第二章作业答案
7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。
11. 一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。 证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。因为她每天至少学习1小时，所以
3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
不超过
60
小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。3721,,,a a a ,
13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相
同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-?个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。
17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到1-n 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和1-n ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n 个人的熟人的数目是1-n 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案
6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。
(b) 数字2和7不出现。
解 因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。 ① 考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)7,7(7P ?个。 ② 考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)6,7(7P ?个。
③ 考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)5,7(7P ?个。 ④ 考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)4,7(7P ?个。
⑤ 考虑4位整数。若千位数字大于5，有)3,7(3P ?个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有)2,6(4P ?个。 根据加法原理，符合条件的整数的个数为
94830)2,6(4)3,7(3)4,7(7)5,7(7)6,7(7)7,7(7=?+?+?+?+?+?P P P P P P
8. 15人围坐一个圆桌。如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？
解 15人围坐一个圆桌，有!14种围坐方式。若B 固定坐在A 的左侧，则可将BA 看作一个整体，有!13种围坐方式。若B 固定坐在A 的右侧，则可将AB 看作一个整体，有!13种围坐方式。因此，B 不挨着A 坐的围坐方式有!1312!132!14?=?-种，B 不坐在A 的右侧的围坐方式有!1313!13!14?=-种。
11. 从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解 设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为???? ??78???
?
??45。
若甲和乙均入选，组队方法数为???? ??78???? ??25+?
??
? ??68???? ??35+???? ??58???
?
??45。 若甲入选且乙不入选，组队方法数为???? ??78???? ??35+?
??
? ??68????
??45。 若乙入选且甲不入选，组队方法数也为???? ??78???? ??35+?
??? ??68???
?
??45。 因此，组队方法数总共为
???? ??78???? ??45+???? ??78???? ??25+???? ??68???? ??35+???? ??58????
??45+???
? ?????? ?????? ??+???? ?????? ???456835782=1120 21. 一位秘书在距离家以东9个街区、以北7个街区的一座大楼里工作。每天他都要步行16
个街区去上班。
(a) 对他来说可能有多少不同的路线？
(b) 如果在他家以东4个街区、以北3个街区开始向东方向的街区在水下（而他又不会游泳），则有多少条不同的路线？
解 (a) 用E 表示向东步行1个街区，用N 表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集
}7,9{N E ??的排列。这样的排列的个数为
=!
7!9!
1611440。 (b) 若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向
东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集}3,4{N E ??的排列数，即
=!
3!4!
735。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集}4,4{N E ??的排列数，即
=!
4!4!
870。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是24507035=?。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是8990245011440=-。 26. 确定多重集}5,4,3{c b a S ???=的10-排列的个数。 解 S 的有1个a ，4个b ， 5个c 的10-排列的个数为
1260!
5!4!1!
10=。
S 的有3个a ，2个b ， 5个c 的10-排列的个数为
2520!
5!2!3!
10=。
S 的有3个a ，4个b ，3个c 的10-排列的个数为
4200!
3!4!3!
10=。
S 的有2个a ， 3个b ， 5个c 的10-排列的个数为
2520!
5!2!3!
10=。
S 的有2个a ， 4个b ， 4个c 的10-排列的个数为
3150!
4!4!2!
10=。
S 的有3个a 3个b 4个c 的10-排列的个数为
4200!
3!4!3!
10=。
S 的10-排列的个数为17850315042002252021260=+?+?+。
31. 方程304321=+++x x x x 有多少满足21≥x ，02≥x ，53-≥x ，84≥x 的整数解？ 解 进行变量代换：
211-=x y ，22x y =，533+=x y ，844-=x y
则方程变为
254321=+++y y y y
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为
3276!326
27283282528251425=??=???
? ??=???? ??=???? ??-+ 第五章作业答案
8. 用二项式定理证明
k
n n
k k n
k n -=∑???
? ??-=
3
)
1(20
证明 由二项式定理知道
∑=-???
? ??=
+n
k k k n n
y x k n y x 0)( 令3=x ，1-=y 得
∑∑=-=-???? ??-=-???? ??=-+=n
k k n k n
k k k n n
n
k n k n 003)1()1(3))1(3(2
18. 求和
???
? ??+-++???? ??-???? ??+???? ??-n n n n n n n 11)1(3412311211 解法1 对任意非负整数n 和k ，???
? ??+=???? ??+++k n n k n k )1(11)1(，即????
??+=???? ??+++k n k k n n 111111，因此，
???
