相似三角形题型总结材料

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一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有_________ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，

AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C 点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；

（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

5．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．（2014?南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，

求证：AB2=AD?AC．

7．（2014?铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．

8．（2014?上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；

（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．

9．（2014?青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．

（1）求证：CD2=BC?AD；

（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：．

10．（2013?崇明县一模）如图，△ABC是等边三角形，且AD?ED=BD?CD．

（1）求证：△ABD∽△CED；

（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

11．（2013?徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；

（2）如果AD2=AB?AF，求证：CM?AB=DM?CN．

12．（2013?静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．

求证：（1）AF=CE；

（2）BF2=EF?AF．

13．（2013?奉贤区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC 的延长线交于点F．

（1）求证：△FDC∽△FBD；

（2）求证：．

14．（2013?道外区一模）如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．

（1）求证：PE=PA；

（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=4，求线段NG的

长．

15．（2013?徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．

（1）求证：AE?BC=BD?AC；

（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．

16．（2012?邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证：

17．（2012?淮北模拟）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG．

18．（2012?徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA；

（2）BO?BE=BC?AE．

19．（2014?眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

20．（2012?嘉定区一模）如图，己知△ABC中，BC=60，BC边上的高AH=40；矩形DEFG的顶点D、E在边 BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，设EF的长为x，矩形DEFG的面积为y．求y关于x的函数关系式，并指出这个函

21．有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？

初中数学相似三角形组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有①②③，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

考点：相似三角形

的判定；全等

三角形的判

定与性质；线

段垂直平分

线的性质；正

方形的性质．

分析：（1）①②③，

选择②进行

证明．连接

BM、DM．根据

直角三角形

的性质可得

BM=EF=MD．

运用“SSS”

证明△BCM≌

△DCM，得∠

BCM=∠DCM；

最后由正方

形的性质推

知MC垂直平

分BD；

（2）过点M

作MQ⊥BC于

点，构建直角

角线的性质

推知∠

MCQ=45°；然

后利用锐角

三角函数求

得MQ=1；最后

根据三角形

中位线定理

求得BF的长．解答：解：（1）①②

③．

②MC垂直平

分BD，

证明如下：连

接BM、DM．

∵ABCD是正

方形，

∴∠A=∠

DCE=90°，

AD=CD；

又∵AF=EC

（已知），

∴△AFD≌△

CED．（SAS）

∴∠FDA=∠

EDC，DF=DE．

∴∠FDE=∠

ADC=90°．

∵M是EF的

中点，

∴MD=EF；

∵BM=EF，

∴MD=MB=PC．

又 DC=BC，MC

是公共边，

∴△DCM≌△

BCM，（SSS）

∴∠BCM=∠

DCM，

∴CM在正方

形ABCD的角

平分线AC上，

∴MC垂直平

分BD；

点Q．

由（1）知，

CM即BD的中

垂线，

∴∠

MCQ=45°；

又∵点M是

EF的中点，

∴MQ是直角

三角形EFB的

中位线，

∴MQ=BF；

又∵MC=

∴MQ=1，

∴BF=2MQ=2．

点评：本题考查了

正方形的相

关性质，三角

形的全等，线

段中垂线的

判定．特殊的

四边形一直

是中考的热

点，所以想设

计一题此类

的综合压轴

题，能适当结

合证明与计

算，并且能让

学生有回旋

余地，故设计

了第（1）小

题的开放题，

当然这三个

结论在证明

的难易程度

中我认为是

不相上下的，

思维量，因为

考查的知识

点都很丰

富．当然若是

选择第二个

结论的证明，

将对第（2）

小题有铺垫

作用，难易程

度﹣﹣难．

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

考点：相似三角形

的判定；一次

函数的应用；

三角形的面

积；矩形的性

质．

专题：压轴题．

分析：（1）当t=1

时，根据点E、

G的速度均为

2cm/s，点F

的速度为

4cm/s，可求

出S和t的关

系．

（2）根据点

E、G的速度均

为2cm/s，点

F的速度为

合）时，三个

点随之停止

移动．设移动

开始后第t秒

时，△EFG的

面积为S，求

出S和t的关

系式．

（3）两边对

应成比例夹

角相等的三

角形是相似

三角形可求

出解．

解答：解：（1）如图

1，当t=1秒

时，AE=2，

EB=10，BF=4，

FC=4，CG=2﹣

﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣（1

分）

由S=S梯形GCBE

﹣S△EBF﹣S△

﹣﹣﹣﹣

FCG

﹣﹣﹣﹣﹣

﹣（2分）

=×

﹣

=×（10+2）

×8﹣×10

×4﹣

=24（cm2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣（3分）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD

