2021年成都市七年级上期培优专题-绝对值

子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

例1:已知卜一21+年一31=0,求x+y的值。

【例瞄青讲】

（-）绝对值的非负性问题

1.非负性：若有几个非负数的和为0 ,那么这几个非负数均为0.

2.绝对值的非负性；若同+问+上| = 0 ,则必有” =0 ,b = 0 , c = 0

【例题】若卜+3|+|），+ 1| + ,+5| = 0，则x-y-z=。

总结：若干非奂数之和为0 , O

【巩固】若卜〃 + 3| + 〃一 1 + 2一 1| = 0，则p-\-2n + 3m =

【巩固】先化简，再求值：3。6- 2ab2 -2（ab-^a2b） +2ab .其中。、%满足|。+ 3匕+ 1| + （2〃-4）2 =0.

（二）绝对值的性质

【例1】若a<0 ,则4a+71al等于（）

A . 1 la

B . -1 la

C . -3a

D . 3a

【例2］一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）

A. 1 ,0 B .正数 C .非正数 D ,非负数

【例3】已知1x1=5 , lyl=2，且xy >。，则x-y的值等于（）

A . 7 或-7

B . 7 或 3

C . 3 或-3

D . -7 或-3

【例4】若刊=7 ,则*是(

)

x A .正数 B .负数 C .非负数 D .非正数

【例5】已知：2>0/<0,团<山<1,那么以下判断正确的是( )

A . l-b>-b> l+a>a

B . l+a>a> 1-b>-b

【例11】已知a , b , c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则 I II II I

lc-bl-lb-al-la-cl= ?1 0 ° ' b

C . l+a> l-b>a>-b

D . 1-b > l+a>-b>a

【例6］已知a . b 互为相反数，且la-bl=6 ,则lb J 的值为( )

A . 2

B . 2 或3

C . 4

D . 2 或4

【例 7】a < 0 , ab < 0 ,计算lb-a+ll-la-b-51,结果为( )

A . 6

B . -4 【例8】若lx+yl=y-x ,则有( A.y>0,x<0

C ?-2a+2b+6

D . 2a-2b-6

)

B . y<0,x>0 【例 9］已知：x < 0 < z , xy > 0 ,且lyl > lzl> Ixl f 那么Ix+zhdy+zl-lx-yl 的值( )

A.是正数

B.是负数

C.是零

D.不能确定符号

【例10］给出下面说法：

(1 )互为相反数的两数的绝对值相等；

(2 )一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

(3 )若Iml > m ,则 m < 0 ；

(4 )若lai > Ibl ,则a > b ,其中正确的有( )

A. (1) (2) (3)

B. (1) (2) (4)

C. (1) (3) (4)

D. (2) (3) (4)

【巩固】知 a、b、c x d 都是整数，且la+bl+lb+cl+lc+dl+ld+al=2 ,求la+dl的值。

【例 12]若 x < -2 ,贝!Jll-ll+xll=

若lal=-a ,则la-ll-la-2l=

【例 13】计算+....+ —-———?—=

2 3 2 2007 2006 ------------

【例14] §lal+a=0 f labl=ab , lcl-c=0，化简：lbl-la+bl-lc-bl+la-cl=

【例15】已知数〃，4c的大小关系如图所丞_ _______ _ _______ 一^

b 0 a c

则下列各式：

①Z? + a + (-c)>0 ； @(-6r)-Z? + c>0 ；(3)—+—+ y = l ；?bc-a>0； H H。

⑤卜/ 一M-+ /?| +\a — c| = -2b .其中正确的有.(请填写番号)

【巩固】已知：abc^O ,且M=H + 1^ + L!，当a z b , c取不同值时，M有_____ 种不同可能.

a h c

当a、b、c都?E数时，M=；

当a、b、c中有一个负数时，则M=；

当a、b、c中有2个负数时，则M=；

当a、b、c都是负数时，M= .

【巩固】已知“，从c是非零整数，且“+A + c = O ,求言+箸一半的值

回 \b\ kl \abc\

(三)绝对值相关化简问题(零点分段法)

零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号.

