还有一些特殊的应用和意义。例如，在建筑设计中，等腰直角三角形常用于绘制直角线，用来保证建筑物的垂直度。在数学推导和证明中，等腰直角三角形也经常被用作基本图形，用来辅助证明其他定理。 总结起来，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形形状，它们之间存在一定的关系。等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的结合体，具有独特的形态和性质。无论是在几何学还是实际应用中，等腰直角三角形都具有重要的地位和作用。通过对等腰直角三角形的研究和应用，我们可以更深入地理解和掌握三角形的性质和特点。
初二数学等腰三角形知识点解析
初二数学等腰三角形知识点解析 等腰三角形性质： 1具有一般三角形的边角关系 2等边对等角;3底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合; 4是轴对称图形，对称轴是顶角的平分线；5.底边小于腰长的两倍且大于零，且腰长大于底边的一半；6顶角等于180°减去底角的两倍；顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角 等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形. 等边三角形的性质： ①具备等腰三角形的一切性质。 ② 等边三角形的三条边相等，三个内角相等，每个内角为60°。 5.等腰三角形的判定： ① 利用定义；② 等角到等边； 等边三角形的判定： ① 定义：三条等边的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 锐角为30°的直角三角形的边角关系：在直角三角形中，与锐角30°相对的直角等于斜边的一半。 三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角;大角对长边，小角对短边。 等腰三角形的分类： 等腰直角三角形 1.定义 有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。 2.关系 等腰直角三角形的边角之间的关系：
（1）三角形的三个内角之和等于180°。 ⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 （三）三角形的外角大于与其不相邻的任何内角。 ⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （5）在同一个三角形中，等边等于角，等角等于等边。 3.四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。 （1）三角形的角平分线的交点称为三角形的中心。它是三角形内接圆的中心，它到每边的距离相等。 ⑵三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （三）三角形三条中线的交点称为三角形的重心。从它到每个顶点的距离等于从它到另一侧中点的距离的两倍。 ⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。 （5）三角形的中线平行于第三条边，等于第三条边的一半。 6三角形斜边上的高等于斜边的一半。 评论： ①三角形的内心、重心都在三角形的内部. ② 钝角三角形的垂直中心和外中心在三角形的外侧。 ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。 ④ 锐角三角形的垂直中心和外中心位于三角形内部。 黄金三角形 1.名称定义 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值。对应的还有黄金矩形等。 2.金三角的分类
直角三角形与等腰三角形
直角三角形与等腰三角形 三角形是几何形状中最基本的一种。根据其边和角的属性，可以将 三角形分为各种类型，其中直角三角形和等腰三角形是两个非常重要 的特殊类型。本文将介绍直角三角形和等腰三角形的定义、性质和应用。 一、直角三角形 直角三角形是一种具有一个角为90度的三角形。在直角三角形中，直角是其最大的角，另外的两个角是锐角或钝角。直角三角形的性质 如下： 1. 边的关系：在直角三角形中，边与角有着密切的关系。根据毕达 哥拉斯定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。即 c² = a² + b²。 2. 特殊比例：由于边的关系，直角三角形可以形成一些特殊的比例 关系。例如，边长为3和4的直角三角形，其斜边长为5。这种比例关 系可以用于解决各类实际问题。 3. 角的关系：在直角三角形中，由于一个角为90度，其余两个角 的和为90度。这一特性可以用于计算角度的大小。 直角三角形在日常生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、地理测 量等领域。 二、等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，两个相等的边叫做腰，另外一条边叫做底边。等腰三角形的性质如下： 1. 角的关系：在等腰三角形中，底边上的角相等。这是由于两条腰的长度相等，所以两个顶角也相等。 2. 高的关系：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，等于两边长度差的一半。 3. 面积的计算：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高的关系来计算，即等于底边乘以高再除以2。 等腰三角形在数学中有许多应用，如解决等腰三角形的性质问题、计算等腰三角形的面积等。 三、直角三角形与等腰三角形的关系 直角三角形和等腰三角形之间存在一定的关系。在一个直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，即为一个等腰直角三角形。这是因为直角三角形中的直角边可以看作是等腰三角形的腰。 等腰直角三角形具有一些特殊的性质。例如，等腰直角三角形中的两个锐角的度数必然相等，且每个角都是45度。此外，等腰直角三角形的斜边长度等于两个直角边的长度的平方根。 在计算中，等腰直角三角形常常用来简化问题。例如，当直角边的长度为1时，等腰直角三角形的斜边长为根号2。这种特殊的长度比例可以用于解决各类实际问题。