? ??+-++???? ??-???? ??+???? ??-
n n n n n n n 11)1(3412311211
∑∑∑+=-==???? ??+-+=???? ??+++-=???? ??+-=11
1001)1(11111)1(1)1(n k k n k k n
k k
k n n k n n k n k
11110111)1(111)1(1110
11+=++=++???? ??+-+-=???? ??+-+-=∑∑+=+=n n n k n n k n n n k k n k k 解法2 由二项式定理知道
∑=???? ??-=
-n
k k
k n
x k n x 0)1()1(
两边分别求积分得
1
1
1)01(1)11()1(111
+=+-++--=-++?n n n dx x n n n
∑?∑==????
??+-=???? ??-n
k k n
k k
k k n k dx x k n 0
1001)1()1(
所以
1
111)1(3412311211+=???? ??+-++???? ??-???? ??+???? ??-n n n n n n n n 20. 求整数a ，b 和c ，使得对所有的m
???
? ??+???? ??+???? ??=1233m c m b m a m
求级数的和3
3
3
3
321n ++++ 。
解 令1=m ，???? ??+???? ??+????
??=11213113c b a ，因为02131=???
? ??=???? ??，所以1=c 。
令2=m ，???? ??+???? ??+???? ??=12223223
c b a ，因为032=???
? ??，所以628=-=c b 。
令3=m ，????
??+???? ??+???? ??=13233333c b a ，所以63327=--=c b a 。
∑∑∑∑====????
??+???? ??+???? ??==++++n m n m n
m n
m m m m m n 000033
3
3
3
12636321
???
?
??++???? ??+=???? ??++???? ??++???? ??+=2142621316416n n n n n
4
)1(2)1(!4)1()1)(2(62
2+=
++-++=n n n n n n n n 25． 应用组合学论证方法，证明二项式系数的Vandermonde 卷积： 对所有的正整数1m ，2m 和n ，
????
??+=???? ??-???? ?
?∑=n m m k n m k m n
k 21021
作为特殊情形，推导恒等式（5-11）。
证明 设B A S ?=，?=?B A ，1||m A =，2||m B =，则21||m m S +=。
我们可以从集合A 中取出k 个元素，再从集合B 中取出k n -个元素，把它们合起来构成S
的有n 个元素的子集。因为A 的有k 个元素的子集有???
?
??k m 1个，因为B 的有k n -个元素的子集有???? ??-k n m 2个，所以S 的有n 个元素的子集个数为∑=???
? ??-???? ??=???? ??+n k k n m k m n m m 02121。
37. 在94321)22(x x x x -+-的展开式中2
4
33231x x x x 的系数是什么？ 解 由多项式定理知道
∑
=+++???
? ??=
+++n
n n n n n n n n n
x x x x n n n n n x x x x 43214
321432143214321)( 令2x 为2x -，3x 为32x ，4x 为42x -，n 为9，得到
∑
=+++--???
? ??=
-+-9
432143219432143214
433221)2(2)1(9)22(n n n n n n n n n n n x x x x n n n n x x x x 因此，2
4
33231x x x x 的系数是 40320!2!1!3!3)8(!9)2(2)1(2133923-=???-?=-??-????
? ?? 42. 用牛顿二项式定理近似计算3/110。 解
3/13/13/1)25.01(2)28(10+=+=
)416416135323116121323141311(24
12431031∑∑∞=∞
=???? ??+????+???-?+?=???? ??=k k k k k k 1547.2)64
1
6135323116121323141311(2103/1≈????+???-?+?≈
第六章作业答案
3. 求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解 设S 是从1到10000的整数的集合，1A 是从1到10000的完全平方数的集合，2A 是从1到10000的完全立方数的集合。因为100001002
=，所以100||1=A 。因为
33221064810000926121=<<=，所以21||2=A 。因为一个整数既是完全平方数也是
完全立方数的充分必要条件是它是完全六次方数，6
6
5156251000040964=<<=，所以
4||21=?A A 。从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数
98834)21100(10000||)||||(||||212121=++-=?++-=?A A A A S A A
6. 面包店出售巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力、6个肉桂和3个素炸面包圈。如果一个盒子装12个面包圈，那么可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
解 用a ，b ，c 分别表示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本题要求的是多重集
}3,6,6{c b a T ???=的12-组合的个数。设S 为},,{*c b a T ?∞?∞?∞=的所有12-组合的集合，则911214121312||=?
??
?
??=????