【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

x(x>0)

我们知道凶=]0(.r = 0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,

-r(x<0)

如化简代融|x + l| + |x — 2|时，可令x + l=0和X—2 = 0，分别求彳导x =—l,x = 2(称一1,2分另U为k+ 1|与k一2|的

零点值)，在有理数范围内，零点值八=-1和“ =2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：

(1)当x<-l 时，原式=-(工 + 1)-(刀-2) = -2刀+1

⑵当-1，<2时，原式=、+ 1-(工-2) = 3

⑶当Q2时，原式= x+l+x-2 = 2x-l

^2A +1(X<-1)

综上讨论，原式=3(-1W X<2)

2%-1(x2 2)

(1 )求出卜+ 2|和|x-4|的零点值(2 )化简代数式|x + 2| + |x-4|

解：(1) lx+21和lx?4l的零点值分别为x=-2和x=4.

(2)当 xV-2 时，lx+2l+lx-4l=-2x+2：

当-2&V4 时，lx+2l+lx-4l=6;

当应4 时，lx+2l+lx-4l=2x-2.

【巩固】化简

1. |x + l| + |x + 2|

2.网 + |〃1-1| + |〃?-2|的值

3. |X +5|+|2A-3|.

4. (l)|2x-l| ；

变式5.已知k一3| +卜+ 2|的最小值是“，卜一3| —k+ 2|的最大值为。，求4 的值。

(四表示数轴上表示数“、数b的两点间的距离.

【例题】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5, -2与-6, -4与3. 并回答下列各题：

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：.

(2)若数轴上的点A表示的数为x ,点B表示的数为一1 ,则A与B两点间的距离可以表示为:

⑶结合数轴求得lx-2l+lx+3l的最小值为一,取得最小值时x的取值范围为一.

(4)满足卜+1| +卜+ 4| > 3的x的取值范围为:

(5)若--1| +卜-2| +卜-3|+一+.一2008|的值为常数，试求式的取值范围.

（五, 绝对值的最值问题

例题1： 1 ）当X取何值时，IX-II有最小值，这个最小值是多少？

2）当x取何值时,lx-11+3有最小值，这个最小值是多少？

3）当x取何值时，lx-11-3有最小值，这个最小值是多少？

4 ）当x取何值时，-3+lx-ll有最小值，这个最小值是多少？

例题2 ： 1 ）当x取何值时，-lx-II有最大值，这个最大值是多少？

2）当x取何值时，-lx-11+3有最大值，这个最大值是多少？

3）当x取何值时，-lx-11-3有最大值，这个最大值是多少?

4 ）当x取何值时，3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点；

1）非负数：0和正数，有最小值是0

2）非正数：。和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即昨0，则-同里）

4）x是任意有理数，m是常数，贝服口叫沙,有最小值是0 ,

-|x+m|<0有最大值是0

（可以理解为X是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|* , -|x+3区0或者lx-l|NO , -lx-l|<0 ）

5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|g ,有最小值是n

-|x+m|+n

（可以理解为lx+ml+n是由lx+ml的值向右（n>0）或者向左（nvO）平移了Ini个单位，为如lx-1 |沙，则I X-1I+3N3,相当于

lx-II的值整体向右平移了 3个单位,lx-l|>0 ,有最小值是0 ,则lx-ll+3的最小值是3 ）

总结：根据3 [ 4）、5 ）可以发现，

当绝对值前面是号时，代数式有最小值，

有号时，代数式有最大值.

例题1 ： 1 ）当X取何值时，IX-II有最小值，这个最小值是多少？

2）当x取何值时，lx-11+3有最小值，这个最小值是多少？

3）当x取何值时，lx-11-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x取何值时，-3+lx-II有最小值，这个最小值是多少？

解1 ）当x-l=O时，即x=l时，lx-11有最小值是0

2）当x-l=O时，即x=l时，lx-11+3有最小值是3

3）当x-l=O时，即x=l时，lx-ll-3有最小值是-3

____ 4）此题可以将~3+k-11变形为收-11-3,即当x-l=O时，即x=l时,lx-ll-3有最小值是-3

例超2 ： 1 ）当x取何值时，-lx-II有最大值，这个最大值是多少？

2）当x取何值时，-lx-11+3有最大值，这个最大值是多少？

3）当x取何值时，-lx-ll-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少？

思考L若x是任意有理数，a和b是常数,贝！J

1） Ix+al有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

2） lx+al+b有最大（小）值？最大（小）值是多少?此时x值是多少？

3） -lx+al+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少? ________ 例题3 ：求lx+ll+lx-21的最小值，并求出此时x的取值范围

例题4 ：求*+111+收-121+"131的最小值,并求出此时x的值？

例题4 ：求代数式lx?ll+lx?2l+lx-3l+lx，4l的最小值

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5 :求"111+双-121+"131的最小值,并求出此时x的值？

