相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳

一、比例的性质：

二、成比例线段的概念： 1．比例的项：

在比例式::a b c d =（即a c

b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，

c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b

b c

=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．

2．成比例线段：

四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c

b d

=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．

3．黄金分割：

如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）

三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理

A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则

AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF

AC DF

=

．

A

D B

E C

F

1

l 2

l 3

l

A D B

E C

F 1

l 2l 3

l

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为

=上上下下，=上上全全，=下下

全全

．

2．平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则

AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF

AB AC

=

． A

B

C E F

F

E

C B

A

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若

AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC

=

，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．

【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．

四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形

①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．

②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

2．相似三角形的定义

3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有 A A '∠=∠，B B C C ''∠=∠∠=∠，．

②相似三角形的对应边成比例． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图，△ABC ∽△A B C '''，AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线，

A M ''、A H ''和A D ''是△A

B

C '''中B C ''边上的中

线、高线和角平分线，则有

AB BC AC AM AH AD

k A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''

④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有

AB BC AC AB BC AC

k A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''

++． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有 △△ABC A B C BC AH

S BC AH k S B C A H B C A H 2'''

1

??2==?=1''''''''??2

4．相似三角形的判定

判定定理

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，则

△∽△ABC A B C '''．

判定定理2：

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

这两个三角形相似．

简称为三边对应成比例，两个三角形相

似．

如图，如果

AB BC AC

A B B C A C ==

''''''

，则 △∽△ABC A B C '''．

判定定理3：

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果

AB AC

A B A C =''''

，'A A ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．

五、“A ”字和“8”字模型

六、与内接矩形的有关的相似问题

如图，已知四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，E 、F 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则有：△∽△ADG ABC ，

DG AN

BC AM

=． 特别地，当BAC ∠=90?时，有△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC ．

N

M G

F

E D

C

B A

G

F

E

D

C

B

A

七、“A ”字和“8”字模型的构造

“A ”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：

G E

D

C

A

G

F

E

D

C

B

A G F

E D

C B A

D

E

F

C

B

A

G

A H

D

F

B

E

C

A

G

D

F B

E

C

八、斜“8”模型

九、斜“A”模型

十、射影定理

十一、三平行模型

十一二、三垂直模型

十三、角平分线定理

十四、线束模型

题型一 比例的性质和成比例线段的概念

例题1 （1）已知::::x y z =135，则

x y z

x y z

+3--3+的值是_______．

（2）若

x y z 234==．则x y z x y

-+3=3-_______． （3）若a b c 2=3=4，且abc ≠0，则

a b

c b

+-2的值是_______． 解析（1）设x k =，y k =3，z k =5．∴

x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53；

（2）11

3

；（3）-2 巩固1： （1）如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ） A ．

53x y y += B ．13y x y -= C ．123x y = D ．13

14

x y +=+ （2）已知：

23a c e b d f ===，求值：①

a c

b d

++；②2323a c e b d f -+-+． （3）已知

b c a c a b a b c a b c +-+-+-==

，求()()()

a b b c a c abc

+++的值． 解析：（1）A 为合比性质，B 为分比性质，C 显然正确，D 错误，由于1

1

x y ≠，不能用等比定理．故答案为D ．

（2）由等比性质直接可以得到2

3a c b d +=+；

232233

a c e

b d f -+=-+． （3）当0a b

c ++≠时，

()()()

b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c

+-+-+-+-++-++-====1++ 于是：2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=，()()()

a b b c a c abc

+++=8．

当0a b c ++=时，

()()()()()()

a b b c a c c a b abc abc

+++-?-?-==-1．本题答案为1-或8．

题型二 平行线分线段成比例定理 例题2

（1）如图2-1，已知∥∥l l l 123，用面积法证明：

AB DE

BC EF

=

． （2）如图2-2，∥∥AD BE CF ，若AB =4，AC =10，DE =5，则DF =______． （3）如图2-3，∥∥l l l 123，AB =3，BC =5，DF =12，则_______DE =，______EF =．