上移动，

此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t S=S梯形GCBE﹣S

﹣S△FCG

△EBF

=×（EB+CG）

?BC﹣EB?BF

﹣FC?CG

=×8×（12

﹣2t+2t）﹣

×4t（12﹣

2t）﹣×2t （8﹣4t）

=8t2﹣

32t+48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（4分）②如图2，当点F追上点G 时，4t=2t+8，解得t=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（5分）当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，

﹣8）=8﹣2t S=FG?BC=

（8﹣2t）?8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2

在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°

1若=，即

，

解得t=．

又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△

EBF∽△FCG

﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

2若=即

，解得t=．

又t=满足0≤t≤2，所以

（8分）

综上所述，当

t=或t=

时，以点E、B、

F为顶点的三

角形与以F、

C、G为顶点的

三角形相似．

点评：本题考查了

相似三角形

的判定定理，

一次函数的

应用和三角

形的面积以

及矩形的性

质等知识点．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，

AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C 点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；

（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

考点：相似三角形

的判定；全等

三角形的判

定．

专题：证明题；探究

型．

分析：（1）所求的

两个三角形

中，已知对顶

的结论．

（2）在Rt△

ADC中，易求

得斜边AC的

长，那么AC、

AD的差即为A

点下滑的距

离．

（3）若两个

三角形全等，

那么C′

M=A′M，此时

∠MC′A′=

∠MA′C′，

即∠MA′C′

=45°，显然

∠MA′C′＜

45°，因此两

个三角形不

可能全等．

（4）当∠

MC′C=∠

DA′M=15°

时，∠A′C′

D=60°，∠

C′A′

C=30°，此时

A′C′∥AB；

在Rt△A′

C′C中，根据

∠A′C′C的

度数及A′

C′（即AC）

的长，可求得

A′C的值，进

而可由AA′

=AC﹣A′C得

解．

解答：解：（1）如图

②，∵∠C=∠

D=90°，∠

CMC′=∠

DMA′，

∴△CC′M∽

（2）如图①，

在Rt△ACD

中，∠

D=90°，

AD=DC=c

m，∴AC=8cm；

（4分）

如图③，AA′

=AC﹣A′D=

（8﹣）

cm．（5分）

（3）不可能

全等．（6分）

理由如下：根

据对应关系

可知，如果全

等必为△

CC′M≌△

A′DM，

即C′M=A′

M，则∠C′

A′M=∠A′

C′M=45°；

∵∠MA′C′

＜45°，∴不

可能全等．（8

分）

（4）A′C′

与AB能平

行．（9分）

∵AC′∥AB，

∴∠A′C′

M=∠B=60°，

则A′

C=cm；

∴AA′=AC﹣

A′C=（8﹣

）cm．（12

分）

点评：此题考查了

直角三角形

的性质、相似

三角形的判

定、全等三角

判定等知识，

难度适中．

4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．

考点：相似三角形

的判定．

专题：证明题．

分析：先根据等边

三角形的性

质得到∠A=

∠C=60°，

BC=AB，由

AE=BE可得到

CB=2AE，再由

得到

CD=2AD，则

=，然后

根据两边及

其夹角法可

得到结论．

解答：证明：∵△

ABC为正三角

形，

∴∠A=∠

C=60°，

BC=AB，

∵AE=BE，

∴CB=2AE，

∵，

∴CD=2AD，

∴==，

而∠A=∠C，

∴△AED∽△

CBD．

的判定：两组

对应边的比

相等且夹角

对应相等的

两个三角形

相似；也考查

了等边三角

形的性质．

5．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

考点：相似三角形

的判定与性

质；全等三角

形的判定与

性质；等边三

角形的性质．

专题：证明题；动点

型．

分析：（1）①证明

△ABE≌△

CAF，借用外

角即可以得

到答案；②利

用勾股定理

求得AF的长

度，再用平行

线分线段成

比例定理或

者三角形相

似定理求得

的比值，即

可以得到答

靠近点C的时

候点P的路径

是一段弧，由

题目不难看

出当E为AC

的中点的时

候，点P经过

弧AB的中点，

此时△ABP为

等腰三角形，

继而求得半

径和对应的

圆心角的度

数，求得答

案．点F靠近

点B时，点P

的路径就是

过点B向AC

做的垂线段

的长度；

解答：（1）①证明：

∵△ABC为等

边三角形，

∴AB=AC，∠

C=∠

CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△

CAF中，

，

∴△ABE≌△

CAF（SAS），

∴AF=BE，∠

ABE=∠CAF．

又∵∠APE=

∠BPF=∠

ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠

BAP+∠

CAF=60°．

∴∠

APB=180°﹣

∠

APE=120°．

∴△APE∽△ACF，

∴，即

，所以AP?AF=12

（2）若

AF=BE，有AE=BF或

AE=CF两种情况．

①当AE=CF 时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠

BAP=30°，∴∠

AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是

．

②当AE=BF 时，点P的路径就是过点B 向AC做的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径的长度为：

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

(完整版)相似三角形知识点与经典题型

相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．（4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

(word完整版)初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F， EO延长线交AB于G．求证：．

5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．

11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

相似三角形动点问题题型归纳

相似中动点问题题型一位似图形例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点0；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．题型二动点存在问题 1如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为 5 24 个平方单位？ 3、如图所示，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从点A开始向点B以2厘米/ 秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t ≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ A B C D Q P y x O P Q A B