[例题6] lx-II的最小值

lx-ll+lx-21的最小值

lx-ll+lx-2l+lx-3l 的最小值

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx ⑷的最小值

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx

lx-ll+lx-2l+lx-3l+lx

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l 的最/J\ 值

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx

lx-1 l+lx-2l+lx-3l+lx-4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l+lx-91+lx-101 的最直

【例题7]( 1 )已知1x73 ,求x的值

(2 )已知|x饪3 ,求x的取值范围

(3 )已知1x1 < 3 ,求x的取值范围

(4 )已知国之3 ,求x的取值范围

(5 )已知1x1 > 3 ,求x的取值范围

[例题8]

(1 )已知闲§,则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少?

(2 )已知1x1 < 3 ,则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少?

【乘方最值问题】

(1 )当a取何值时，代数式(a-3)2有最小值，最小值是多少？

(2 )当a取何值时，代数式(a-3)44有最小值，最小值是多少？

(3 )当a取何值时,代数式(a-3产< 有最小值，最小值是多少？

(4 )当a取何值时，代数式-(a-3)2有最大值，最大值是多少？

(5 )当a取何值时，代数式-(a-3)44有最大值，最大值是多少？

(6 )当a取何值时，代数式一⑶3%4有最大值，最大值是多少？

(7 )当a取何值时，代数式4- (a-3)嘴最大值，最大值是多少？

［探究1］某公共汽车运营线路AB段上有A. D. C. B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站

M ,为了使加油站选址合理，要求A. B. C. D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在

何处选址最好？

【探究2］如果某公共汽车运营线路上有Al , A2 , A3A4 , A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？

【探究3］如果某公共汽车运营线路上有Al , A2 , A3，…，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？ A 用工

【探究4】根据以上结论，求lx?ll+lx?2l+.?…+lx-616l+lx-617l的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1. 2,….617各点的距离之和最小。

【课就习】 1.( 1 )当X取何值时，卜-3|有最小值？这个最小值是多少？

(2 )当x取何值时，5 -卜+ 2|有最大值？这个最大值是多少？

(3 )求卜―4| +,-5怕勺最小值。

(4 )求卜一 7| +打一 8| +卜一 9|的最〃 '值。

2 .已知,设“=,+? +卜+ 1|+的一“一4|，求M的最大值与最小值.

3、若.+H1I与伍一HD?互为相反数，求3。+力-1的值。

4 .若卜，+ 〃 + 1|与(〃 - " 1) 2互为相反数，则a与b的大小关系是().

A . a>b

B . a=b

C . a

D . a>b

5 .利用数轴分析lx-2l+lx+3l ,可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x至53的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x> 时,发现,这两条线段的和随x的增大而越来越大；

⑵当x<时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；

⑶当

因此，总结，lx-2l+lx+3l有最小值,即等于到的距离。

6.利用数轴分析lx+71-lx-ll ,这个式子表示的是x到-7的距离与x至I」1的距离之差

它表示两条线段相减：

⑴当烂时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑵当x>时，发现,无论X取何值，这个差值是一个定值；

⑶当<工< 时，随着X增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子lx+71-lx-ll当x 时，有最大值；当x 时，有最小值

7.设.+ 〃+ c = 0 f abc>0，则的值是（）.

A . -3

B . 1

C . 3 或-1

D . -3 或 1

8.设"、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且, 则上-4 + 84 +g4可能取得的最大值是

绝对值(零点分段法、化简、最值)

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其 解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

X(Y > 0)

根据实数含绝对值的意义，即1X1= 一 ］，有

-x(x < 0)

x < 一c 或％ > c(c > 0)

x H 0(c = 0) x e R(c<0)

%

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化Ixlvc 或1,门>。(。>0)来解，如Ica + 〃I>C (c >0)可为O ￥+〃>C 或at+〃< - c ； \ax+b\

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论” 〃 ￡ x 饪人O 〃 S x W 〃或W X W -。” 来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有''单项"绝对值的不等式，利用IW 2=/可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝 对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没 有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数为，X 2 ,……，五分别使含有IX - xj f \x - x 2\,……,lx -乙I 的代数式 中相应绝对值为零，称为，X,,……，/为相应绝

对值的零点，零点/ ............ .. 4将数轴分为机+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在 各段-c 0) ；\x\>c = 0(c < 0) Ixkc <=><