??-+=S 。设1A 为*T 的所有至少有7个a 的12-组合的集合，2A 为*T 的所有至少有7个b 的12-组合的集合，3A 为*T 的所有至少有4个c 的12-组合的集合。每个*T 的5-组合再加上7个a 就得到一个至少有7个a 的12-组合，所以
*T 的至少有7个a 的12-组合的个数等于*T 的5-组合的个数，
21575135||1=???? ??=???? ??-+=A 。同样可得到21575135||2=????
??=???? ??-+=A ，
458108138||3=???
? ??=???? ??-+=A 。*T 的至少有7个a 和7个b 的12-组合的个数0||21=?A A ，*T 的至少有7个a 和4个c 的12-组合的个数3||31=?A A ，*T 的至
少有7个b 和4个c 的12-组合的个数3||32=?A A ，*T 的至少有7个a 、7个b 和4个
c 的12-组合的个数0||321=??A A A 。因此，T 的12-组合的个数
||321A A A ??
||||||||)||||||(||321323121321A A A A A A A A A A A A S ??-?+?+?+++-=
100330)452121(91=-+++++-=
9. 确定方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ， 702≤≤x ， 843≤≤x ， 624≤≤x
的整数解的个数。
解 引入新变量
116x y -= 227x y -= 338x y -= 446x y -=
则方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ， 702≤≤x ， 843≤≤x ， 624≤≤x
的整数解的个数等于方程
74321=+++y y y y
满足
501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y
的整数解的个数。设S 是方程74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合，则
1207107147||=???
? ??=???? ??-+=S 。设1A 为方程74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的
非负整数解的集合，2A 为方程74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合，3A 为方程74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合，4A 为方程74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合，则4||1=A ，0||2=A ，
10352142||||43=???
? ??=???? ??-+==A A 。若j i ≠，则?=?j i A A 。因此，方程
74321=+++y y y y
满足
501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y
的整数解的个数
96101004120||||||||||||43214321=----=----=???A A A A S A A A A
24. 把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？
(c)
解 禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的1F 部分，包含5个位置，右下角的2F 部分，包含3个位置。用k r 表示把k 个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。81=r 。若在1F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有6123=++种方法；若在2F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法；若在1F 部分和2F 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有1535=?种方法。因此，2215162=++=r 。若在1F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在2F 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有1836=?种方法；若在2F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在1F 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有551=?种方法；若在1F 部分的禁止位置放三个非攻击型车，则有1种方法。因此，2415183=++=r 。若在1F 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在2F 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有
331=?种方法；若在1F 部分和2F 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有616=?种
方法。因此，9634=+=r 。若在1F 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在2F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法，15=r 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
!1!2!3!4!5!654321?-?+?-?+?-r r r r r
16112962424221208720=-?+?-?+?-=
26. 计算}6,5,4,3,2,1{的排列654321i i i i i i 的个数，其中
3,2,11≠i ； 12≠i ； 13≠i ； 6,55≠i 以及6,56≠i 。
解 所要求的排列个数等于把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数。
禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的1F 部分，包含5个位置，右下角的2F 部分，包含4个位置。用k r 表示把k 个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。91=r 。若在1F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有4种方法；若在2F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有2种方法；若在1F 部分和2F 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有2045=?种方法。因此，2620242=++=r 。若在1F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在2F 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有1644=?种方法；若在2F 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在1F 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有1052=?种方法。因此，
2415183=++=r 。若在1F 部分和2F 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有
824=?种方法。因此，84=r 。05=r 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6
行6列棋盘上的方法数是
!1!2!3!4!5!654321?-?+?-?+?-r r r r r
124102862624261209720=?-?+?-?+?-=
27. 8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同？
解 令S 为}8,7,6,5,4,3,2,1{的全部!7个循环排列的集合，i A 为出现模式)1(+i i 的循环排列的集合（71≤≤i ），8A 为出现模式81的循环排列的集合。若71≤≤k 且k i i ,,1 是
集合}8,7,6,5,4,3,2,1{中的不同整数，则!)7(||1
k A A k
i i -=?? 。
1||8
1
== i i A 。因此，
16251!078!168!258!348!438!528!618!7||81=+???
