高三数学《解三角形》题型归纳

高三数学《解三角形》题型归纳（含解析）

题型一：求某边的值

（1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知2

5,2,cos 3

a c A ===

，则b =_______.

（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60?， ∠BCD ＝135? ，则BC ＝ ．

（3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2

－c 2

＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ．

（4）钝角△ABC 的面积是1

2

，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ．

（5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －

c ＝2，cos A ＝－1

4，则a 的值为________．

（6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o

，且ABC △的面积为153

4

，则BC 边长为______．

（7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________．

答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26

题型二：三角形的角

（1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3

BC ，则cos A ＝________．

（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c

B b

+=

．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且

cos sin a c

A C

=，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________.

（6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________.

答案：（1）－10

10

（2）

725

（3）π3A =

解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B

+=?+= 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=

， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=

，∴1cos 2

A = ∵0πA <<，∴π3A =． （4）

4π

（5）6

π

（6） 6:5:4

题型三：三角形面积的最值问题

（1）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ?面积的最大值为_________．

（2）已知ABC ?的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足

，则ABC ?面积的最大值为___________. （3）在ABC ?中，若2

2

2,8AB AC BC =+=,则ABC ?面积的最大值为___________.

（4）若2,AB AC ==

，则ABC ?面积的最大值为___________.

（5）已知ABC ?面积S 和三边,,a b c 满足：()2

2

,8S a b c b c =--+=则ABC ?面积的最大值为___________.

答案：（1解析 由2a =，(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-得

()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-．由正弦定理得222()()(),a b a b c b c b c a bc +-=-+-=

，1

cos ,23

A A π==

．因为222b c a bc +-=，所以2222

4,42,4b c bc b c bc bc bc +-=+=+≥≤，当

且仅当b c =时取等号．所以1

sin 2

ABC S bc A =

≤V

（2）

解析:由可得,即

,也即A B A C B A cos sin cos sin 2cos sin -=,故A C B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得

再由余弦定理可得cb b c 3)(32-+=,即cb b c cb 4)(332≥+=+,所

以3≤cb ,

（3

（4） （5）

64

17

题型四：求三角形边的最值或范围

（1）已知ABC ?是锐角三角形，若B A 2=，则_______. （2）在锐角ABC ?，若2C B =，则

c

b

的取值范围是_______. （3）设A 是ABC ?的最小角，它所对的边为a ，若，1

cos 1

a A a -=+，则a 的取值范围是_______.

（4）在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则值范围为 ．

（5）在钝角ABC ?中，已知1,2a b ==，则最大边的取值范围是 .

（6）已知顶点在单位圆上的△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且

cos cos a c B b C =+，若b a ≥，则2b c -的取值范围是 .

（7）在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .

答案：（1解析：由题意得，在ABC ?中，由正弦定理可得

为B A 2=，又因为锐角三角形，且

（2

（3）[)3,+∞ 解析：A B C π++=,所以,A B A C ≤≤，所以3,03

A A π

π≤<≤

，所以

1

cos 12

A ≤<，所以答案为[)3,+∞ （4）17(,)48

（5）

(

)

3,5 解析：因为是钝角三角形的最大边,所以C 是最大角.22212+>c 即

52>c ,5>∴c 或5-

(

)

3,5.

（6）[3,23) 解析：由已知可得：1cos 2A =，得3

A π=， 由2sin sin b c

B C

==，得2sin b B =，2sin c C =， 所

以

224sin 2sin 4sin 2sin(

)3sin 3cos 3b c B C B B B B π-=-=--=-23sin()6

B π=-．因为b a ≥，所以

23

3B π

π≤<

，即662

B πππ

≤-<， 所以223sin()[3,23)6

b c B π

-=-

∈． （7）（62-，6+2）解析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重

合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得

sin sin BC BE

E C

=

∠∠，即

o o

2sin 30sin 75BE

=

，解得BE =

6+2

，

题型五：求三角形中角的最值或取值范围

（1

）ABC

?各角的对应边分别为c

b

a,

,

，满足1

≥

+

+

+b

a

c

c

a

b

，则角A的范围是______. （2）在锐角三角形ABC中，若sin2sin sin

A B C

=，则tan tan tan

A B C的最小值是 . （3）已知ABC

?中，角A B C

，，的对边依次为a b c

，，，若cos2cos22cos2

A B C

+=,则cos C的最小值是 .

（4）在ABC

?中，角A B C

，，的对边依次为a b c

，，，若222

,,

a b c成等差数列，则cos B 的最小值是 .

（5）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2

a b

c

+

=，则cos C的最小值是 .

答案：（1）]

3

,0(

π

解析：

（2）8 解析

（3）

1

2

（4）

1

2

解析：222

2b a c

=+，

22222

22

1

cos

222

a c

b b b

B

ac ac a c

+-

==≥=

+

，当且仅当a c

=

时等号成立.

（5）

1

2

解析：因为

2

a b

c

+

=,所以

2

22

2222

cos

22

a b

a b

a b c

C

ab ab

+

??

+- ?

+-??

==

311

842

b a

a b

??

=+-≥

?

??

，当且仅当a b

=时，等号成立.故cos C的最小值为

1

2

题型六：判断三角形的形状

（1）在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::21)a b c =，则三角形的形状为________.

（2）在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r 若,a b b c c a ?=?=?r r r r r r

则三角形的形状为

________.

（3）在ABC ?中，若2

2

tan :tan :,A B a b =则三角形的形状为________.

答案：（1）锐角三角行 解析：a b c <

且2

4c =+228a b +=， 222

c a b ∴<+，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形

（2）等边三角形 解析：0a b c ++=r r r r

Q ，22,()a b c a b c ∴+=-+=r r r r r r ，2222a b a b c ∴++?=r r r r r 同理2222b c b c a ++?=r r r r r ，两式相减，得2222

2()a c a b b c c a -+?-?=-r r r r r r r r ，

Q a b b c ?=?r r r r

，∴2a r =2c r ，a c =r r ，同理a b =r r ，∴a b c ==r r r ，故ABC ?是等边三角

形。

（3）等腰三角形或直角三角形 ：由已知条件及正弦定理可得22

sin cos sin cos sin sin A B A

A B B

=，,A B Q 为三角形的内角，

sin 0,sin 0A B ∴≠≠，sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或 2

A B π

+=

，所以ABC ?为等腰三角形或直角三角形。