上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于lx-4l + lx-或 lx-i/l + Lv-/?l＜m(m为正常数)类型不等式。对I仪+。I +1 ex + d 1＞机(或＜〃?)，当I4罔c I时一般不用。

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

(-X根据题设条件

例1 ：设XO1 ,化简2- |2-|x-2| I的结果是(\

(A ) 2-x ( B ) 2+x (C) -2+x ( D ) -2-x

(二X借助数轴

例2 ：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式lal-la+bl+lc-al+lbd的值等于( )

(A)-a ( B ) 2a-2b (C ) 2c-a (D)a

_____i ------ 1 - 1 ------ 1 ----- ?

b a 0 c

（三）、采用零点分段讨论法例 3 ：化简 2lx-2l-lx+4l

三、带绝对值符号的运算

如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。

（一）、要理解数a的绝对值的定义。

数a的绝对值是这样定义的「在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。.‘应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么,不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-屋）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用1

（三/掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如I a |的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，| a | = a （性质1 :正数的绝对值是它本身）；

当a=0时，|a|=0 （性质2 ： 0的绝对值是0）；

当a<0时；I a | = -a （性质3 ：负数的绝对值是它的相反数）。

2、对于形如I a+b |的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性

质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，| a+b | = (a+b) =a +b (性质1 :正数的绝对值是它本身)；

当a+b=O时，| a+b | = (a+b) =0 (性质2 ： 0的绝对值是0)；

当a+b<0时，| a+b | =-(a+b)=-a-b (性质3 ：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如I a-b |的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3

个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负\

因为I大-小I = I小-大I =大-小,

所以当 a>b 时，| a-b | = ( a-b ) = a-b , | b-a | = ( a-b ) = a-b 0

| 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如I a-b |的一类问题，只要判断出a在b的右边(不论正负),便可得到 | a-b | = ( a-b ) =a-b , | b-a | = ( a-b ) =a-b 0

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所i胃，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之亳厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0 的整

体前面加负号。

四.去绝对值化简专题练习

(1)设*<-1化简2-|2-r-2||的结果是(\

(A ) 2-x ( B ) 2+x (C) -2+x ( D ) -2-x

(2 )实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式lal-la+bl+lc-al+lb-cl的值

等于( )

(A)-a ( B ) 2a-2b ( C ) 2c-a (D)a

1 1-i 1 > b a 0 c

(3 )已知定2 ,化简2lx-2l-lx+4l的结果是x-8 0

(4 )已知 x<-4 ,化简 2lx-2l-lx+4l的结果是- -x+8。

(5 )已知乂夕<2，化简2lx-2Ux+4l的结果是- -3x 0

(6)已知 a、b、c、d 满足 a<-l

那么a+b+c+d= () (提示：可借助数轴完成)

(7 )若 | -a | >-a ,则有(A \

(A ) a>0 ( B ) a<0 ( C ) a<-l ( D ) -l

(8)有理数“、仄c在数轴上的位置如图所示，则式子lal+lbl+la+bl+lb-cl化简

结果为(c ). ( A) 2a+3b-c ( B ) 3b< ( C ) b+c ( D ) c-b

-------1 ---- 1 -- 1 ---- 1 --- 1 ------- k

-1 a 0 b c

(9 )有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b , b-2a ,

la-bl , lal-lbl 中负数的个数是(B ). ( A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3

I ---1 --------- 1 -------- > a 0 b

(10)化简 lx+4l+2lx-2l=

(l)-3x (x<-4) (2)-x+8(-42)

(II)设x是实数，y=lx-ll+lx+ll下列四个结论中正确的是(D \

(A ) y没有最小值(B)有有限多个x使y取到最小值

(C)只有一个X 使y 取得最小值

(D )有无穷多个X 使y 取得最小值

变式2 .已知k―3| +卜+ 2|的最小值是“，卜一3|-卜+ 2|的最大值为人求a + 0的值。

【绝对值化简题例】

a a >Q

a 々=0成者|H = "：

-a a <0

例题1：化简代数式Mil

例题2 ：化简代数式lx+ll+lx-21

例题3 ：化简代数式lx+lll+lx-121+lx+BI

例题4 ：化简代数式lx ?ll+lx-2l+lx-3l+lx-4l 变式1.若Im ?ll=m-1 ,则m

1;若Im - 1 - 1 ,则 m. 1；

绝对值化简公式： a a>0 -a a <0