? ??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-=??A A
她们可以有1625种方法改变座位。
第七章作业答案
1. 设 ,,,,10n f f f 表示斐波那契序列。通过用小的n 值为下列每一个表达式赋值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。 （c ）n n f f f f )1(210-+-+-
（d ）2
2120n f f f +++
解 (c) 对于小的n 值，列出n f 和∑=-n
k k k f 0
)1(的值如下。
n 0 1 2 3 4 5 6 7
8 n f 0
1 1
2
3
5
8
13 21
∑=-n
k k k f 0
)1(
1- 0 2- 1 4- 4
9- 12
猜测：
???≥--==--=∑1
1)1(00)1(10
n f n f n n
n
k k k
若若
当0=n 时，00=f ，结论成立。
当1=n 时，11010--=-=-f f f ，结论成立。 设1≥n 且
1)1()1(10
--=--=∑n n n
k k k f f ，则
110
1111
)1(1)1()1()1()
1(++=-+++=-+--=-+-=
-∑∑n n n
k n n n n k k n k k k
f f f f f
1)1(1)()1(1111--=---=+-++n n n n n f f f (d) 对于小的n 值，列出n f 和∑=n
k k f 0
2的值如下。
n
0 1 2 3 4 5 6
7
8
n f 0
1
1 2 3 5
8
13 21
∑
=n
k k f 0
2 0
1
2
6
15 40 104 273 714
猜测：12
2120+=+++n n n f f f f f
当0=n 时，10200f f f ==，结论成立。
设122120+=+++n n n f f f f f ，则
21112112122120)(+++++++=+=+=++++n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f
14. 求解初始值00=h ，11=h ，12=h 和23=h 的递推关系
43218465----+--=n n n n n h h h h h ，（4≥n ）。 解 特征方程为08465234=-++-x x x x 。
因为08)1(4)1(6)1(5)1(234=--?+-?+-?--，所以1-是该方程的一个根。
88121266846522334234--++--+=-++-x x x x x x x x x x x
)1)(8126()1(8)1(12)1(6)1(2323+-+-=+-+++-+=x x x x x x x x x x x
)1()2(3+-=x x
因此，一般解为
n n n n n c n c n c c h )1(22242321-+++=
（0=n ） 041=+c c
（1=n ） 12224321=-++c c c c （2=n ） 116844321=+++c c c c （3=n ） 2722484321=-++c c c c
解该方程组得到 27
8
1=
c 727
2=c
241
3-=c
278
4-=c
因此，
n n n n n n n h )1(2222782
241727278
-?-?-?+?=
18. 求解非齐次递推关系
n n n h h 2341?+=- （1≥n ）
10=h
解 对应齐次递推关系的特征方程为04=-x ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为n p 2，则n n n p p 232421?+=-，因而32+=p p ，因此3-=p 。 该非齐次递推关系的一般解为n n n c h 234?-=。
令0=n ，得13=-c ，解得4=c 。因此，n n n h 2341?-=+。 26. 求解非齐次递推关系
n n n h h 441+=- （1≥n ）
30=h
解法一 对应齐次递推关系的特征方程为04=-x ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为n pn 4，则n n n n p pn 44)1(441+?-?=-，解得1=p 。该非齐次递推关系的一般解为n c h n n n 44+=。令0=n ，得3=c 。因此，n n n h 4)3(?+=。 解法二 该序列的生成函数∑∞
==
)(n n n x h x g 。
∑∑∑∞
=∞
=+∞
=-
=-=-00
104)41()()41(n n n n n
n n n
n x h x h x h x x g x
∑∑∑∞
=∞
=-∞
=--+=-+=11101
10)4(4n n n n n n n
n n
n x h h h x h x h h
x
x x x h n n n n n
n n n
n 411
2424340
1
1
0-+
=+=+=+=∑∑∑∞
=∞
=∞
=
2
)41(141241411
2)(x x x x x g -+-=--+
=
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=
++=0
4)3(4)1(42n n n n n
n n n
n x n x n x
因此，n n n h 4)3(?+=。
30. 确定苹果、桔子、香蕉和梨的袋装水果的袋数n h 的生成函数，其中各袋要有偶数个苹果，最多两个桔子，3的倍数个香蕉，最多一个梨。然后从该生成函数求出n h 的公式。 解 生成函数
)1)()(1)(()(0
32
2x x x x x x g n n n n +++=∑∑∞
=∞
=
2
322)1(1)
1)(1()1)(1(x x x x x x -=
--+++=
∑∞
=+=
)1(n n x n
因此，1+=n h n 。
32. 令 ,,,,,210n h h h h 是由???
?
??=2n h n 定义的序列（0≥n ）
。确定该序列的生成函数。 解
x
x n n -=
∑∞
=110
两边求导数得到
2
1)
1(1x nx n n -=
∑∞
=-
两边再求导数得到
3
2)
1(2)1(x x n n n n -=
-∑∞
=-
两边乘2
2
x 得到
320
)1(2)1(x x x n n n n -=-∑∞
= 因此，该序列的生成函数
∑∑∑∞
=∞=∞
=-=-=???? ??==00
3
2
0)1(2)1(2)(n n n n n n
n x x x n n x n x h x g 32. 令 ,,,,,210n h h h h 是由????
