2020届青海省玉树州高三联考数学(文)试题(解析版)

2020届青海省玉树州高三联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合{

}

2

|20A x x x =--<，B Z =，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1,2- B ．{}0,1,2

C ．{}0,1

D ．{}1

【答案】C

【解析】求出集合A 的范围，根据集合B 为整数集，即可求得A B ?。 【详解】

解不等式可得集合{}

|12A x x =-<< 因为集合B Z = 所以{}0,1A B ?= 所以选C 【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。 2．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )

A ．

2

2

B ．

32

C ．

102

D ．

12

【答案】C

【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】

解：由()112i z i -=-+，得()()()()

1211231

11122i i i z i i i i -++-+=

==-+--+， ∴2

2

311022z z ????==-+= ? ?????

． 故选C ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089

个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）

A ．4

B ．5

C ．8

D ．9

【答案】B

【解析】由几何概型中的随机模拟试验可得：S 605

S 1089

=黑正，将正方形面积代入运算即可． 【详解】

由题意在正方形区域内随机投掷1089个点， 其中落入白色部分的有484个点， 则其中落入黑色部分的有605个点，

由随机模拟试验可得：S 605

S 1089

=黑正，又9S 正=， 可得605

951089

S =?≈黑，故选B ． 【点睛】

本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

4．若双曲线2

2

21y x m

-=(0m >)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是（ ）

A ．2

B 2

C ．1

D ．4

【答案】A

【解析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】

双曲线()2

2

210y x m m

-=>的焦点坐标为

)

21,0m +，

渐近线方程为y mx =±，

所以焦点到其渐近线的距离2

2

121

m m d m m +===+，故选A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

5．已知变量，满足则的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】本道题目关键绘制出可行域，同时理解的意义，结合图像，即可得出答案。

【详解】

理解的意义,为点与连线的斜率,A(2,3)所以斜率为负数时满足,当(x,y)与

平行的时候，无交点 故

，故选A 。

【点睛】

本道题目考查了线性规划问题，注意理解题目

的意义，即可得出答案。

6．在ABC V 中，13

BD BC =u u u r u u u r ，若,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则(AD u u u r = )

A ．2133a b +r r

B ．1233a b +r r

C ．1233a b -r r

D ．2133

a b -r r

【答案】A

【解析】根据平面向量的线性运算法则，用AB u u u v 、AC u u u v 表示出AD u u u v

即可. 【详解】

()

11123333

AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u u u v v u u u v

即：

2133

AD a b =+r r u u u v 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.

7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ） A ．48里 B ．24里

C ．12里

D ．6里

【答案】C

【解析】根据等比数列前n 项和公式列方程，求得首项1a 的值，进而求得5a 的值. 【详解】

设第一天走1a ，公比12q =，所以166112378112

a S ?

?- ?

??==-，

解得1192a =，所以4

5111921216a a q ==?=.故选C. 【点睛】

本小题主要考查等比数列前n 项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．28π+

B ．8π+

C ．

28

3

π+ D ．

8

3

π+

【答案】D

【解析】由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积 【详解】

由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成 由已知图中数量可得：

118

22222333

V ππ+=??+???=

故选D 【点睛】

本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。 9．已知0,

,0,22ππαβ????∈∈ ? ?????

，且()2

sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）

A ．22

π

αβ-=

B ．22

π

αβ+=

C ．2

π

αβ+=

D ．2

π

αβ-=

【答案】A

【解析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2

sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此

得出正确结论. 【详解】

有()2

sin 2cos 2cos

1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+，

sin cos cos sin cos αβαβα-=，()πsin cos sin 2αβαα??

-==- ???，由于0,,0,22ππαβ????∈∈ ? ?????

，

所以ππ

,222

αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )

A ．22

B ．23

C ．26

D ．4

【答案】C

【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案 【详解】

在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：

则22EF =123AC =1EF A C ⊥ 则截面的面积11

262

S EF AC =

?=

故选C 【点睛】

本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。 11．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()

g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()()00g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，

()()()=+0f x g x xg x '>'，从而可确定()f x 在()0,+?

上单调递增，即可得到答案。

【详解】

因为()()()2

2

sin sin =f x x x x x x x f x -=--=+，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，

()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立，所以()g x 是

单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()=+0f x g x xg x '>', 即()f x 在()0,+?上单调递增，故只有选项A 正确。

【点睛】

本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。 12．设函数ln ,0()(1),0

x

x x f x e x x ?>=?

+≤?，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是（ ）

A ．(1,)+∞

B ．21,0e ??- ???

C ．(1,){0}+∞U

D ．(0,1]

【答案】D

【解析】()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =的图象有三个交点，利用导数分析函数

()()1,0x h x e x x =+≤的单调性与最值，画出函数()f x 图象，数形结合可得结果.

