信号检测与估计理论第一章习题讲解

1-9 已知随机变量X 的分布函数为

2

0,

0(),01

1,1

X x F x kx x x

=≤≤??>?

求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解：

第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问

{}

{}{}()()0.30.70.30

.70.70

.3

0.7P X P X F P X F =<<

=<≤-=-

第③问 201()()0

X X x

x d F x f x else

dx ≤

?

1-10已知随机变量X 的概率密度为()()x

X f x ke x -=-∞<<+∞（拉

普拉斯分布），求：

①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问

()1

1

2

f x

d x k ∞

-∞==? 第②问 {

}()(

)()2

1

1

221x x P x X x

F x F x

f

x d x

<≤

=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()

1

0101011

12

P X P X f x dx

e -<<=<≤==-?

第③问

()102

10

2

x

x e x f x e x -?≤??=?

?>??

()00()1100

2

2

111010

2

22

x

x x

x

x x x x F x f x dx

e dx x e

x e dx e dx

x e x -∞

-∞---∞=??≤≤???

?==????+>->?????

???

1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

,(01)p q λ

→∞→→∞→????????→????????→????????→n=1

n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布

二项分布泊松分布

高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案

0.1

P(2)1 1.1k e -≥=-10

0.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布

()np

!

k e P X k k λ

λλ-=＝

＝

1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为

(34)0,0

(,)0x y XY ke

x y f x y -+?>>?=?

??

,,其它

求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？

第③问 方法一：

联合分布函数(,)XY F x y 性质：

若任意四个实数1

2

1

2

,,,a a b b ，满足

1212,a a b b ≤≤，则

121222111221{,}(,)(,)(,)(,)

XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--

{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ?<≤<≤=+--

方法二：利用

(){(,)},XY D

P x y D f u v dudv

∈∈??

)(21

0{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=?

?

1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为

101,(,)0x y x

f x y ?<<<=??

,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度()X f x 、()Y f y

注意上下限的选取

()X 2,01

,01(),00,x

x XY x x dy x f x f x y dy else else +∞--∞?<<<

???

??， ()1

1

,01

1||(),,100

11,y Y XY y

dx

y y f y f x y dx dx y else

y else

+∞-∞

-?

<

-?

?===?

?-<<-<

???

1-14 已知离散型随机变量X 的分布律为

求：①X 的分布函数31X +的分布律

1-15 已知随机变量X 服从标准高斯分布。求：①随机变量X

Y e =的概率密度？②随机变量Z X =的概率密度？ 分析:①[]()'()()Y X f y h y f h y =?

②1122()|'()|[()]|'()|[()]Y X X f y h y f h y

h y f h y =?+?

答案:

()2

2

ln 2

2

100()()00

y z Y Z e y z f y f z else

else

-

-?>≥==?

?

1-16 已知随机变量1

X 和2

X 相互独立，概率密度分别为

1112

1111,0()2

0,0

x X e x f x x -??≥=??

，

2213

2221,0()3

0,0

x X e x f x x -??≥=??

求随机变量12Y X X =+的概率密度？

解：设112

21()Y Y X X Y X ==+??=?任意的 求反函数，求雅克比J ＝－1

()12

121136

121210,6

0y y Y Y e y y f y y else

--??≥≥=???

()11111

321100

y y Y e e y f y else --??-≥=????

1-17 已知随机变量,X Y 的联合分布律为

{}5

32m,,,0,1,2,!!m n e P X Y n m n m n -====

求：①边缘分布律

{}m (0,1,2,)

P X m == 和{}(0,1,2,)P Y n n == ？

②条件分布律{}m |P X Y n ==和{}|m P Y n X ==？

分析：{}32

532m,,,0,1,2,!!32!!

m n m n e P X Y n m n m n e e m n ---=?====

泊松分布 {},0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-==

=

{}0

1!