??=2n h n 定义的序列
（0≥n ）。确定该序列的指数生成函数。 解 该序列的指数生成函数
∑∑∑∞=∞=∞
=???? ??=???? ??==200
)
(!2!2!)(n n n n n n
n e n x n n x n n x h x g
2!2!
21!)2(21!!)2(!2!2020222x
n n n n n n n n e x n x x n x n x n n x n ===-=-=∑∑∑∑∞=∞=+∞=∞
= 41. 确定所有的数字至少是4的n 位数的个数，其中4和6每个都出现偶数次，5和7每个
至少出现1次，但对于数字8和9则没有限制。
解 设n h 为满足条件的n 位数的个数，序列 ,,,210h h h 的指数生成函数是
222
32242)
()!
21()!3!2()!4!21()( +++++++++=x x x x x x x x g
e
4)12)(2()1(4)(2222222x x x x x x
x x x e e e e e e e e e +-++=-+=--
4
12343223456+-+-+-=x x x x x x e e e e e e
41!21!243!
3!443!521!641000000+-+-+-=∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=n n n n n n n
n n n n n n n n n n n x n x n x n x n x n x
∑
∞
=-?+?-?+?-=1
!42233443526n n
n n n n n n x
因此，??
?
??≥-?+?-?+?-==1
42
23344352600n n h n n n n n n 若若
第八章作业答案
1. 设在圆上选择n 2个（等间隔的）点。证明将这些点成对连接起来所得到的n 条线段不相交的方法数等于第n 个Catalan 数n C 。
证明 设n h 为将圆上的n 2个点成对连接起来得到n 条不相交线段的方法数。我们证明序列 ,,,210h h h 与Catalan 数序列 ,,,210C C C 满足同样的递推关系和初始条件。 设圆上的n 2个点顺时针依次排列为12210,,,,-n a a a a ，若连接线段k a a 0，则其左边和右边的点不能相互连接，那样会与k a a 0相交。k a a 0左边的点的数目和它右边的点的数目都应当是偶数，即k 是奇数。若k a a 0左边的点的数目是i 2，则k a a 0右边的点的数目就是)1(2i n --。随着k 从1变到12-n ，i 从0变到1-n 。因此，序列 ,,,210h h h 满足递推关系
012110h h h h h h h n n n n ---+++=
令1-=n n C g ，则???
?
??--=
1221n n n g n 。由定理7.6.1知道序列 ,,,321g g g 满足递推关系 112211g g g g g g g n n n n ---+++=
因此，
01211011211C C C C C C g g g g g g g C n n n n n n n n ----++++=+++==
又有001C h ==，序列 ,,,210h h h 与Catalan 数序列 ,,,210C C C 满足同样的递推关系和初始条件。
8. 求前n 个正整数的五次幂的和。
解 计算序列 ,,,2,1,05555n 的差分表如下。
0 1 32 243 1024 3125 … 1 31 211 781 2101 … 30 180 570 1320 … 150 390 750 … 240 360 …
120 …
其差分表的第0条对角线为
0，1，30，150，240，120，0，0，…
因此
???? ??++???? ??++???? ??++???? ??++???? ??++???? ??+=∑=61120512404115031302111100
5
n n n n n n k n
k 12. 证明第二类Stirling 数满足关系 (a ) 1)1,(=n S ，)1(≥n (b ) 12)2,(1-=-n n S ，)2(≥n (c ) ???
? ??=-2)1,(n n n S ，)1(≥n
(d ) ???
? ??+???? ??=-433)2,(n n n n S ，)2(≥n
证明 (a ) 设1≥n ，因为将个物体放入1个盒子中，只有一种方法，所以1)1,(=n S 。
(b ) 设2≥n ，A 是n -元集，则A 的非空真子集的个数为22-n
。任取A 的非空真子集B ，
将B 中元素放入一个盒子，而将其他元素放入另一个盒子，就得到一种将A 中元素放入两个非空盒子的方法。显然，B 和它的补集B A -对应同一种方法，即每种方法都对应A 的两个子集。因此，122/)22()2,(1-=-=-n n n S 。
(c ) 设1≥n 。若1=n ，则???
?
??==-20)1,(n n n S 。
下面考虑2≥n 的情况。将n 个物体放入1-n 个非空盒子中，必然有一个盒子中有两个物体，而其余盒子中只有一个物体。设A 是n -元集，任取A 的2-组合B ，将B 中元素放入一个盒子，将其余元素各放进一个盒子，就得到将n 个物体放入1-n 个非空盒子中的方法。因此，可在A 的2-组合和将n 个物体放入1-n 个非空盒子中的方法之间建立一一对应。所以，???