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下全全． 2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则 AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF AB AC = ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若 AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC = ，则有EF//BC ．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义

相似三角形经典习题

相似三角形一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F

考点二：射影定理：例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G，（1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．（１）求证：四边形AFCE是菱形；（２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G

武汉中考数学---相似三角形考题汇总(含答案)

武汉中考数学---相似三角形考题汇总本文选编了2007—2012武汉中考、四月调考中相似相关内容的考题，如需可编辑版本请与作者联系： 1.QQ 邮箱：957468321@https://www.360docs.net/doc/2e13215774.html, 2.百度站内私信：用户名 ronnie_rocket 2012 24．（本题满分10分）已知△ABC 中，6,54,52===BC AC AB ．（1）如图1，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段 MN 的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．（2）如图2，在AD 边上截取DG ＝CF ，连接GE ，BD ，相交于点H ，求证：BD ⊥GE ．图1 F E D C B A 图2 H A B C D E G F

图2 F C 图 3 2011 24.（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在ABACBC 上，且DE//边长，AQ 交DE 于点P,求证： BQ DP =QC PE (2)如图，△ABC 中，∠BAC=90别交DE 于M,N 两点。①如图2，若（四调）24.在等腰ABC Δ，AC AB =分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。 (1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明。 (2) 如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。 2010 24. (本题满分10分) 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件可证得△BDE 和△DFE 相似解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴ DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE C A D B E F D A B

相似三角形知识点总结】

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边

对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答（）51加速度学习网整理相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ．（3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．

相似三角形题型总结材料

实用文档一．解答题（共21小题） 1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有_________ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明．（2）若MC=，求BF的长． 2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°， AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C 点重合时，即停止运动，如图③所示．（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

(完整版)相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1）又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2）由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2）由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。【解题技巧点拨】

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】“平行型” 【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ，求BF EF 的值【例5】已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： … 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB = ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） ^ A

三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下全全． 2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果 EF AE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CF AB AC = A B C E F F E C B A AE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CF AB AC = '//EF BC 'F 'F … △ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽ B A ' A C ' B 'C ∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠， B B C C ''∠=∠∠=∠， ∽△△ABC A B C ''' AB BC AC k A B B C A C ==='''''' k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABC BC A M '' A H ''A D '' △A B C '''B C ''AB BC AC AM AH AD k A B B C A C A M A H A D ======'''''''''''' 【 △ABC △A B C '''AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++

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