2020年中考数学二轮专题： 应用题中的方案设计选择问题

2020中考数学 二轮专题 应用题中的方案选择问题

（含答案）

1. 为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小强向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.

根据这个购买方案：

(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其缴纳的房款； (2)设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款为y 万元．请求出y 关于x 的函数表达式．

解：(1)由题意得三口之家的人均住房面积为120×13

＝ 40(平方米)， ∴三口之家应缴购房款为：0.3×3×30＋0.5×3×10＝ 42(万元)；

(2)由题意得：

①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；

②当30

③当x ＞m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m )＝2.1x －0.6m －18.

∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30

.

2. 某容器装有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始2 min 内既进水又出水，在

随后的4 min 内只进水不出水，之后关闭进水管，打开出水管，容器内的水量y (L)与时间x (min)之间的函数图象如图所示．

(1)求进水管的进水速度和出水管的出水速度；

(2)当2≤x ≤6时，求y 与x 之间的函数关系式．

第2题图

解：(1)设进水管的进水速度为m L/min ，出水管的出水速度为n L/min ，由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧2（n －m ）＝4（6－2）m ＝（9－6）n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝8

， ∴进水管的进水速度为6 L/min ，出水管的出水速度为8 L/min ；

(2)根据题意，当x ＝6时，y ＝(6－2)×6＝24，

设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (2≤x ≤6)，将(2，0)，(6，24)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝06k ＋b ＝24

，解

得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6b ＝－12

， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝6x －12(2≤x ≤6)．

3. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v (千米/小时)与所用时间t (小时)的函数

图象如图所示，其中60≤v ≤120.

(1)直接写出v 关于t 的函数关系式；

(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．

①求两车的平均速度；

②甲、乙两地间有两个加油站A ，B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站(两车加油的时间忽略不计)，求甲地与B 加油站的距离．

第3题图

解：(1)由图象可知过(5，120)，60≤v ≤120，

∴v 与t 的函数关系式为v ＝600t

(5≤t ≤10)； (2)①根据题意，得3(v ＋v －20)＝600，解得v ＝110，

经检验，v ＝110符合题意，

当v＝110时，v－20＝90.

答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；

②当A加油站在甲地和B加油站之间时，

110t－(600－90t)＝200，

解得t＝4，此时110t＝110×4＝440(千米)；

当B加油站在甲地和A加油站之间时，

110t＋200＋90t＝600，

解得t＝2，此时110t＝110×2＝220(千米)．

答：甲地与B加油站的距离为220千米或440千米．

4.月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急

需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现，每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为z(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．)

第4题图

(1)请求出y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式；

(2)求出第一年这种电子产品年利润z (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；

解：(1)当4≤x ≤8时，设y ＝k x

， 将A (4，40)代入得k ＝4×40＝160，

∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝160x

， 当8

⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝2028k ＋b ＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝28， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－x ＋28，

综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （4≤x ≤8）－x ＋28（8

； (2)当4≤x ≤8时，z ＝(x －4) ·y －160＝(x －4) ·160x －160＝－640x

， ∵－640<0，

∴z 随着x (x >0)的增大而增大，

∴当x ＝8时，z max ＝－

6408

＝－80， 当8

z ＝(x －4) ·y －160＝(x －4) ·(－x ＋28)－160＝－x 2＋32x －272＝－(x －16)2－16， ∵该函数为二次函数，且a ＝－1<0，

∴y 在x ＝16处取得最大值．

∴当x ＝16时，z max ＝－16，

∵－16>－80，

∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为－16万元．

5. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000 m 2

的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x (m 2)，种草所需费用y 1(元)与x (m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x <600）k 2x ＋b （600≤x ≤1000）

，其图象如图所示；栽花所需费用y 2(元)与x (m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30000(0≤x ≤1000)．

(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；

(2)设这块1000 m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；

(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．

第5题图

解：(1)k 1＝30，k 2＝20，b ＝6000；

【解法提示】k 1＝18000÷600＝30，k 2＝(26000－18000)÷(1000－600)＝20，将点(600，18000)代入y 1＝k 2x ＋b 得18000＝20×600＋b ，∴b ＝6000.

(2)当0≤x <600时，

W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋10x＋30000＝－0.01(x－500)2＋32500，∵－0.01<0，