?
??=-2)1,(n n n S 。
(d ) 设2≥n 。若2=n ，???
? ??+????
??==-4330)2,(n n n n S 。下面考虑3≥n 的情况。将n 个物体放入2-n 个非空盒子中，有两种可能。一种情况是，有一个盒子中放入3个物体，其
余盒子中各放入一个物体，这种情况发生的次数是???
?
??3n 。另一种情况是，有两个盒子中各
放入2个物体，其余盒子中各放入一个物体。从这n 个物体中任取出四个，设它们是
d c b a ,,,，a 可与d c b ,,之一在一个盒子中。因此，这种情况发生的次数是???
?
??43n 。所以，
???
?
??+???? ??=-433)2,(n n n n S 。
13. 令X 是p -元集并令Y 是k -元集。证明，把X 映射到Y 上的函数Y X f →:的个数等于
),(),(!#k p S k p S k =
证明 设},,,{21k b b b Y =。将k b b b ,,,21 看作k 个不同盒子，若i b x f =)(，则把X 中元素x 放入盒子i b ，这在X 映射到Y 上的函数和将X 中元素放入k 个不同非空盒子的方法之间建立了一一对应。因此，把X 映射到Y 上的函数Y X f →:的个数等
于),(),(!#k p S k p S k =。
高二数学期末试卷(理科)
高二数学期末考试卷（理科） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1| (完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学课后答案
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
高二期末数学(文科)试卷及答案
. 银川一中2016/2017学年度(上)高二期末考试 数学试卷(文科) 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．抛物线24 1x y =的准线方程是( ) A ．1-=y B ．1=y C ．16 1-=x D ．16 1=x 2．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(1，+∞) D ．(0，1) 3．若双曲线E ：116 92 2=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3， 则|PF 2|等于 ( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3或9 4．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2 x -5x -6<0，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 5．一动圆P 过定点M (-4，0)，且与已知圆N ：(x -4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 ( ) A ．)2(112 42 2≥=-x y x B ．)2(112 42 2≤=-x y x C ．112 422 =-y x D ．112 422=-x y 6．设P 为曲线f (x )=x 3+x -2上的点,且曲线在P 处的切线平行于直线y =4x -1,则P 点的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)或(-1,-4) D ．(2,8)或(-1,-4) 7．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 2 1 ，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，点A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |= ( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 8．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( ) 9．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)4 5 ,23( B ．(1，1) C ．)4 9 ,23( D ．(2，4) 10. 函数x e y x =在区间?? ? ???221， 上的最小值为 ( ) A ．e 2 B ． 221e C ． e 1 D ．e 11．已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 ( ) A ． 4 3 B ．2 3 C ．1 D ．2 12．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点, 连接AF 、BF . 若|AB |=10,|BF |=8，cos ∠ABF = 4 5 ,则C 的离心率为 ( ) A. 3 5 B. 5 7 C. 4 5 D. 67 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若抛物线y 2=-2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐 标为________. 14．已知函数f (x )= 3 1x 3+ax 2 +x +1有两个极值点,则实数a 的取值范围是 . 15．过椭圆22 154 x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________.