45°等腰三角形的特点
45°等腰三角形的特点 在数学中，三角形是一种基本的几何形状，具有许多有趣的性质和 特点。其中，等腰三角形是一种特殊的三角形，具有两条边长度相等 的特点。本文将探讨45°等腰三角形的特点，揭示它们在几何学中的重 要性。 一、定义和性质 45°等腰三角形是一种两边长度相等且夹角为45°的三角形。根据等 腰三角形的定义，它的两边全等，即长度相等，并且两个底角相等。 因为45°等腰三角形的底角为45°，所以另两个角也分别为45°。 根据上述的定义和性质，我们可以得出以下结论： 1. 所有45°等腰三角形的两个角都是45°，底边也相等。 2. 在45°等腰三角形中，两边的长度相等，所以它们是等腰三角形。 二、特殊的直角三角形 45°等腰三角形也是一种特殊的直角三角形。直角三角形是其中一 个角为90°的三角形。当一个角为45°时，另外两个角则为45°和90°， 所以45°等腰三角形也是一个直角三角形。 三、图形特征和性质 1. 对称性：45°等腰三角形具有对称性。当沿着其底边的中垂线进 行折叠时，两个等腰三角形可以重合，形成一个正方形。这是因为45°等腰三角形两边长度相等，所以可以互相重合。
2. 角平分线：45°等腰三角形的底边也是其垂直边的角平分线。这意味着底边把垂直边的角分成两个相等的部分，每个角都为22.5°。 3. 相似性：45°等腰三角形与90°等腰三角形和其他65°等腰三角形之间存在相似性。在这些相似三角形中，相应角度相等，对应边的比值相等。这种相似性使得我们能够通过已知的属性和关系来推导出未知的属性和关系。 四、应用 45°等腰三角形的特点在几何学和实际生活中都有广泛的应用。 1. 几何学中的应用： 45°等腰三角形是一种基本的三角形形状，在几何学中的很多问题中被广泛使用。它们能够作为推导其它形状的基本图形。通过应用相似性，我们可以通过已知的45°等腰三角形的性质来推导其他三角形的性质。 2. 工程和建筑中的应用： 在工程和建筑领域，45°等腰三角形的特点被广泛应用。例如，在设计斜顶的屋顶时，使用45°等腰三角形可以确保屋顶的坡度合适。此外，在建筑设计中，以45°为角度的等腰三角形也被用于创造稳定的结构和角落。 3. 制图和计算中的应用：
等腰三角形的特点
等腰三角形的特点 等腰三角形是一种特殊的三角形，其特点在于两条边的长度相等，而另外一条边的长度较短。在数学中，等腰三角形具有一些独特的性质和特点，下面将详细介绍。 一、定义和性质 等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。根据这个定义，可以得出等腰三角形的几个基本性质： 1. 两边等长。 等腰三角形的两条腰长相等，可以用符号表示为AB=AC，其中A 为顶点，B和C为底边上的两个点。 2. 底角相等。 等腰三角形的两条腰所对的底角相等，即∠B=∠C，这是等腰三角形的重要性质之一。 3. 顶角为锐角或直角。 等腰三角形的顶角可以是锐角或直角，但不能是钝角。当顶角为直角时，称为等腰直角三角形，是一种特殊的等腰三角形。 二、面积计算公式 等腰三角形的面积可以通过底边长度和高来计算。由于等腰三角形的特殊性质，可以通过高和底边的关系来求解。
设等腰三角形的底边长度为b，高为h，则有面积公式S=1/2 * b * h。 由于等腰三角形的两条腰相等，可以使用等腰三角形的特定性质来 计算高，即取底边的中线作为高线。这样，等腰三角形的面积计算公 式变为S=1/2 * b * (b/2)。 三、角度计算公式 根据等腰三角形的定义和性质，可以通过已知的角度来计算等腰三 角形中未知角度的数值。 1. 已知两个底角求顶角。 若已知等腰三角形的两个底角的数值，则可以通过两个底角之和与180度之差来得到顶角的数值。 设等腰三角形的两个底角的数值分别为x和y，则有顶角的数值为180度减去x和y之和，即A=180°-(x+y)。 2. 已知一个底角和顶角求另一个底角。 若已知等腰三角形的一个底角的数值以及顶角的数值，则可以通过 顶角的数值与底角的差值来得到另一个底角的数值。 设等腰三角形的一个底角的数值为x，顶角的数值为A，则另一个 底角的数值为A减去底角的数值x，即B=A-x。 四、应用示例 1. 高度为3cm的等腰三角形的底边长度为8cm，求面积。
等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型 【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征： ①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o ） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 （11-1 （2变式BC 上于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求MB PC 的值 （2）F (1)
造一对全等的直角三角形： 1-2：如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o ，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ； （2变式∠ACB =45o ，∠BAC =90o ，AB=AC ，点于H 交BC 于F ， BE ∥AC 交AF 的延，求证：BC 垂直且平分DE . 变式AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是的中 BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1= 是AC 腰为对应边构造全等三角形 2-1：连接AD ，求证：∠ADB ＝45°。 变式1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点， 点D 为BE 延长线上一点，且∠ADC ＝135°求证：BD ⊥DC 。 C D F (2)