!

k k k

k k P X k e e e k e k λ

λλλλλ-∞

=∞∞

--======?=∑∑

∑

P19 （1－48）

解：①{}{}12

1

332m !m,!n m n n e P X P X Y n e n m -=∞

=∞-=====∑∑

{}{}2

1

n m 2,!n n P Y P X Y n e n ∞

=-=====∑同理 ②{}{}{}m,n P X Y n P X m P Y ?====＝ 即X 、Y 相互独立

1-18 已知随机变量1

2,,,n

X X

X 相互独立，概率密度分别为

1122(),(),,()

n n f x f x f x 。又随机变量

1121212n n

Y X Y X X Y X X X =??

=+??

??=+++?

证明：随机变量1

2

,,,n

Y Y Y 的联合概率密度为

12112211(,,,)()()()

Y n n n n f y y y f y f y y f y y -=--

11

212121

212323211211

121n n n n n n n n

Y X Y X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X ----=??

=+=-????=++=-???

?

????=+++=-??=+++?+??

1

00001100

01

001000

011000011

J -=

=--

因为|J|＝1,故 已知随机变量

12,,,n

X X X 相互独立，概率密度分别为

1122(),(),,()

n n f x f x f x

X 121211(,,,)(,,,)

n Y n n f y y y f y y y y y -=-- 12121111221X 1(,,,)(,,,)

()()()

n n n n n n Y f y y y f y y y y y f y f y y f y y --=--=--

1-19 已知随机变量X 服从拉普拉斯分布，其概率密度为

1(),2

x

X f x e

x -=-∞<<+∞

求其数学期望与方差？

解:

[](

)

()

2

22222

00

121(022222

)()X x

x

x

X x

x

x

x

x E X x dx x dx E X x dx x dx x dx x e

e dx e

xdx

xe

e f x e d f x x e e ∞

∞

-∞-∞∞∞-∞-∞∞

∞-+∞

-∞-∞-+∞----===??==??==-+=?=-+=????????奇函数

偶函数

1-20 已知随机变量X 可能取值为{4,1,2,3,4}--，且每个值出

现的概率均为15。求：①随机变量X 的数学期望和方差？②随机变量23Y X =的概率密度？③Y 的数学期望和方差？

①③

答案: ② Y 3 12 27 48 P

1/5

1/5

1/5

2/5

离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式

()()1k k k f x p x x δ∞

==-∑ 其中(),0

,0

x x x δ∞=?=?

≠? 为冲激函数

()()()()()()1

312272485

Y f y y y y y δδδδ=-+-+-+-

[]21

21

2

[][()]()[]

D [][]

k k k k k

k E X x p E g X g x p E X X E X E X ∞

=∞

===?=-∑∑[][]2

2

446214[][]D 55251388406[][]1098D 525

E X E X X E Y E Y Y ===

===

1-22 已知两个随机变量,X Y 的数学期望为1,2X Y m m ==，方

差为224,1X Y σσ==，相关系数0.4XY ρ=。现定义新随机变量

,V W 为

23V X Y

W X Y

=-+??=+? 求,V W 的期望，方差以及它们的相关系数？

[][][][][][][][][][]22374.817.8

2XY

E V E W D V D W E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abC +=+++=+====

XY

XY X Y

C ρσσ=

0.13

1-23 已知随机变量,X Y 满足Y aX b =+，,a b 皆为常数。证明： ① 2

XY X

C a σ=；②

1010XY

a a ρ>?=?-

；③ 当0X m ≠且2[]

[]aE X b E X =-时，

随机变量,X Y 正交。

① X Y X Y X C R m m =-

[][][]()2

2

XY X C a X X

E Y E aX b am b

E XY E X aX b aE X bm σ=+=+??=+=+???????＝

②XY

XY X Y

C ρσσ=

()()()222X aX b a D Y D D X a σ===+

2

XY

XY X Y

C a a a

ρσσ=

=

=

③0XY R ?正交＝

[]22[][]X

E XY aE X bm aE X b E X ???=+???

??=-

??