A D B

E

C

F l 1

2

l 3

l

A

D B E

C

F

A D

B

E

C

F l 12

l l 3

图2-1 图2-2 图2-3

（1）如图所示，连接AE ，BD ，BF ，CE ．△△ABE

CBE

S AB BC S =∴

． ∥AD BE ∵，∥BE CF ，△△ABE DEB S S =∴，△△CBE FEB S S =．

△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE

BC S S EF

===∴

． （2）252； （3）

92，152

． 巩固2： （1）如图2-1，直线∥∥l l l 123，已知.cm AG =06，.cm BG =12，.cm CD =15，

CH =_____．

（2）如图2-2，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若

AD BD 2

=3

，AE =3，则AC =______

（3）如图2-3，AB ∥DE ，AE 与DB 交于C ，AC =3，BD =3，CD =2，则CE =______

A C

H G

D

B

l 1

l 2

l 3

B A

D

E

A

B

C

图2-1 图2-2 图2-3

解析：（1）0.5cm ；（2）

15

2

；（3）6 题型三 相似三角形的定义、性质和判定 例题3

如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC =90?，∥AD BC ，点E 在BC 上，点F 在AC

上，∠∠DFC AEB =．

（1）求证：△∽△ADF CAE ．（2）当AD =8，DC =6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．

解析：（1）∵∥AD BC ，∴∠∠DAF ACE =，∵∠∠DFC AEB =，∴DFA AEC ∠=∠，∴△∽△ADF CAE

（2）∵AD =8，DC =6，∴AC =10，又∵F 是AC 的中点，∴AF =5 ∵△∽△ADF CAE ，∴AD AF CA CE =

，∴CE 85=10，∴CE 25

=4

，∵E 是BC 的中点， ∴BC 25=

2，∴直角梯形ABCD 的面积125123??

=?+8?6= ?222??

A D B

E

C

F l 12

l 3

l F E

D

C

B

A

巩固3： （1）下列所给条件中，可以判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．90A ∠=?，90F ∠=?，5AC =，13BC =，10DF =，26EF = B ．85C ∠=?，85E ∠=?，

AC DE

BC DF

=

C ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，8EF =，10DE =，16F

D = D ．46A ∠=?，80B ∠=?，45

E ∠=?，80

F ∠=?

（2）如图1，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，交BA 于点E ，EC 与AD 相交于点F ．求证：△∽△ABC FCD ．

（3）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，BD CE BC 21

?=2

，求证：△∽△ACE DBA ．

A

E

F D

A

D

B C

E

图1 图2

解析：（1）D ； （2）AD AC =∵，FDC ACB ∠=∠∴；DE ∵垂直平分BC ，EB EC =∴， ∴ABC FCD ∠=∠，△∽△ABC FCD ∴.

（3

）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221

?=?2==2

，

条件变为比例形式：BD BA

AC CE

=

，由于DBA ACE ∠=180?-45?=∠，∴△∽△ACE DBA ．

题型四 “A ”字和“8”字模型

例题4 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．

（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．

G B

A

F D

C E

C A

D M N P

Q

图4-1 图4-2

解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3

==5

∴

FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3

=+75

．得.FG =105． （2）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==

3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2

=5

，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．

巩固4： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ．

（2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．

（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．

N

M F

E C B

A

A

B C

E

F D

A C

B

Q

P

D

图4-1 图4-2 图4-3

解析：（1）1:3:5；（2）

14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1

=3

∴ PQ AC AC 111??

=1--= ?236??∴，::::AP PQ QC =213∴．

题型五 与内接矩形有关的相似问题 例题5

（1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点

G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．

（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ??==1，BEG S ?=3，求△ABC 的面积．

H

A

B C D E F

G

A

C

D

E

G

B

图5-1 图5-2

解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有

AM HG AD BC =，即x x

10-=1015

，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形

（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=

，CI x 2=，BG x

6

=． 由△∽△CDE CAB ，得

CI DE CH AB =

，∴x

x

x x x x

2

=28++，解得x =2， ∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ?1

=

?=92

巩固5： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90?，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．

G

F E

D

C B A H I

D

C E

G

F A

B

G

F

E

D C

B

A H M

A

C

D

E

G B

I

H

H

P

E

D C

B A

解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ?=?可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得

DE CI AB CH =

，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60

=37

． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25

=3

． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=

37

，∴DE k 60

=5=37．

题型六 “A 字和“8”字模型的构造 例题6

如图，ABC △中，

D 为BC 边的中点，延长AD 至

E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．

解析：

如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，

AH AD

AD DE AH PH PH DE

=2?

==2?=2， HD PC ∥，BH BD

BD CD BH PH PH CD

=?