【详解】

设()()1,0x

h x e

x x =+≤， 则()()'2x

h x e

x =+，

()h x 在(),2-∞-上递减，在(]2,0-上递增，

()()2

min 1

2h x g e =-=-

，且2x <-时，()0h x <， ()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =的图象有三个交点，

画出()y f x =的图象，如图，

由图可得，01b <≤时，()y f x =与y b =的图象有三个交点， 此时，函数()()g x f x b =-有三个零点，

∴实数b 的取值范围是(]0,1，故选D.

【点睛】

本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题

13．某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 【答案】72

【解析】试题分析：整体分为有明显差异的三部分（即,,A B C 三种不同型号的轿车），采用分层抽样，根据产量的比例2:3:4，可知,,A B C 三种不同型号的轿车分别抽取234

,,234234234

n n n

++++++即

234

,,999n n n ，依题意样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，所以321

872999

n n n n -==?=. 【考点】1.随机抽样中的分层抽样.

14．在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项和，1102029,a S S =-=,则S n 最小时，n=_________ 【答案】15

【解析】设等差数列{a n }的公差是d ，利用等差数列的前n 项和公式化简S 10=S 20，求出公差d 的值，由此根据等差数列的前n 项和公式求出S n ，利用二次函数的性质求出S n 的最小值和对应的n 的值． 【详解】

设等差数列{a n }的公差是d ，

由a 1=-29，S 10=S 20得，1092019

1029202922

d d ???

-+?=?-+?（）（），

解得d=2，则2(1)

292302

n n n S n n n -=-+

?=-， ∴当n=15时，前n 项之和最小. 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，以及利用二次函数的性质求出S n 的最小值，属于中档题．

15．椭圆T ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭

圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．

【答案】

6

3

【解析】本题首先依题意可得直线BC ：a y x b b =

+以及直线AD ：()a

y x a b

=-．联立椭圆方程可得3244

2C a b x b a

-=+、5444D a ab x b a -=+，再通过3BC AD =可得33D C x x a -=，即223a b =，最后得出椭圆T 的离心率22

161133

b e a =-=-=。

【详解】

依题意可得1BC AD AB a

k k k b

==-

=， 因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点）， 所以直线BC ：a y x b b =

+，直线AD ：()a

y x a b

=-． 由(

)

4423222222220a

y x b

b a x a b x b

b x a y a b

ì=+??+=í?+=?，

所以3232

444

4

22C B C a b a b x x x b a b a --+=?=++. 由(

)

4425624222222()

20a

y x a b a x a x a a b b

b x a y a b

ì=-??-+-=í?+=?，

所以62444A D a a b x x a b -?=+，54

4

4

D a ab x b a -=+. 因为()2

10C a

CB x b 骣琪=+琪

桫

，()2

1D a

AD a x b 骣琪+琪

桫

，

由3BC AD =可得33D C x x a -=，所以223a b =，

椭圆T 的离心率22

16

113b e a =-=-=63。 【点睛】

本题考查椭圆及双曲线的离心率公式，考查椭圆及双曲线的几何性质，考查计算能力，考查化归与转化思想，属于中档题。

16．函数3

2

()sin 3cos ,32f x x x x ππ??

??=+∈-

????

???的值域为_________． 【答案】633?

-???

【解析】利用换元法，得到()3

2

3g t t 3t 3,t 2??

=-+∈-????

，利用导数求得函数()g t 的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案． 【详解】

由题意，可得()3

2

3

2

ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32??

=+=-+∈-

???

?， 令t sinx =，3t ??∈????，即()32

g t t 3t 3=-+，3t ??∈????

则()()2

g't 3t 6t 3t t 2=-=-，

当3

t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>， 即()y g t =在3??

????为增函数，在[]0,1为减函数， 又3633g 28?--= ??，()g 03=，()g 11=， 故函数的值域为：6333??

-?

???

． 【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法

得到函数()g t ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．

三、解答题

17．如图，在四边形ABCD 中，2,3,3ABC B AB S π?∠=

=334

=.

(1)求ACB ∠的大小； (2)若,4

BC CD ADC π

⊥∠=，求AD 的长．

【答案】（1）

6π

；（2362

【解析】(1)本题首先可以在ABC ?中通过解三角形面积公式计算出BC 的长度，然后通过BC 的长度等于AB 的长度即可得出结果；

(2)首先可以根据BC CD ⊥以及(1)中的结论得出ACD ∠的度数，然后通过余弦定理计算出AC 的长度，最后在ACD V 中通过正弦定理即可得出结果。 【详解】

（1）在ABC ?中，1

sin 2

ABC S AB BC ABC =??∠V 所以

1233

3sin 234

BC π=

，3BC =，AB BC =， 又因为23B π∠=

，所以6

ACB π

∠=； （2）因为BC CD ⊥，所以3

ACD π

∠=

，

由余弦定理得2

2

2

22cos

3

AC AB BC AB BC π

=+-?? 2

2

1333392??