华中师范大学组合数学期末考试试卷(A)
-可编辑修改- 华中师范大学组合数学期末考试试卷（A ） 课程名称组合数学课程编号 任课教师 王春香 题型 填空题 证明题 计算题 应用题 总分 分值 20 20 40 20 100 得分 得分 评阅人 一、填空题：（20分）（共5题，每题4分） 1. 由n 个字符组成长为m 的字符串，则相同的字符不相邻的方案数为 n n m C 1+- 。 2. 5男4女，分成两队，每队4人，要求每队至少有1位女生的方案数： 1680 。 3．求12341234+++20,3105,x x x x x x x x =≥≥≥≥，，，的整数解的个数 144 。 4．平面上有n 条直线，其中无两条平行，无三线共点，则交点数为： n-1 。 5．50！尾部有 12 个数字0 。 得分 评阅人 二、证明题（20分）：（共2题，每题10分） 21211. 1n p n n p n p n =-????= ? ?-???? ∑证明： 院（系 ）： 专业： 年级： 学生 姓名： 学号： --- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- 密 -- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- - 封 --- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- -- 线 ---- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --
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清华组合数学()习题答案
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
组合数学课后标准答案
组合数学课后标准答案
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习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
人教版高中数学必修5期末测试题
期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n
同济大学组合数学期末试卷
1．用两种方法证明公式：. 2．将个相同的球放到个不同的盒子里，每个盒子至少有个球（），问有多少种放法？ 3．求解递推关系： 二．（10分）用集合可以组成多少个不同的位数？其中要求1和3每个出现偶数次. 三．（10分）求在1和1000之间不能被5，6和8整除的数的个数. 四．（10分）有级台阶，一个小孩从下往上走，每次只能跨一级或两级，问他从地面走到第级台阶有多少种不同的方法？ 五．（10分）设表示把元集划分成非 空子集的方法数，当元集时，求出方法数. 六．（10分）从4种水果中选出个，使得苹果数为偶数个，香蕉数为5的倍数，橘子数不超过4个，梨子数为0或1个，问选出个的选法数. 七．（18分）（1）用四颗珠子穿项链，现可对珠子染3种不同的颜色，问可得到多少个不同的项链？（注：项链可旋转或翻转） （2）设计一个由6个花瓣和1个中心花蕊组成的图案，这7个部分由3种不同的颜色组成，要求其中出现2蓝2红3黄，此花朵可以旋转，问可以有多少种不同的设计方案？ 保洁员协议书 甲方：村村民委员会 乙方：，身份证号： 为了确保本村的清洁卫生得到正常有序地运行，使全村的环境卫生保持清洁.干净。切实做好全村生活垃圾的收集处置工作。经甲.乙双方协商同意，特订如下协议： 一.垃圾收集范围： 屯主要道路的路边.溪边经常保持整洁，及时清理白色污染.无明显垃圾堆积物：清除屯主要道路两边杂草：对屯内公共树木养护：沟 乱刻画.乱散发. 止和清理。 二.保洁员报酬工资合计 周清洁2 月发放。 三.保洁所需一切工具均由乙方自己承担，乙方还要自备垃圾清运车辆。在工作期间注意自身安全，如发生意外，其责任自负，甲方不承担任何责任。 四.工作要求: 1.屯内道路路段保洁要求：对屯内道路及路两旁的沟.涵管必须清理疏通，道路两旁的绿化
组合数学题目及标准答案
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k h ，使得 ah+1+…+ ak= 39 证 令Sj= ，j =1 , 2 , …,100。显然 ∑=j i i a 1 ∑=h i i a 1
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
高二下学期数学期末考试试卷含答案.(word版)
高二下学期期末考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．集合{}0,2,4的真子集个数为( ) A. 3个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2.若复数()21i z +=，则其共轭复数_ z 的虚部为（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. -2i 3. 已知幂函数()y f x =的图象过点(3,则)2(log 2f 的值为( ) A ．21- B ．21 C ．2 D ．2- 4.已知x x f ln )(5=，则=)2(f （ ） A.2ln 51 B. 5ln 21 C. 2ln 31 D. 3ln 2 1 5. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A. 可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上 B. 可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上 C. 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 D. 解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 6.设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ( )
A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 7. 若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 8. 函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A ． 0 B ． 3 C ． 2 D ． 32 9. 函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1,04??- ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 10. 函数42019250125)(3+++=x x x x f ，满足(lg 2015)3f =，则1(lg )2015f 的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 5 D. 8 11. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞为增函数，又(2)f 0=，则不等式[]1ln ()0x f x e ????< ??? 的解集为( ) A ．()()2,02,-+∞U B ．()(),20,2-∞-U C ．()()2,00,2-U D ．()(),22,-∞-+∞U 12. 已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x ?---≤?=?>??是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
大学数学组合数学试题与答案(修正版)4