==1?=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， ∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：

A B

C

D E

K

P

A

B

C

D

E

K P P

K

E

D C

B

A

巩固6： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=

2，求

CD

AB

的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1

=

2

时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n

1

=

()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

解析：（1）∵BK KC 5=

2，∴CK BK 2

=5

，又∵CD ∥AB ，

∴KCD KBA △∽△，∴

CD CK AB BK 2

==5

（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1

=

2时，AB BC CD =+；

证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ，

∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，

又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1

==

2

，

A

B

D

E

C

C D

E

K

B

A

而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111

=+222

；AB BC CD ∴=+；

当AE AD n

1

=

(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型七 斜“A ”和斜“8”模型 例题7

如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面

积的4倍，6AC =，求DE 的长．

解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴

BE BC

BD AB =，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，

∴11

322

DE

DE AC AC

===?==．

巩固7： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=?；②AF AD AE AC ?=?；③BF BE BD BC ?=?． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21

=

?2

．

F

E

C

D

B

A

A D

E

F C

解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60? ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．

∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴

BD DF

AD BD

=

，∴BD AD DF 2=?． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．

（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点

∴MA MD DE 1==2

，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，

∴

∠2=∠3，∴∠1=∠3，

∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=?，∴AD DE DB 21

=

?2

． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90?，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=?， 又∵DN BD 1=

2，∴AD DE BD 21

=?2

． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找

A

D

E

F C

M

1

2

3

E

D C

A

B

巩固8： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60?．

（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．

（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2

？请写出探究

结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）

图3图2图1l

P F

E

D

C

B A

F

P E

D

C B

A

l

F

P

E

D

C

B

A 图3图2l P F E D C

B A l F

P

E

D

C B

A

图

3l

P

F

E

D C

B A 图8-1 图8-2 图8-3 解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下： ∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．

（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1

=2

．

证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30

∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1

=2

，

又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1

=2

．

题型八 射影定理 例题8

如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交

AD 于H ，求证：EF EH EG 2=?．

解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=?， 又由AD BC ⊥可知，

AEH CEG ∠=∠=90?，EAH EGC ∠=∠，

∴AEH GEC △∽△，∴

EH EA

EC EG

=

， ∴EH EG EA EC ?=?，∴EF EH EG 2=?．

巩固9： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．

（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED

44?=

?． G

H

F

E

D C

B A

C

A

E

F

D

B

B

A

E

D

C F

图9-1 图9-2

解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =?，2CD CF CB =?， CE CA CF CB ?=?∴，即

CE CF

CB CA

=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． （2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF AB

AC DC BC EC AC

??==??， 于是仅需证明

AB FD

AC ED

=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DF

AC DE

=，得证． 题型九 三垂直模型 例题9

如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM

交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．

（2）连接FG ，如果45α=?，42AB =，3AF =，求FG 的长．

解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=?-，

180AMF AFM α∠+∠=?-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠

=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．

（2）∵AMF BGM △∽△，∴

AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴1

2

AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴

83

BG =∴， ∵

45α=?∵，∴90ACB ∠=?∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43

CG BC BG =-=， ∴22

53

FG CF CG =+=．

巩固10： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．

（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．

G

F

E D

C

B A

B

y

D E O

A

x

C

图10-1 图10-2

E

D

C

G F

B

M A

解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AE

FD FG

==， ∴2AB DF =，∴2AB CF =，

1AB AE BE

EC EF CF

===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =

，∴CE =

，CF =

BC

，AB ， ∴矩形ABCD

的周长为

（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴

1

3

CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-， 由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45

x =

，故45CG =，125DF =，

求得D 点坐标为41255??

- ???

，．

巩固11： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=?，

DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线

段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．

（2）已知BP a =，9

2

CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．

B D

F

A P

Q

E

C

B

D

F

A

P Q

图11-1 图11-2

解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=?， ∴135BEP CEQ ∠+∠=?，135CQE CEQ ∠+∠=?，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=?，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴

