正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵
[1] 二次型的分类
n 个变数的二次型∑===
n
j i T
j
i ij n x A x x x a x x q 1
,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0
对应一个函数值)(0
x q ，依据)(x q 值的符号，在教
材184页上给出了二次型的分类定义：
1．正定二次型。若对一切n
R x ∈，当0)(0>=?≠Ax x x q x T
称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。若对一切n
R x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T
，且至少有一 00
≠x 能使0)(0
=x q .
3．负定。对二次型Ax x x q T
=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。对二次型Ax x x q T
=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。若二次型Ax x q T
=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。 容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。 若系数全正为正定二次型；
若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；
若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型
2
12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=
是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下，可对其作线性变换
n
n n x x a y x a x y x a x y +=+=
+=1
3
2222
111
而将q 化成标准形，2
2221n y y y q +++=
这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。
现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？
0021====?=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。
若q =0, 则必有
???????=+=+=+0
0 0 13
2211n n x x a a x x a x
将其看作一 n n ?齐次方程组，只有系数行列式不为0时，才只有平凡解，即
021====n x x x
即可知),,(1n x x q 为正定二次型，于是，可写出条件为：
010
00
10
01
21≠
n
a a a
即
01
01001
,
01
00
100
1
2
12121≠-≠-
a a a a a a a n
依次类推，最后得此),,,(21n x x x q 为正定二次型的条件是
1)1(21≠-n n
a a a
[2] 二次型分类问题的提出
怎样想到要根据函数值的正负来对二次型分类的？这里以函数方及值问题为例作一讨论，供有兴趣的学生阅读教材190页5.4.2前作参考。 为简单计这里讨论二元函数。
在微积分中已知，函数),(y x f 在定义域某内点),(00y x 处取得极值的必要条件是
,0),(00=?y x f 即 ?????
???????=?????????
???????00),(),(0000y y x f x
y x f 但若真在),(00y x 处取得极值，其充要条件是对),(00y x 某邻域内点),(y x ，能使
),(),(00y x f y x f -保持定号，若总取正值则),(00y x f 是极小值，若总取负值则),(00y x f 是极大值。
利用函数的泰勒公式，使这一比较成为可能。粗来造地说起来，泰勒公式使任意足够光
滑的函数，在一点邻近，总可用一个多项式来近似，而且可以给出这样近似所产生的误差，即泰勒定理中的余项公式。
现设),(y x f 在点),(00y x 处具有2阶连续偏导数，则有展开到2阶项为止的泰勒公式：
)()
,()(),(),(),(00000000y y y
y x f x x x y x f y x f y x f -??+-??+
=
??
????-??+--???+-??+20200200002202002)(),())((),(2)(),(!21y y y y x f y y x x y x y x f x x x y x f
(
)2
2
y y x x o -+-+
由 0),(00=?y x f ，若记 ??
??
?
?
????
????????????=2002
002002
2
0020),(),(),()
,(y y x f x y y x f x y y x f x y x f H ，则上式可改写为 )|||(|)](),[(),(),(20200000000y y x x o y y x x H y y x x y x f y x f -+-+?
?
?
???----=- 若略去高阶无穷小，从上可见，若[关于变数(0x x -)及)(0y y -的]二次型 000],[H y y x x --?
?
?
?
??--00y y x x 正定，则f (00,y x )为极小值；若这个二次型负定，则f (00,y x )为极大值。由于这个二次型涉及函数f 在点(00,y x )处的二阶偏导数，故常称此（加上?f (00,y x )=0）为函数极值的二阶充分条件。 [3] 正定矩阵
教材185页给出了实对称矩阵为正定或负定的定义，要注意这里是以矩阵为实对称作前提的，否则就不谈是否正定的问题，并且是以对应二次型为依据的。
另外，对记号也要注意，如0>A ，这里仅是实对称阵A 是正定矩阵，即AX X T
为正定二次型的同义语，除此，就再无其他含意了。 例20 设A 是n 阶满秩阵，试证A A T
是正定矩阵。
解 首先易证A A T
是对称的，因有A A A A A A T
T
T
T
T
T
==)()(，其次对任一n 维向
量0≠x ，二次型0)(22
≥=Ax x A A x T
T
，由于上式中仅当0=Ax 时才能成立等号，而
0=Ax 时必有0=x ，故证得A A T 是正定矩阵。
[4] 正定的充分必要条件
对不是标准形的二次型（或不是对角阵的实对称阵）要判断其正定性，除按照定义外，可利用化二次型成标准形（实对称阵必可合同于对角阵）及惯性律，这样，就有一些可用的充要条件。
1．n 个变数的二次型为正定的充要条件是正惯性指数等于变数个数，即n =π。 教材185页定理8
1′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵P ，使AP P T 成对角线元素皆正 的对角阵D 。
1″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是n 个特征值全正。 教材186页定理8推论
2．n 个变数二次型为正定的充要条件是其规范形的系数全为+1。存在满秩
2′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵B ，使成立B B A T =(即A 与单 位阵I 合同）。
2″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ，使A =B 2。 这可对教材186页定理9的证明，作如下演算而得：
2
B Q Q Q Q Q Q Q Q A T T T T =ΛΛ=ΛΛ=Λ=，其中记 T
Q Q B Λ=以及),,,(
diag 21n λλλ =Λ。
3．n 个变数的二次型AX X T
或n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是A 的多阶前主公式皆正，即
),,2,1(0det ]
[n k A
k =>
其中 ????
