鲁棒控制理论与设计 第二章 泛函空间与逼近理论

鲁棒控制

鲁棒控制理论中的H∞控制理论 （浙江大学宁波理工学院信息科学与工程分院自动化） 【摘要】首先简要的介绍了鲁棒控制中的H∞控制理论，并把其发展分为两个阶段，而后就上当已存在的H∞控制的主要成果进行了讨论和归纳，还指出了H∞控制理论尚未解决的问题。 【关键词】H∞控制理论；非线性系统；时滞；范数 1.概述 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。主要的鲁棒控制理论有：Kharitonov区间理论；H∞控制理论；结构奇异值理论u理论； 鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 2．H∞控制理论出现的背景及意义 1981年，加拿大著名学者Zames在其论文中引入了H∞范数作为目标函数进行优化设计，标志着H∞控制理论的诞生。Zames考虑了这样一个单入单出( SISO)系统的设计问题: 假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集，要求设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器使之相应的灵敏度函数的H∞范数最小。 虽然Zames 首先提出了H∞最优化问题，但是他没能给出行之有效的解法。

现代控制理论第3章答案

第三章习题 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： 图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： 3 43432112332 211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=???? 状态空间表达式为： []x y u x x x x d c b a x x x x 01 000001100 011000000 43214321=? ???????????+????????????????????????----=??????? ? ??????????? ? 由于? 2x 、?3x 、? 4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：

x d c y u b a x x x x x x ?? ????=??????????+????????????????? ???---=?????? ?????????? ?00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。 要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统 X y u X X ?? ????-=?? ? ???+??????--=? 111111113113 试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： []?? ?? ??==?? ????-=????? ?=??????--=2-2-1 12-2-1 1AB B M 1111,1111,3113C B A 系统不能控。 ,21<=rankM ??? ? ? ???????----= ??????=44221111CA C N 系统能观。,2=rankN 方法二：将系统化为约旦标准形。 ()4 20133113 A I 212 -=-==-+=+--+= -λλλλλλ，

现代控制理论第三章

2.6 可控性与可观性 26 2.6.1 概述 经典控 制论中： 系统用传递函数描述。 只注重输入-输出间的直接关系！ 低阶系统，输出可控制亦可测量。 可控性与可观性不是问题。

现代控制论中： 系统描述：状态方程＋输出方程 由于状态?输入，输出?状态 所以要控制输出，首先要控制状态 并且使输出随状态发生变化输 （1）输入?状态间的问题： 输入是否使状态发生希望的变化？ ? 可控性问题 要使状态发生某种变化，输入？ 要使状态发生某种变化，输入＝？ ? 最优控制问题

（2）输出?状态间的问题： 状态可否从输出得到？ ? 可观测性问题 如何从输出得到？ ? 最优估计问题 &可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！ &如何处理可控性？可观测性？

可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力 可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力 问题： 状态可控？系统可控？ 状态不可控？系统不可控？ 状态可观测系统可测观 状态可观测？系统可测观？ 状态不可观测？系统不可观测？

个系统的可控性和可观测性 ?分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=???y x x 101/????+???????=u dt d x x 001/??+???=u dt d []x 01110=? ??y x 11110=?????????x x 0111/? ???+???=u dt d []y []x 0110=???????y

?x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=? ??y x ∫ ?1 u y 1 2 x ∫ 1?