得证

1-25 已知随机变量,X Y 相互独立，分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布。①求随机变量X 的数学期望和方差？②证明

Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布。

解：① 泊松分布

{}0

!k

k e P X k k λλ-∞

===∑

特征函数的定义 ()()

00

!!

k

ju k juX

juk

X k k e Q u E e e e e k k λ

λ

λλ

∞

∞

--==??==??=???∑∑ 由0

!k

x

k x e k ∞

==∑(1-17

题用过) 可得()(1)

ju

ju e e X Q u e

e

e

λλ

λ--=?=

[]()()()

()1

00

ju e X u u dQ u de

E X j j d u d u

λλ

-===-=-=

()

()()()1

2

22

22

22

200

ju

e X u u d Q u d e

E X j j d u d u

λλλ-==??=-=-=+??

②根据特征函数的性质，X Y 相互独立，

()()()12()(1)

ju e Z X Y Q u Q u Q u e

λλ+-=?=

表明Z 服从参数为12λλ+的泊松分布

1-26 已知随机变量,X Y 的联合特征函数为

6

(,)623XY Q u v ju jv uv =

---

求：①随机变量X 的特征函数 ②随机变量Y 的期望和方差

解：①3

()()30,X XY Q u Q u ju ==

-

②02

()(),2Y XY Q v v Q jv ==-

0()

[]()k

k k

X k u d Q u E X j du ==-

()

()

4

22

22()()48

22Y Y dQ v d Q j

jv v d v v v jv d j -==--

222002()()1

1

[]()[]2

(2)Y Y v v d Q v d Q v E Y j E Y du u j d ===

=-=-=

1-28 已知两个独立的随机变量,X Y 的特征函数分别是()X Q u 和

()Y Q u ，求随机变量3(1)2(4)Z X Y =++-特征函数()Z Q u ？

解：

特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积

X 、Y 独立，

因此有 3(1)X +和2(1)Y +独立

独立的等价条件（充分必要条件）

① (,)()()XY X Y f x y f x f y =*

②

1,1()()()k n k n

k n E X Y E X E Y ?≥≥= ③ ()()1

2

X 12X 1X 2Q (u ,u )=Q u Q u ?

1-29 已知二维高斯变量1

2

(,)X X 中，高斯变量1

2

,X X 的期望分别为

12,m m ，方差分别为22

12,σσ，相关系数为ρ。令

112211121

21,

X m X m X m Y Y ρσσσ??

---==-?? ① 写出二维高斯变量12(,)X X 的概率密度和特征函数的矩阵形

式，并展开； ② 证明12(,)Y Y 相互独立，皆服从标准高斯分布。

解：11

22

1212

,X m X m X X σσ--==

1~(0,1)X N ，2~(0,1)X N ，

12X X ρρ=

)112211,Y X Y X X ρ==

-

系数矩阵10

A ?

?

?= ?

Y AX =

，线性变换，故Y 也服从高斯分布

00Y X M AM ??== ???

1

10101T

T

Y X C AC A A A ρρ

??

??===

? ?????

0()ij C i j =≠，故1Y 2Y 不相关，

高斯变量不相关和独立等价，1Y 2Y 独立

1-30 已知二维高斯变量12(,)X X 的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为2

σ。令

112212Y X X Y X X αβαβ=+??

=-?

其中0,0αβ≠≠为常数。①证明：12(,)Y Y 服从二维高斯分布； ②求12(,)Y Y 的均值和协方差矩阵； ③证明：12,Y Y 相互独立的条件为αβ=±。

复习： n 维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的

2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

解：①

②

③12,Y Y 相互独立、二维高斯矢量 因此12,Y Y 互不相关 只要证Y C 为对角证

即

1122Y X Y X αβαβ+????

??=??????-??????

00Y X M AM ??==???? 22

222

22

22

T Y X C AC A ββσββ??

?+?-==???-?+???

?

220ββ?-=??=±

1-31

已知三维高斯随机矢量123X X X X ????=??????

均值为常矢量a ，方差阵为

222254244B -??

??=-????--??

证明：121123,,323X X X X X X -++相互独立。

复习： n 维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的

2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

思路：设随机矢量

11

2123123

1233Y X Y Y X X Y X X X ??

????????==-+??????????++??

??

由性质可得Y

为三维高斯变量，求得方差阵Y C

为对角阵

T

Y X =C AC A

1002001

100

301220003

3

3Y A C ?

???????

????=-=????

????????

??

?

?