∴当x＝500时，

W取得最大值为32500元．

当600≤x≤1000时，

W＝20x＋6000＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋36000，

∵－0.01<0，

∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，

∴当x＝600时，

W取最大值为32400元，

∵32400<32500，

∴绿化总费用W的最大值为32500元；

(3)由题意得：1000－x≥100，解得x≤900，

∵x≥700，

∴700≤x≤900，

∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，

∴当x＝900时，w取最小值，

W＝－0.01×9002＋36000＝27900元，

∴当x＝900时，绿化总费用W最小，最小值为27900元．

6.某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中

两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走)．如图是两人离家的距离

y (米)与张强出发的时间x (分)之间的函数图象．根据图象信息解答下列问题：

第6题图

(1)求张强返回时的速度；

(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？

(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？

解：(1)3000÷(50－30)＝150(米/分)，即张强返回时的速度为150米/分；

(2)妈妈回家的原速度为150×（45－30）45

＝50(米/分)， 妈妈提前回家的时间是300050

－50＝ 10(分)； (3)403 分，803

分，35分． 【解法提示】由(2)可得，妈妈回家的原速度为50米/分，

∴B 的纵坐标为3000－45×50＝750，

∴B (45，750)．

∴线段BD 的解析式为y ＝－50x ＋3000(0≤x ≤45)，

由题图可得，线段OA 的解析式为y ＝100x (0≤x ≤30)，

线段AC 的解析式为y ＝－150x ＋7500(30≤x ≤50)．

① 第一次相遇前：妈妈离家距离y 与时间x 的关系为

y ＝－50x ＋3000，张强离家距离y 与时间x 的关系为

y ＝100x ，

∴张强与妈妈的距离为y ＝－50x ＋3000－100x ＝－150x ＋3000，

∴当y ＝1000时，解得x ＝403

；

②第一次相遇后至张强到体育场：由①得张强与妈妈距离为y ＝100x －(－50x ＋3000)＝150x －3000，

∴当y ＝1000时，解得x ＝803

； ③张强返回途中：张强返回时的离家距离y 与时间x 的关系为y ＝－150x ＋7500， ∴张强与妈妈的距离为y ＝－150x ＋7500－(－50x ＋3000)＝－100x ＋4500， ∴当y ＝1000时，解得x ＝35.

7. 甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，已知甲出发0.5 h 后乙出发，如图，

线段OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离s (km)与时间t (h)之间的关系，请结合图中的信息，解答下列问题：

第7题图

(1)求甲、乙两车的速度及a 的值；

(2)若乙车到达B 地后以原速立即返回．

①在图中画出乙车在返回过程中离A 地的距离s (km)与时间t (h)的函数图象； ②直接写出甲车在离B 地多远处与返程中的乙车相遇？

解：(1)由题意可得，甲车的速度为60÷1.5＝40 km/h.

∵甲比乙早出发0.5 h ，

∴乙车的速度为60÷(1.5－0.5)＝60 km/h ，

∴a ＝40×4.5＝180 km ；

(2)①乙车在返回过程中离A地的距离s与时间t的函数图象如解图中NQ线段所示；

第6题解图

【解法提示】∵180÷60＝3 h，

∴乙车到达B地所用时间为3 h，

∴点N的横坐标为3.5.

∵乙车原速返回A地，

∴乙车6.5小时返回A地，

∴Q(6.5，0)．连接线段NQ，则线段NQ即为乙车在返回过程中离A地的距离s与时间t的函数图象；

②甲车在离B地24 km处与返程中的乙车相遇．

【解法提示】乙车开始返回时，甲车离A地的距离是40×3.5＝140 km，

设乙车返回与甲车相遇所用时间为t1，根据题意得，

(60＋40)t1＝180－140，

解得t1＝0.4，

∴60×0.4＝24 km，

∴甲车在离B地24 km处与返程中的乙车相遇．

8.“美乐”超市欲购进A、B两种品牌的水杯共400个．已知两种水杯的进价和售价

如下表所示．设购进A种水杯x个，且所购进的两种水杯能全部卖出，获得的总

利润为W元．

(1)求W关于x的函数关系式；

(2)如果购进两种水杯的总费用不超过16000元，那么该商场如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．

解：(1)由题意得W＝(65－45)x＋(55－37)(400－x)＝2x＋7200，

∴W关于x的函数关系式为W＝2x＋7200；

(2)由题意得45x＋37(400－x)≤16000，

解得：x≤150.

∵W＝2x＋7200，

即k＝2＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x＝150时，W最大＝7500，

∴进货方案是：A种水杯购进150个，B种水杯购进250个时，才能获得最大利润，且最大利润为7500元．

9.“十三五”时期国家扶贫开发工作的重点是：贵在精准，重在精准．为了贯彻“精准

扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地

运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大货车8辆、小货车7辆，则恰好能一

次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，

其运往A，B两村的运费如下表：

(1)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A ，B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式；

(2)在(1)的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，求最少费用．

解：(1)由题意可得，y ＝800x ＋900(8－x )＋400(10－x )＋600[7－(10－x )]＝ 100x ＋9400(0≤x ≤8，且x 为整数)；

(2)由题意得12x ＋8(10－x )≥100， 解得x ≥5， 又∵0≤x ≤8， ∴5≤x ≤8且为整数，

∵y ＝100x ＋9400，k ＝100>0，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，

最小值为y ＝100×5＋9400＝9900(元)， 答：最少运费为9900元．

10. 学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙

种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． (1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？

(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？

解：(1)设1辆甲客车需要租金x 元，1辆乙客车需要租金y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1240