??????=?
???
?
????
???=kk k k k nn n
n
n n a a a a A a a a a a a a a a A 1111]
[2122212
11211, 教材187页定理10
例21 已知A 、B 同是n 阶正定矩阵，试证A +B 及k
A (k 是正整数)也是正定矩阵。 解 1. 对抽象给出的矩阵，常考虑从定义出发来证明，对任一n 维向量0≠x ，有 BX X AX X X
B A X T
T
T
+=+)(
后一不等号是因为AX X T 及BX X T
都大于0才成立的。故知A +B 正定。
2．k
A 与A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度入手考虑。根据A 正定，即知其特征值n λλ,,1 全正，由于k A 的全部特征值就是k n k λλ,,1 ，也都为正。这就知k
A 是正定矩阵。
例22 已知A 是n 阶实对称阵，试证
(1) 若A 正定，则必 0,,0,02211>>>nn a a a ； (2) 若对一切n 维向量0=X A X T
则必0=A ； (3) 若 r A r =)(则A 可分成r 个秩1矩阵之和。
解(1) 根据定义，对一切0≠x ，皆有0>x A x T
，故依次令n
e e x ,,1 =, 就有
0)(1
1>Ae e T
, 即 011>a
0)(>n
T
n Ae e , 即 0>nn a
(2) 分别令n
e e x ,,1
=, 由0=x A x T
，可得011===nn a a .
若再令 j i
x ←←?????????
???????????=01010 ，则 02==ij T a Ax x ，得n j i a ij ≤<≤=1,0
于是O A =.
也可这样入手证明，将x T Ax 通过正交变换x=Qy 化成标准形，有 ∑==
n
i i
i T
g
d Ax x 1
2
分别令n Qe Qe x ,,1 =,由0=x A x T
得值01===n λλ ,即0=Λ，于是T Q Q A Λ=.
(3) 利用实对称矩阵的特性：必可对角化；有)(A r 个非零特征值。于是，因r A r =)(， 故知A 有r 个非零特征值r λλ,,1 ，并有T
Q Q A Λ= 将Λ写成r 个秩1矩阵之和
r r
Λ++Λ+Λ=??
??
?
????
?
?
?=Λ 211
00λλ 其中i Λ是第i 个主对角线元为)1(r i i ≤≤λ，其他元全为0的秩1矩阵。于是，有 r T
r T
A A Q Q Q Q A ++=Λ++Λ= 11. 因i A 与i Λ同秩，故i A 均为秩1矩阵),,1(r i =，证毕。
矩阵的正定性及其应用论文
矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵 [1] 二次型的分类 n 个变数的二次型∑=== n j i T j i ij n x A x x x a x x q 1 ,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0 对应一个函数值)(0 x q ，依据)(x q 值的符号，在教 材184页上给出了二次型的分类定义： 1．正定二次型。若对一切n R x ∈，当0)(0>=?≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。 显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。 2．正半定（或半正定）二次型。若对一切n R x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00 ≠x 能使0)(0 =x q . 3．负定。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。 4．负半定（或半负定）。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。 5．不定二次型。若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。 容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。 若系数全正为正定二次型； 若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型； 若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。 对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。 例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型 2 12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。 解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下，可对其作线性变换 n n n x x a y x a x y x a x y +=+= +=1 3 2222 111 而将q 化成标准形，2 2221n y y y q +++= 这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。 现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？ 0021====?=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。 若q =0, 则必有
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编
正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application
目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)
1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩
内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件 Decision of Real Positive Definite Matrix and Its Important Conclusion Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix . Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition
禄 鹏 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000） 摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 2 实正定矩阵的等价定理 定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>. 定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定. 引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4 [] 7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的 主对角元均为正. 定理1 实对称矩阵n n R A ?∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10?∈≠n R X ，使0>AX X T .