组合数学期末考查卷 一、选择题。（每小题3分，共24分） 1.在组合数学的恒等式中n k ??= ??? A 11(1)1n n n k k k --????+>≥ ? ?-???? B 1(1)1n n n k k k -????+>≥ ? ?-???? C 1(1)11n n n k k k -????+>≥ ? ?--???? D (1)1n n n k k k ????+>≥ ? ?-???? 2、14321=++x x x 的非负整数解个数为（ ）。 A.120 B.100 C.85 D.50 3、()()=94P 。 A. 5 B. 8 C. 10 D. 6 4、递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（a 为待定系数）（） A 、2n an B 、2n a C 、32n an D 、22n an 5、错排方式数n D =（） A 1(1)n n nD ++- B (1)(1)n n n D ++- C -1(1)n n n D +- D 1(1)(1)n n n D +++- 6、将n 个不同的球放入m 个不同的盒子且每盒非空的方式数为（ ）。 Ａ（n m ） Ｂ (),P n m Ｃ ｍ！Ｓ2（ｎ，ｍ） Ｄ（n m ）ｍ！ 7、有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ ）只小鸟。 A 15 B 16 C 17 D 18 8、若颁发26份奖品给4个人，每人至少有3份，有（ ）种分法 A 55 B 40 C 50 D 39 二、填空。（每小题4分，共20分） 1、现有7本不同的书，要分给6个同学，且每位同学都要有书，有__________________种不同的分法 2、设q 1, q 2,…… ,q n 是n 个正整数，如果将q 1+ q 2+…+q n －n ﹢1件东西放入n 个盒子里，则必存在一个盒子j 0，1≤j 0≤n ，使得第0j 个盒子里至少装有0j q 件东西，我们把该定理称为__________________。 3、1S n n-1（，）=__________________。
排列组合测试题(含答案)
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
新高二数学上期末试卷(及答案)
新高二数学上期末试卷(及答案) 一、选择题 1．在区间[] 0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“2 3 x y +≤”的概率，则(P = ) A ． 23 B ． 12 C ． 49 D ． 29 2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ． B ． C ． D ． 3．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795 B ．0780 C ．0810 D ．0815 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 5．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）
A ．﹣1 B ． 12 C ．2 D ．1 6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ． 23 B ． 34 C ． 25 D ． 13 7．在R 上定义运算：A ()1B A B =-，若不等式() x a -()1x a +<对任意的 实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322 a - << D ．31 22 a - << 8．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1 第一章 排列组合 1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？ 解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10； 千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1； 故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。 （或： ()()41 42 *2+＝14） （3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。 （4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。 解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。 以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。 因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。 因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数 字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)
组合数学 课后答案
习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整 数倍。 证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有 两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通 过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
中职高二数学期末试卷
职中高二级下学期数学期末模拟试卷 一、选择题（将唯一正确答案代号填入表格对应题号内，每题3分，共计36分） 1.点A （-3，-4）到x 轴的距离是： A.3 B.4 C.5 D.7 2.点A （0,4），B （-2，0）的中点是： A.（-2,4） B.（-1,2） C.（-2,2） D.（0,2） 3.已知直线l 的斜率是3，则直线l 的倾斜角是： A.060 B.045 C.030 D.0240 4.已知直线l 的倾斜角β=090，则直线l 的斜率是： A.1 B.-1 C.不能确定 D.不存在 5.直线1=x 与y 轴： A.平行 B.相交 C.重合 D.不能确定 6.圆16)7()2(22=-+-y x 的圆心坐标是： A.（2,7） B.（-2,-7） C.（-2,7） D.（2,-7） 7.圆25)6()3(22=-+-y x 的半径长为： A.10 B.25 C.5 D.5 8.一个棱锥的底面积是402cm ，高是12cm ，则它的体积是 3cm π。 A.130 B.140 C.150 D.160 9.一个球的半径增大一倍，那么它的体积增大了几倍。 A.1 B.2 C.7 D.8 10.一个圆锥的母线是10cm ，侧面展开图是半圆，则圆锥的底面半径是： A.10 cm B.8cm C.6 cm D.5cm
11.直线06=+-y x 与直线0=+y x 的交点坐标为 A ．（－3，3） B ．（3，－3） C ．（4，2） D ．（3，3） 12.某中职学校二年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，调查应采用的抽样方法是: A.随机抽样法 B.分层抽样法 C.系统抽样法 D.无法确定 二、填空题（将最合适的答案填写在对应的位置，每题3分，共15分）。 1．过点A （1，－1）且与x 轴平行的直线方程为 2．一个正方体的体积是83cm ，则它的表面积为 2cm 3．抛一枚硬币，出现一枚正面在上的概率是 4．已知一直线的倾斜角是ο 45，则该直线的斜率是 5．过直线外一点作直线的垂线有 条 三、判断（正确的记“√”，错误的记“╳”，每题2分，共10分）。 （ ）1.直线2 3 y x =与直线6410x y ++=垂直． （ ）2.如果直线1l 与直线2l 的斜率都存在且不等于0，那么12l l ⊥?121k k ?=-． （ ）3.不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面. （ ）4.直线 3=x 的斜率是0. （ ）5.把直径是10的一个铁球融化最多可以做成直径是它5 1 的小球50个. 四、请在横线上用一种方法算出下列各牌组的24点（每题2分，共14分）。 （1）2、1、4、10 （2）2、6、8、5 （3）2、7、10、10 （4）2、8、8、8 （5）3、3、5、6 （6）3、3、3、8