BP BE

CE CQ

=

， ∵BP a =，9

2CQ a =，BE CE =，∴

BE CE ==，

∴BC =，∴3AB AC a ==，∴3

2AQ a =，2PA

a =，

在Rt APQ △中，5

2

PQ a =．

题型十 三平行模型

例题10 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；

（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．

D

F

A

P

Q

F

E

M

D

C

B

A

解析：（1）∵AB CD ∥，∴

ME AM ED CD =，MF BM

FC CD

=， ∵AM BM =，∴

AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC

=?∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴

111EF AM CD =+，∴2ab

EF a b

=+． 巩固12： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：

111

AD AB AC

=+

．

A

B

D

A

B

C

E

F

解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由

于

EB//AD//FC ，

有

111AD BE FC

=+；由于60EBA BAD ∠=∠=?，

18060EAB BAC ∠=?-∠=?所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．

BE AB =∴，FC AC =．故

111AD AB AC

=+． 题型十一

角平分线定理

例题11 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．

解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AE

BC BE

=， ∵

BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC

===∴ 即

AD AE

AB AC

=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- ∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．

巩固13： （1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90?，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．

（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：

AI AB AC

ID BC

+=

．

C

A

D

B

I

A

D B C

图13-1 图13-2

解析：（1）由角平分线定理

34AD AC

DB BC ==，由于5AB ==，315

77

AD AB ==∴ B A

E

D

（2）由角平分线定理得到

AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC

++==+． 巩固14： 若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求

AD DC ?的值．

P D

C

B

A

E

A B

C

D

P

解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．

∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ?=?=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴7

3

AD ED =∴， 7

73

AD DC ED DC ?=

?=∴． 题型十二 线束模型

例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1

==2

，

DF DQ AG QG ==2， ∴

DE DF 1

=4

，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MN

AC NC

==1， ∴

PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1

==3

， 即EF DE =3．

过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．

Q

P

A

B

C

M

N D

E

F

Q

P G

A

B

C

M

N

D

E

F

巩固15： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：

AE DF

BE CF

=

． F

E

D N

M

C

B

A

（2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．

（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．

A

C F

D

E B P

O

A

B

C

M D P

O

A

B C

M D P G

图15-1 图15-2 图15-3

解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴

AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DF

BE CF

=

； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．

∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴

OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BN

CM DM

=

①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴

AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BN

DM CM

=

②， ①÷②，

DM CM

CM DM

=

，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG ?MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NP

MG MP

=

②， ①×②，得

MC NA MP NP NB MG NP MP ?=?=1，∴MC NB MG NA

=

． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ON

MD OM

=

， ∴

NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MD

MG MC

=

，∴MC MG MD 2=?． 题型十三

相似综合

例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CD

x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x

轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．

解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90? ∴只要

OE EF EB EF =或OE EF EF EB =

，即BE t =2或EB t 1

=2

． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴

t t t 2=42-，∴t =0（舍去）或t 3

=2

，∴(,)B 60． ②当EB t 1

=2

时，

（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3

=-=2

，

∴

t

t t

23

=

2-2

，∴t=0（舍去）或t

2

=

3

，∴(,)

B10．

（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t

5

=+=

2

，

∴

t

t

t

25

=

2-2

，∴t=0（舍去）或t

6

=

5

，∴(,)

B30．

巩固16：如图，Rt ABC

△中，ACB

∠=90?，CD AB

⊥于D，过点D作DE BC

⊥，BDE

△

边DE上的中线BF延长线交AC于点G．

（1）求证：AD BD CE CB

?=?；（2）若AG FG

=，求:

BF GF；

（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．

A

F

E

C

D

G

A

F

E

C

D

G P

解析：（1）证明：∵CD AB

⊥，∴BCD

△是直角三角形．∵DE BC

⊥，∴CD CE CB

2=?．∵ABC

△是直角三角形，CD AB

⊥，∴CD AD BD

2=?，∴AD BD CE CB

?=?；

（2）解：过G作GP DF

⊥交DF于P，连结DG，

∵AC BC

⊥，DE BC

⊥，GF DE

⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP

=

在Rt ADC

△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG

==．

又∵AG FG

=，∴DG FG

=，∴GFD

△是等腰三角形．

∴GP是FD的中线，DP FP

=，即FP DF EF

1

=

1

=

22

．

∵CG EP

=，FP EF

=

1

2

，∴::

PF CG=13，∴::

PF FG=13．

∵PFG EFB CGB

△△△

∽∽，∴::::

CG BG EF BF PF GF

===13，

∴::

FG BG=13，::

BF GF=21；

（3）解：∵BC=62:::

CE BE GF BF

==12，∴CE=22，BE=42

∵::

EF BF=13，设EF x

=，则BF x

=3，

∴()

x x

222

+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，

∴()

AB AC BC

2222

+6+6263BD=43