鲁棒控制理论综述

鲁棒控制理论综述 作者学号： 摘要：本文首先介绍鲁棒控制理论涉及的两个基本概念（不确定性和鲁棒）和发展过程，然 H控制理论，最后指出鲁棒控制研后叙述鲁棒控制理论中两种主要研究方法：μ理论、∞ 究的问题和扩展方向。 H控制理论 关键词：鲁棒控制理论，μ理论，∞ 一、引言 自从系统控制（Systems and Control）作为一门独立的学科出现，对于系统鲁棒性的研究也就出现了。这是由这门学科的特色和研究对象决定的。对于世界上的任何系统。由于系统本身复杂性或是人们对其认识的不全面，在系统建立模型时，很难用数学语言完全描述刻画。在这样的背景下，鲁棒性的研究也就自然而然地出现了。 二、不确定性与鲁棒 1、不确定性 谈到系统的鲁棒性，必然会涉及系统的不确定性。由于控制系统的控制性能在很大程度上取决于所建立的系统模型的精确性，然而，由于种种原因实际被控对象与所建立的模型之间总存在着一定的差异，这种差异就是控制系统设计所面临的不确定性。这种不确定性通常分为两类：系统内部的不确定性和系统外部的不确定性。这样，就需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论。这就是鲁棒控制所要研究的课题。 2、鲁棒 “鲁棒”一词来自英文单词“robust”的音译，其含义是“强壮”或“强健”。所谓鲁棒性（robustness）,是指一个反馈控制系统在某一特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性这三方面保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性的能力。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。在工程实际控制问题中，系统的不确定性一般是有界的，在鲁棒控制系统的设计中，先假定不确定性是在一个可能的范围内变化，然后在这个可能的变化范围内进行控制器设计。鲁棒控制系统设计的思想是：在掌握不确定性变化范围的前提下，在这个界限范围内进行最坏情况下的控制系统设计。因此，如果设计的控制系统在最坏的情况下具有鲁棒性，那么在其他情况下也具有鲁棒性。 三、发展历程 鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知:? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为: 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图 解:s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数

对鲁棒控制的认识

对鲁棒控制的认识 姓名：赵呈涛 学号： 092030071 专业：双控

鲁棒控制（RobustControl）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO）的在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法，其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息和它的变化范围,一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： （1）Kharitonov区间理论； 控制理论； （2）H ∞ （3）结构奇异值理论μ理论。 下面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov区间理论 1.1参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black采用大回路增益的反馈控制技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性，由于采用大回路增益,所以设计的系

《现代控制理论基础》第3章

第一和第二讲小结 一、状态空间表达式的标准形式 能控标准形 能观测标准形 对角线标准形 Jordan标准形 二、矩阵的特征值及对角线化 矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异 （2）重根 （3）一般情形 三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换 [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) [num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu] 四、时域分析的基本概念 状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理 最小多项式 五、矩阵指数计算 级数法，对角线标准形与Jordan标准形法 拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理

II、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。 例1．给定系统的描述为

u x x x x ??????+????????????-=??????2150042121 []?? ? ???-=2160 x x y 将其表为标量方程组的形式，有： u x x +=114 u x x 2522+-= 26x y -= 例3－2：判断下列电路的能控和能观测性 ) (t u + y C R ) (t u L y 2

鲁棒控制综述

鲁棒控制综述 课程目标 1.了解鲁棒控制研究的基本问题 2.掌握鲁棒控制的基础知识和基本概念 3.明确鲁棒控制问题及其形式化描述 4.掌握几种鲁棒稳定性分析与设计方法 5.掌握状态空间H∞控制理论 6.了解鲁棒控制系统的μ分析与μ综合方法 7.初步了解非线性系统鲁棒控制方法 8.掌握时滞系统的鲁棒控制稳定性分析 控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统。 大部分的控制系统是基于反馈原理来进行设计的 反馈控制已经广泛地应用于工业控制、航空航天和经济管理等各个领域。 不确定性 在实际控制问题中，不确定性是普遍存在的 所描述的控制对象的模型化误差 可能来自外界扰动 因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。 控制系统设计的任务 对于给定的控制对象和传感器，寻找一个控制器，使反馈控制系统能够在实际工作环境中按预期目标运行 ●实际控制对象就是具体的装置、设备或生产过程 ●通过各种建模方法，可以建立实际控制对象的模型 ●针对控制对象的模型，应用控制理论提供的设计方法设计出控制器，对实际控制对 象实施控制 ●控制系统的控制效果在很大程度上取决于实际控制对象模型的准确性 ●在控制系统设计中采用的模型与实际控制对象存在着一定的差异，即存在着模型不 确定性 ●控制系统的运行也受到周围环境和有关条件的制约 ●例如，在图1-1中，传感器噪声ｎ和外部扰动ｄ分别来自控制系统本身和控制系统 所处的环境，它们往往是一类未知的扰动信号 ●这种扰动不确定性对控制系统的运动将产生的影响 控制系统设计中需要考虑的不确定性 （1）来自控制对象的模型化误差； （2）来自控制系统本身和外部的扰动信号 ●需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论 ●这就是鲁棒控制所要研究的课题 1.1.2 控制系统设计的基本要求 在控制系统设计中，往往把图1-1所示的反馈控制系统更一般化，考虑如图1-3所示的单位反馈控制系统，其中P是控制对象，C是控制器。