变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，DM ⊥AB 交BA 的延长线于 点M ， （1）求BC AB BM +的值； （2）求AB BC AM -的值。 模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点 （ 的中点，连（，必定（，必定 。把△AFC （（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然 成立？任意选择一个证明你的结论。 【经典模型】 在△BAC 中，AB=AC ，且∠BAC=90°有一点D 满足∠BDC=90°：
人教版八年级上册 第十三章 认识等腰直角三角形
走进等腰直角三角形 等腰直角三角形，是一类特殊的等腰三角形．其具体的特点是： （1）每一个锐角都是45°． （2）斜边：直角边=2：1. （3）过斜边的中点，分别作两直角边的垂线，则等腰直角三角形的直角顶点、两个垂足和斜边的中点构成一个正方形． （4）等腰直角三角形的面积等于一条直角边的平方的一半． 其次在应用时，常用到等腰三角形的性质和勾股定理． 下面就结合09年的考题，谈谈等腰直角三角形的应用，供学习时参考． 1求等腰直角三角形底角的度数 例1等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 分析： 等腰三角形的两个底角相等，所以等腰直角三角形的两个底角也是相等的． 因为等腰直角三角形的顶角为90°，所以每一个底角等于2 1（180°-90°）=45°． 解：选B ． 2三角板中求度数 例2、一副三角板，如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 . 分析： 熟悉一副三角板的意义是解题的关键．一副三角板包括一个30°角的的直角三角板和一个45°角的的直角三角板． 解：如图2所示，三角形BEF 是含45°角的的直角三角板，因此∠ABC=45°，三角形ADC 是含30°角的的直角三角板，因此∠ADC=30°，所以∠DAB=45°-30°=15°， 所以∠α=90°-15°=75°． 3等腰直角三角形背景中求三角形的面积 例3如图3所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ＝86，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，则△CEF 的面积是（ ） A ． 16 B ． 18 C ．66 D76
初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(2021年整理)
初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)的全部内容。
等腰直角三角形中的常用模型 【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征： ①边、角方面的特征：两直角边相等,两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长,可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形: 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形,发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 1-1:如图：Rt ΔABC 中,∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ,过 C 作CF ⊥A D 于点F 。 （1)求证：BE —CF=EF ; （2)若D 在BC 的延长线上（如图(2）），(1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论 并证明。 变式1：等腰Rt △ABC 中，AB=CB ,∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合)，以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M . (1）求证：M 为BE 的中点 (2) (3) (1) D D E E C C E C A B B A A B (2) F E D C B A A B C D E F (1)
《等腰直角三角形中的常用模型》
等腰直角三角形中的常用模型 一【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征： ①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点 E ，过C 作C F ⊥AD 于点F 。 （1）求证：BE-CF=EF ； （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新 的结论并证明。 如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求MB PC 的值 (2)(3) (1)D D E E C E C A B B A A B (2)F E D C B A A B C D E F (1)
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ； （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º ，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE . 变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。 变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。 D E F F E D (2)(1)C C A B B A G G B A C D E F (2)(1)F E D C B A