因子分析出现非正定矩阵案例
一、案例介绍 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量35个，样本31个（全国31个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 二、问题描述 通过spss的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”，无法给出KMO值，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 三、疑问 1)什么是正定矩阵？ 2)因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3)非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4)如何修正使得变成正定矩阵？ 四、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1)样本量太少，而指标过多 2)某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在0.9以上：
但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现spss没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了KMO检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量spss提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让spss认为“非正定矩阵”的原因：一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出结 果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图：
正定矩阵的判定
泰山学院 毕业论文材料汇编 正定矩阵的判定 所在学院 专业名称 申请学士学位所属学科 年级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装订日期 2015 年 6 月 30 日.
材料汇编目录 一、开题报告 二、任务书 三、论文 1. 封面 2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录 5. 正文 6. 参考文献 7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告.
题目正定矩阵的判定 学院 年级 专业 姓名 学号 指导教师签字 学生签字 2014 年 12 月 15 日 .
.
. 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。 方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时， A 正定。 （二）研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排 1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。 2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。 3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献 [1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989. [3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版 社，2003. [6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003.
实对称矩阵正定、半正定的简易判别
目 录 1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1) 2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 .............................................. 3 2. 3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E [] 3. (4) 2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数 [] 9等于n 。 (5) 2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。 ................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。 . 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的 秩。 (5) 2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零， 但至少有一个特征值等于零。 (5) 2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。 ............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T =，则A 半正定。 (5) 2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵?? ? ? ??000r E 合同。..... 5 3.利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。 ............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 . (13)
广义实正定矩阵
广义实正定矩阵 【摘要】自1970年Johnson C.R.首次给出广义正定矩阵的概念以来，学者们历经39年的艰苦研究历程，产生了许许多多更加广义的正定矩阵，获得许多丰富的研究成果。可是，他们对广义正定矩阵的研究，众说纷纭，各执一词，使得正定矩阵的阵容不断扩大，广义度不断增强，到头来何为正定矩阵，没了一个统一的标准。为改变这种现状，本文给出一种公理性的广义正定矩阵的定义，并对新意义下广义正定矩阵的若干性质进行了分析和研究。希望为广义正定矩阵概念的规范化探出一条新路。 【Abstract】Since Johnson C.R. gave the concept of Generalized Positive Definite Matrices for the first time in 1970, the scholars, after 39 years’tough research, have put forward many more generalized positive definite matrix and acquired huge achievement. Yet, they had different saying in the research of generalized positive definite matrix, which has widened the definition of generalized positive definite matrix, so ultimately they could not reach an agreement in what generalized positive definite matrix is. In order to change the situation, this article is to give the definition of an axiomatic generalized real positive definite matrices and make analysis into some of the quality of generalized positive definite matrix under the new definition. It wishes to find a new way for normative research into the concept of generalized positive definite matrix. 【Keywords】Positive definite matrix Real symmetric matrix (△)-positive definite factor Changeless factor Alterable factor 若无特别声明，本文用R表示实数域；用表示实数域上矩阵的全体；若，则表示A的转置；O表示零矩阵；表示n阶单位矩阵；表示n阶单位矩阵交换(i, j)行后得到的初等矩阵；表示n阶正对角矩阵的全体；表示n阶实对称矩阵的全体；表示n阶实反对称矩阵的全体；表示空集；符号“ ”表示等价；“ ”表示蕴含。 1．广义正定矩阵发展历程简述。实正定矩阵的概念最初出现在二次型的研究中，其初始定义是： 定义1、n阶实对称矩阵A称为正定的，如果有。本文把这种正定矩阵称为S+-正定矩阵，n阶-正定矩阵的全体记为。 随着数学本身的发展和其它学科应用的需要，许多学者突破常规，研究矩阵的正定性，因而产生了一系列更加广义的正定矩阵，1970年，Johnson.C.R首先提出了广义正定矩阵的概念。 定义2[1]、设，矩阵A称为正定的，如果有。本文把这种正定矩阵称为J-正定矩阵，n阶J-正定矩阵的全体记为。