鲁棒控制原理及应用举例

鲁棒控制原理及应用举例 摘要：本文简述了鲁棒控制的由来及其发展历史，强调了鲁棒控制在现代控制系统中的重要性,解释了鲁棒控制、鲁棒性、鲁棒控制系统、鲁棒控制器的意义，介绍了鲁棒控制系统的分类以及其常用的设计方法，并对鲁棒控制的应用领域作了简单介绍，并举出实例。 关键词：鲁棒控制鲁棒性不确定性设计方法现代控制系统 经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型。在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多不确定因素：如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中不考虑高阶模态的影响等。但经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似。对许多要求不高的系统，这样的数学模型已经能够满足工程要求。然而，对于一些精度和可靠性要求较高的系统，如导弹控制系统设计，若采用这种设计方法，就会浪费了大量的人力物力在反复计算数弹道、调整控制器参数以及反复试射上。因此，为了解决不确定控制系统的设计问题，科学家们提出了鲁棒控制理论。由于鲁棒控制器是针对系统工作的最坏情况而设计的，因此能适应所有其它工况，所以它是解决这类不确定系统控制问题的有力工具。 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。上世纪60年代，状态空间结构理论的形成，与最优控制、卡尔曼滤波以及分离性理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。随着现代控制理论的发展，从上世纪80年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的高度重视。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。 通常说一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。设被控系统的数学模型属于集合D，如果系统的某些特性对于集合U中的每一对象都保持不变，则称系统具有鲁棒性。鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性、鲁棒渐进调节和鲁棒动态特性。鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性；鲁棒渐进调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐进调节功能；鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。 所谓鲁棒控制，使受到不确定因素作用的系统保持其原有能力的控制技术。鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定性因素，设计一个确定的控制律，使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 000001 0x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

现代控制理论第版课后习题答案

现代控制理论第版课后 习题答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有

相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- + +-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： （2）???? ??????+-+-=-=31103 201 )()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）???? ??????---=6712203 010 A 解：A 的特征方程 0611667122301 23=+++=?? ?? ??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ

现代控制理论 第三章 3 能观性

3.3 系统的能观性 实际中常常遇到系统的状态变量不能直接测量的问题。能否根据系统的输出（输出一般均可直接测量）把这些状态变量的值计算出来，这即能观测性问题。在现代控制理论中，这个问题很重要。若通过系统的输出可以计算出系统状态变量的值，则尽管系统状态不能直接测得，但可把计算出的值进行反馈，从而实现优良的控制效果；否则，只能由输出变量进行反馈，难以获得最优的效果。 1.能观性定义 设线性定常连续系统的动态方程为 ???+=+=DU CX Y BU AX X 能观性定义：系统的状态00≠X 被称为在区间[]10t t ，上能观的(01t t T ?=为有限时间) ，如果在[]10t t ，上的输入)(t U 和输出)(t Y 提供的信息足以确定0X 。否则，称状态0X 在区间[]10t t ，上不能观。 若系统在区间[]10t t ，上的每一状态)(0t X 均能观， 则称系统在[]10t t ，上完全能观。 若根据[]10t t ，上的输入)(t U 和输出)(t Y 提供的信息足以确定1()X t ，则称系 统具有能构性。 讨论： ① 能观与能测量是不同的概念，比如状态变量不一定能测量，但它可能能观。 ②由输出信息确定其以前的状态，称为能观；由输出信息确定其以后的状态，称为能构。在线性定常连续系统中，能观性与能构性是等价的。 ○ 3能控性：U X →；能观性：Y X →。 例3-18 试判别图3-18所示电路系统的能观性