=

+--= ???

，

所以3AC =，

在ACD V 中由正弦定理得，

sin sin AC AD

ADC ACD

=∠∠，

所以

3sin

sin3

36

sin2

sin

4

AC ACD

AD

ADC

π

π

?∠

===

∠

。

【点睛】

本题考查了解三角形的相关性质，主要考查解三角形正弦定理、解三角形余弦定理、解三角形面积公式的使用，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，是中档题。

18．为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性，在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生，计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分，并绘制成如图所示的茎叶图．

（1）请根据茎叶图判断，男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好？请用数据证明你的判断；

（2）以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点，将各类人数填入如下的列联表：

分数

性别

高于或等于x0低于x0合计

男生

女生

合计

（3）请根据（2）中的列联表，判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关？

附：K2=()()()()

2

()

n ad bc

a b c d a c b d

-

++++

P（K2≥k0）0.0500.0250.0100.0050.001

k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828

【答案】（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．证明略（2）见解析；（3）没有99%的把握认为男

生和女生对数学学习具有明显的差异．

【解析】（1）根据男生成绩分布在8090

:的较多，其他分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在7080

:的较多，其它分布茎70具有初步对称性，因此可判定男生成绩比女生成绩较好；

（2）计算样本50个数据的平均值为

079.68

x=，依次为分界点，将各类人数填入列联表即可；

（3）根据公式，计算出2

K的值，结合临界值表，即可得到结论．

【详解】

解：（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．

理由如下：

①由茎叶图可知：男生成绩分布在8090

:的较多，其它分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在7080

:的较多，其它分布关于茎70具有初步对称性．

因此男生成绩比女生成绩较好．

②由茎叶图可知：男生组25人中，有17人（占68%）超过80分，女生组25人中，只有8人（占32%）超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩好．

③由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是85分，女生组成绩的中位数是75分，85＞75，由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好．

④用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是83．4，女生组成绩的平均分是75.96分，因此男生组成绩比女生组成绩高．或者，由茎叶图直观发现，男生平均成绩必然高于80分，女生平均成绩必然低于80分，可以判断男生成绩高于女生成绩．

（2）计算样本50个数据的平均值为079.68

x=，以此为分界点，将各类人数填入列联表如下：

分数

性别高于或等于

x0低于

x合计

男生17 8 25 女生8 17 25 合计25 25 50

（3）计算得

2

2

50(171788)

6.48 6.635

25252525

K

?-?

==<

???

，

所以没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．（或者回答为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异．） 【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中认真审题，根据独立性检验的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 19．如图，菱形ABCD 和直角梯形CDEF 所在平面互相垂直，

4,2,AB DE CF BAD ===∠=60,//,DE CF CD DE ⊥o .

(1)求证：BD AF ⊥；

(2)求四棱锥A CDEF -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】(1)本题首先可以通过菱形ABCD 和直角梯形CDEF 所在平面互相垂直来证明出CF ⊥平面

ABCD ，然后通过CF ⊥平面ABCD 证明出CF BD ⊥，再通过菱形的性质证明出AC BD ⊥，最后

通过线面垂直的相关性质即可证明出BD ⊥平面ACF 以及BD AF ⊥；

(2)本题首先可以过点A 向CD 做垂线，垂线就是四棱锥A CDEF -的高，再通过四棱锥A CDEF -的体积公式即可得出结果。 【详解】

（1）因为//DE CF ，CD DE ⊥，所以CF CD ⊥，

又因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，且平面ABCD ?平面CDEF CD =， 所以CF ⊥平面ABCD ，

因为BD ?平面ABCD ，所以CF BD ⊥， 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，

又因为AC ?平面ACF 、CF ?平面ACF 、AC CF C ?=，所以BD ⊥平面ACF ， 又因为AF ?平面ACF ，所以BD AF ⊥；

（2）

如图所示，过点A 向CD 做垂线，垂足为H ，即AH CD ⊥，

因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，且平面ABCD ?平面CDEF CD =，AH ⊥平面CDEF ， 在直角三角形ADH 中有AD 4=、ADH 60∠=?，所以3AH = 所以四棱锥A CDEF -的体积()111