3x ＋2y ＝1760，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400

y ＝280

，

答：1辆甲客车需要租金400元，1辆乙客车需要租金280元； (2)设租甲客车t 辆，则租乙客车(8－t )辆，租车总费用为w 元， 根据题意得：45t ＋30(8－t )≥330，且t ≤8， ∴6≤t ≤8，

由题意得：w ＝400t ＋280(8－t )， ＝120t ＋2240， ∵k ＝120＞0，

∴w 随t 的增大而增大，

∴当t ＝6时，w 最少，w 最少＝120×6＋2240＝2960(元)．

答：租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，租车费用最少，最少费用为2960元． 11. 某公司拟为当地援建一所希望小学，A 和B 两个工程队有能力承包建校工程，A

工程队单独完成建校工程的时间是B 工程队的2倍，两队合作完成建校工程需60天．

(1)A 和B 两个工程队单独完成建校工程各需多少天？

(2)在施工过程中，该公司派一名技术员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元，若由A 工程队单独施工时，平均每天的费用是5000元，现公司选择了B 工程队，要求其施工总费用不能超过A 工程队，则B 工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少元？

解：(1)设B 工程队单独完成建校工程需x 天，则A 工程队单独完成建校工程需2x 天，由题意得：

(1x ＋1

2x )×60＝ 1， 解得x ＝90，

经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，

此时2x＝180，

答：A和B两个工程队单独完成建校工程各需180天、90天；

(2)设B工程队单独施工时平均每天的费用为m元，由题意得：

100×90＋90m≤100×180＋5000×180，

解得m≤10100.

答：B工程队单独施工时平均每天的费用最多为10100元．

12.某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1

元/斤，并且两次降价的百分率相同．

(1)求该种水果每次降价的百分率；

(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

解：

(1)设该种水果每次降价的百分率是x，根据题意得：

10(1－x)2＝8.1，

解得x＝10%或x＝190%(不合题意舍去)，

∴该种水果每次降价的百分率是10%；

(2)当1≤x<9时，y＝[10(1－10%)－4.1](80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352，

∵－17.7<0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝1时，y有最大值，

y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，

当9≤x<15时，y＝(8.1－4.1 ) (120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3(x－10)2＋380，

∵－3<0，

当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，

∴10

∴当x＝10时，y有最大值，y最大＝380(元)，

综上所述，y与x(1≤x<15)之间的函数关系式为：

y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－17.7x ＋352（1≤x <9）－3（x －10）2

＋380（9≤x <15）

，

∵334.3<380，

∴第10天时销售利润最大；

(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a 元，根据题意得：380－[(8.1－4.1－a )(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，∴380－105(4－a )＋115≤127.5，∴a ≤0.5，

∴第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．

13. 某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗600条，甲种鱼苗每条16元，成活率为80%，

乙种鱼苗每条20元，成活率为90%.

(1)若购买这两种鱼苗共用去11000元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少条？ (2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于85%，则乙种鱼苗至少购买多少条？

(3)在(2)的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的总费用最低？最低费用是多少？ 解：(1)设购买甲种鱼苗x 条，乙种鱼苗y 条，由题意得：

⎩⎪⎨

⎪⎧x ＋y ＝60016x ＋20y ＝11000，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝250

y ＝350， 答：购买甲种鱼苗250条，乙种鱼苗350条；

(2)设购买乙种鱼苗m 条，则购买甲种鱼苗(600－m )条， 由题意得：90%m ＋80%(600－m )≥85%×600， 解得m ≥300，

答：乙种鱼苗至少购买300条； (3)设购买鱼苗的总费用为Z 元，则 Z ＝20m ＋16(600－m )＝4m ＋9600， ∵4>0，

∴Z随m的增大而增大，

又∵m≥300，

∴当m＝300时，Z有最小值，Z最小＝4×300＋9600＝10800(元)，此时600－m＝300，答：当购买甲种鱼苗300条，乙种鱼苗300条时，总费用最低，最低费用为10800元．

14.移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话

费用0.2元/分钟；方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟．

(1)以x表示每个月的通话时间(单位：分钟)，y表示每个月的电话费用(单位：元)，分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；

(2)当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？

解：(1)根据题意知，

方案一：y＝15＋0.2x，(x≥0)；

方案二：y＝0.3x，(x≥0)；

(2)当x＝300时，方案一的费用y＝15＋0.2×300＝75(元)，

方案二的费用y＝0.3×300＝90(元)，

∵75<90，

∴采用方案一电话计费方式比较合算．

15.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．

甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．

第15题图

(1)求如图所示的y 与x 的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围)

(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

解：(1)设y ＝kx ＋b ，将点(0，400)，(100，900)代入，

得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝400100k ＋b ＝900， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5b ＝400

，

∴y ＝5x ＋400；

(2)绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为5×1200＋400＝ 6400元，乙公司的费用为5500＋4×200＝ 6300元，

∵6300<6400，

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少.