图3-18 例3-18 系统的状态图如图3-19所示，试判别其能控、能观性。 图3-19

系统的状态方程为： []10101101X X u y X ??????=+????????????=? 系统的传递函数为： 1()1 Y G s U s ==+ 从系统的状态方程可知，系统既不完全能控（在u 的作用下，x1=x2）、又不完全能观。其既不完全能控又不完全能观部分为上部分。 2.能观性判据之一 (1)定理（能观性判据）：线性定常连续系统{A,B,C }状态完全能观的充要条件是 其能观性矩阵n nl n CA CA C V ×?????????????=1 满秩，即n V rank =][。 证明： ∫??+=t t t A t t A d Bu e t X e t X 00)()()()(0)(τττ∵ ∫??+=∴t t t A t t A d Bu e C t X Ce t Y 00)()()()(0)(τττ （1） 我们研究的目的是从输入u(t)和输出y(t)把状态)(0t X 确定出来。因u(t)是给定函数，（1）式右边中的积分部分是与)(t Y 维数相同的已知函数，所以仅据 )(t Y 来求解)(0t X 与据∫??t t t A d Bu e C t Y 0 )()()(τττ来求解)(0t X 是完全等价的。这就是说，系统的能观性可看作只涉及)(t X 和)(t Y 而与u(t)无关。所以，讨论能观性问题时，只用到A、C 阵，系统可用｛A，C｝表示。 又因为所讨论系统是线性定常的，不失一般性，可以假设00=t ，这样，问题就变成了由方程：)0()(X Ce t Y At = 来确定)0(X 。 )0()()(1 0X CA t b t Y j n j j ∑?=凯－哈定理 （2） 〔1〕 SO 系统时： 即 n C ×1。

对鲁棒控制的认识

对鲁棒控制的认识 赵呈涛 专业: 学号: 092030071 姓名:

鲁棒控制（ RobustControl ）方面的研究始于 20 世纪 50 年代。在过去的 20 年 中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的 品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固 定控制器称为鲁棒控制器。 定性，具有代表性的是 Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故 障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了 以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。 控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法， 际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制 器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息 和它的变 化范围 , 一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒 控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析 及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系 统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满 足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： 1) Kharitonov 区间理论； 2） H 控制理论； 3）结构奇异值理论 理论。 面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov 区间理论 1.1 参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black 采用大回路增益的反馈控制 技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性， 由于采用大回路增益 , 所以设计的系 统常常不稳定；1932年,Nyquist 给出了判断系统稳定性的频域判据,在控制系统设计时, 用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode 首次提出灵敏度函数的概念, 对系统的参数不确定性进行定量的描述。 在此基础上 ,Horowitz 在1962年提出一种参数 不灵敏系统的频域设计方法， 此后, 基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参 数不确定性的主要工具。不过 , 这种方法是基于无穷小分析的 , 在实际系统的设计中并 不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外 灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值 , 这在实际中往往也难以做到。于是 , 人们开 始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性 , 出现了鲁棒辨识方法。 此法给出的辨识结果 不是一个确定值 , 而是参数空间中的一个域 （如超矩形、凸多面体、椭球等 ）。相应地 , 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（ SISO ）的在微小摄动下的不确 现代鲁棒 其设计目标是找到在实