4242383332

A CDEF CDEF V S AH -=??=??+??=。 【点睛】

本题主要考查了线线垂直的证明以及四棱锥体积的求法，线线垂直可以通过线面垂直来证明，四棱锥的体积公式为1

V 3

sh =

，考查数形结合思想，考查空间想象能力，锻炼了学生的几何思维，是中档题。 20．设抛物线2:2C y x =，点()2,0A -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点． （1）当点M 为AN 中点时，求直线l 的方程；

（2）设点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 过定点． 【答案】(1) )2

23

=±

+y x ；(2)见证明 【解析】（1）由已知设M 的坐标，利用中点坐标公式得到N 的坐标，把两坐标代入抛物线方程，联立求得M 坐标，进一步求得直线l 的斜率，则直线方程可求；（2）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，再设,M N 的坐标，利用根与系数的关系及斜率公式可得PN 的斜率，代入直线方程，化简整理即可得到直线PN 过定点． 【详解】

（1）设()00,M x y ，则()0022,2+N x y ，

由,M N 在抛物线C 上，得()()2

200002,2222==+y x y x ，

解得(1,2±M ，故l 的斜率为2

3

±

． ∴直线l 的方程为()2

23

=±

+y x ； 证明：（2）由题意知，l 的斜率存在且不为0，设()():20=+≠l y k x k ．

代入22y x =，得2

240-+=ky y k ． 由>0?，得2

14

k <

． 设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,P x y -，

12122

,4+=

=y y y y k

． ∴21

21+=

-PN y y k x x ，故直线PN 的方程为()211121

y y y y x x x x ++=

--． 整理得：()21

21

2+=

--y y y x x x ．

∴直线PN 过定点（2，0）． 【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题． 21．已知函数2()ln f x x ax x =+-（a R ∈，a 为常数）. （1）当1a =-时，若方程()b

f x x

=

有实根，求b 的最小值； （2）设()()x

F x f x e -=?，若()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围. 【答案】(1) 最小值为0. (2) 2a ≤

【解析】（1）当1a =-时，利用导数求得()f x 的最小值为()10f =，所以()0b xf x =≥，故b 的最小值为0.

（2）首先求得()F x 的解析式，利用二次求导的方法，结合()F x 在区间(0,1]上是单调函数，将a 分成2a ≤和2a >两种情况进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】

（1）当1a =-时，2

()ln f x x x x =--，

1(1)(21)

()21x x f x x x x

'-+=--

=

. 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.

∴()()10f x f ≥=. 由()b

f x x

=

，得()b xf x =， 又0x >，∴0b ≥.即b 的最小值为0.

（2）∵()()x F x f x e -=?，∴2

1(2)ln ()x

x a x a x

x F x e '-+-+-+=

. 设2

1()(2)ln h x x a x a x x

=-+-+-

+，则211

()22h x x a x x '=-+++-，

可知()h x '在(0,1]上为减函数.

从而()(1)2h x h a ''

=-…

. ①当20a -≥，即2a ≤时，()0h x '≥，()h x 在区间(0,1]上为增函数，

∵()10h =，∴()0h x ≤在区间(0,1]上恒成立，即()0F x '≤在区间(0,1]上恒成立. ∴()F x 在区间(0,1]上是减函数，故2a ≤满足题意； ②当20a -<，即2a >时，设函数()h x '的唯一零点为0x ， 则()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减.

又∵()10h =，∴()00h x >，∴()F x 在()0,1x 上单调递增， ∵()0a

h e

-<，∴()F x 在()0,a

e -上递减，

这与()F x 在区间(0,1]上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意. 综合①②得：2a ≤. 【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线22

1:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ

=+??

=? （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线．．

6

π

θ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，

求MAB ?的面积

【答案】（1）2222

cos sin 2ρθρθ-=，4cos ρθ=；（2）

333

- 【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求MAB ?的面积． 试题解析：

（1）曲线1C 的极坐标方程为：2

2

2

2

cos sin 2ρθρθ-= ，

因为曲线2C 的普通方程为：()2

224x y -+= ，2

2

40.x y x ∴+-=

∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．

（2） 由（1）得：点A 的极坐标为2,6π?? ???， 点B 的极坐标为23,6π?

? ??

?

∴ 223232AB =-=-

()3,0M 点到射线()06

π

θρ=

≥的距离为3

3sin

6

2

d π

==

∴ MAB ?的面积为 ()

113333232222AB d -?=?-?=.

23．已知函数

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）

； （2）

.

【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集． （2）不等式 ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，

转化求解即可．

【详解】

因为，所以．

（1）当时，

所以由，可得或或，

解得或，

故原不等式的解集为．

（2）因为，

令，则由题设可得，

由，得．

因为，所以．

故，从而，即，

又已知，故实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.