鲁棒控制讲义-第1-2章

第一章概述 §1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control) 1.1.1 名义系统和实际系统（nominal system） 控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。 1.1.2不确定性和摄动（Uncertainty and Perturbation） 如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。 1.1.3 不确定系统的控制 经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。例如早期导弹控制系统设计时就是这样：首先按名义模型设计一个控制系统，然后反复调整设计参数，这样的结果是浪费了大量的人力物力；一种导弹从设计到定型要反复计算数百条弹道，对大小回路控制器参数要进行数十次调整，还要经过反复试射，这类参数的调整往往没有一个理论可以遵循，而依据设计者的经验。

现代控制理论第3版课后答案

现代控制理论第3版刘豹唐万生机械工业出版社课后全部 答案 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =?? ? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 000001 0x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图

现代控制理论习题解答(第三章)

第三章 线性控制系统的能控性和能观性 3-3-1 判断下列系统的状态能控性。 （1）??????=?? ? ???-=01,0101B A （2）???? ? ?????-=??????????---=111001,342100010B A （3）???? ??????-=??????????---=020011,100030013B A （4）????? ???????=????? ? ??? ???=1110,0 000 00 001 11 1 1 B A λλλλ 【解】： (1) []2,1011==?? ????-==n rankU AB B U c c ，所以系统完全能控。 (2) [ ] ???? ? ?????---==7 111111010 012 B A AB B U c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。 （3） A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的 B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。 （4） A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。 同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。 可以求一下能控判别阵。 [ ] 2,1113210312 11 31211312 11211 3 2 =??? ? ?? ? ???? ? ??==c c rankU B A B A A B B U λλλλλλ λλλλλ，所以系统不完全能控。 3-3-2 判断下列系统的输出能控性。

(1) ??? ? ???????????-=??????????-+??????????---=x y u x x 011101020011100030013 (2) []?? ? ?? ??=??????????+??????????---=x y u x x 0011006116100010 【解】： （1） 已知?? ?? ? ?????-=???? ??????---=020011,10003001 3B A ，??????-=011101C ，??????=0000D [] ?? ? ? ??--= 111300002B CA CAB CB D 前两列已经使[] 22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。 （2） 系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C 满秩，且输出维数m 小于状态维数n ，所以状态能控则输出必然能控。 2-3-3 判断下列系统的能观性。 (1) ??? ????????????-=??????????---=x y x x 121110342100010 ；(2) []?????=?? ????=x y x x 110111 ； (3) []?? ? ?? ??=??????? ???-=x y x x 11030002001 2 ；（4）[]?? ??? ??=??????????--=x y x x 411100040004 【解】： （1） 已知??????-=?? ?? ??????---=121110,342100010 C A

鲁棒控制及其发展概述

鲁棒控制及其发展概述 摘要 本文首先介绍了鲁棒控制理论的发展过程；接下来主要介绍了研究鲁棒多变量控制过程中两种常用的分析方法：方法以及分析方法；最后给出了鲁棒控制理论的应用及其控制方法，不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。并且指出了目前鲁棒控制尚未解决的问题以及研究的热点问题。 关键词：鲁棒控制；鲁棒多变量控制；鲁棒控制；分析方法 一、引言 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。控制系统的鲁棒性研究是现代控制理论研究中一个非常活跃的领域,鲁棒控制问题最早出现在上个世纪人们对于微分方程的研究中。 最早给出鲁棒控制问题的解的是Black在1927年给出的关于真空开关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动。之后，Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础。20世纪60年代之前这段时间可称为经典灵敏度设计时

期。此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。 20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2]，灵敏度设计问题包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。 20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期，此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。 二、正文 1. 鲁棒控制理论 方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定并使相应的范数指标极小化的输出反馈控制问题。 鲁棒控制理论是在空间(即Hardy 空间)通过某些性能指标 的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，其范数定义为： （1） 即矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界。范数的物理意义是指系统获得的最大能量增益[3]。 鲁棒控制理论的实质是为MIMO（多输入多输出）且具有模型

现代控制理论1-8三习题库

信息工程学院现代控制理论课程习题清单

正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点内容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规范形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。 1.试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。