整式-分式-因式分解-二次根式解题技巧

1.整式

用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．

只含有数与字母的积的代数式叫单项式．

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23

13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．

几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．

单项式和多项式统称整式．

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．

注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入

(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整

体”代入．

2.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

注意：(1)同类项与系数大小没有关系；

(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．

整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．

同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数)．

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n

m a a =(n m ,都是正整数)．

积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂

相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．

单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．

单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：

()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．

注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．

②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同

时还要注意单项式的符号．

多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．

①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；

②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；

③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+

④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；

⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．

注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．

同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．

注意：10=a (0≠a )；p a a

a p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的

3．因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例

如：23248a ab b a ?=；()111+=+a a

a a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：

()c b a c b a ++=++222，不是因式分解．

(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．

(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：

4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()

b a b a b a 55522-++．

1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因

式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．

2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．

完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2

222b a b ab a -=+-．

立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．

立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．

注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．

3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．

4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．

5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．

因式分解的一般步骤是：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．

4. 分式

一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成

B A 的形式．如果B 中含有字母，式子B

A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，

B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．

注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；

(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；

(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．

把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．

一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、

分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式． 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：M

B M A M B M A B A ÷÷=??=(其中M 是不等于零的整式)． 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： B

A B A B A B A --=--=--= 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．

例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小． (1)b a b a 41313121-+；(2)222

26.04

11034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．

解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413

112312141313121-+=???? ??-???? ??+=-+； (2)()()()

2222222222222

22

2125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.04

11034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=?-?+=-+ 2

22

212568y x y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：

bd ac d c b a =?；bc

ad c d b a d c b a =?=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：

n n n b a b a =??

? ??(n 为整数)． 3、分式的加减法则：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：

c

b a

c b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：

bd

bc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算7

8563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7

175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ??

? ??+++??? ??++-??? ??++-++=711511311111x x x x ??

? ??+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()

752312++-++=x x x x ()()()()()()()()

7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()

75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．

5.二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式

若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而

b a ，()2b a +，248ab ，x

1就不是最简二次根式．

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．

②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．

注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．

合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．

把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+1

31 )

13)(13(1

3-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．

注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如

22133)

7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ． (2)???<-≥==．

，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥?=b a b a ab ． (4))0,0(>≥=b a b

a b a 二次根式的加减法法则：

(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；

(2)找出其中的同类二次根式；

(3)再把同类二次根式分别合并．

二次根式的乘法法则：

两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =?(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．

二次根式的除法法则：

两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：b

a b a

=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．

例1、计算：6

321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6

321263212--+++-- ()()()()

1312213122-+---= ()()()()2

131********+--++=

(

)()131212++-+= ()132+= 232+=．

例2、计算：()()()()7

51755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、

减法的运算法则“ab

a b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()

355737+-+=-，

∴原式7

51751531531321+++-+++-+= 321+= 23-=．

例3、已知2

73-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值．

分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．

解： 272

73+=-=x ， 又372<< ，

54<<∴x ．

27427,4-=-+==∴b a ． ()()()(

)()(

)272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 3

1978-=．

二次根式的化简技巧

一、 巧用公式法

例1计算b a b

a b a b

a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()

0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=()b a b

a --2+()()

b a b

a b a +-+=()b a -+()

b a -=2a -2b 二、适当配方法。

例2．计算：3216

3223-+--+

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是可以发现3+22=()221+，且()

21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。

解：原式=

()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、正确设元化简法。

例3：化简53262++

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加02

22=-+c b a ，因此可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。

解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以：

原式=()()()5322222

222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法

例4，计算()()76655627++++

分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：

b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。

解：原式==()()()()

()()()()76657676656576657665+++++++=++++

+ 5767567616

51

-=-+-=+++ 五、整体倒数法。

例5、计算()()13251

335++++ 分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：

b a ab b a 11+=+，化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。

解：设A=()()13251335++++

()()()()()()1335133513351

3251++

+++=++++=A 则=

235213351

131

-+-=+++ 所以A=2

15152+=- 六、借用整数“1”处理法。

例6、计算6323

2231++-+

分析：本例运用很多方面的知识如： 1=()()

()b a --+.2323和×()22b a b a -=+，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。 解：原式 =()()()()()

6322

3623236323

2232323++-+-+=++-+-+

=23623)

623)(23(-=+++--

七、 恒等变形整体代入结合法

分析：本例运用整体代入把x+y 与xy 的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y 与xy 代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y 与xy 的因式，

如x 2－xy+y 2=(x+y)2－3xy ，然后再约分化简。

例7：已知X=

21（57+），y =21(-75)，求下列各式的值。 （1）x 2－xy+y 2; (2)y x + x

y 解：因为X=21（57+），y =2

1(-75)，所以：x+y=7，xy=21。

（1） x 2－xy+y 2=（x+y ）2－3 xy=(7)2－3×21=2

11 （2） y x + x y =xy y x 22+=()=-+xy xy y x 221221

212)7(2=?-

八、降次收幂法：

例8、已知x=2+3，求7

25232-+-x x x 的值。 分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式142-+x x 转化为4x －1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由x=2+3,得x －2=3。(x-2)

2=3整理得：x 2=4x －1。 所以：3x 2－2 x+5=3（4 x －1）－2 x+5=10（2+3）+2=22+103

22 x －7（2+3）-7=23－3，所以原式=3323

1022-+-=42+3

374 分式运算的几点技巧

分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一. 分段分步法

例1. 计算：

解：原式

说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：计算

（答案：）

二. 分裂整数法

例2. 计算：

解：原式

说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团8张，圆圆4张）

三. 拆项法

例3. 计算：

解：原式

说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

同类方法练习题：计算：

（答案：）

四. 活用乘法公式

例4. 计算：

解：当且时，

原式

说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

同类方法练习题：计算：

（答案：）

五. 巧选运算顺序

例5. 计算：

解：原式

说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。

同类方法练习题：解方程

（答案：）

六. 见繁化简

例6. 计算：

解：原式

说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。同类方法练习题：解方程（答案：）

因式分解的常见变形技巧

。

技巧一符号变换

有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。

体验题1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)

指点迷津y-x= -(x-y)

体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)

小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题1分解因式：-a2-2ab-b2

技巧二系数变换

有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。

体验题2分解因式4x2-12xy+9y2

体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2

小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题2分解因式

2

2

1

439

xy y

x++

技巧三指数变换

有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。

体验题3分解因式x4-y4

指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。

体验过程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)

小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。

实践题3分解因式a4-2a4b4+b4

技巧四展开变换

有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。

体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。

体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)

小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。

实践题4x(x-1)-y(y-1)

技巧五拆项变换

有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。

体验题5 分解因式3a3-4a+1

指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成

-3a-a试试。

体验过程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a= 3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1) [3a(a+1)-1]

=(a-1)(3a2+3a-1)

另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。

原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)

=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)

小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一

致。

实践题5分解因式3a3+5a2-2

巧六添项变换

有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。

体验题6分解因式x2+4x-12

指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将

其配成完全平方式再说。

体验过程 原式= x 2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)

小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺

项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。

实践题6 分解因式x 2-6x+8 实践题7 分解因式a 4+4

技巧七 换元变换

有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。

体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。

体验过程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1*

令x 2+5x=m.

上式变形为(m+4)(m+6)+1

m 2+10m+24+1=(m+5)2=(x 2+5x+5)2

*式也可以这样变形，令x 2+5x+4=m

原式可变为：m(m+2)+1=m 2+2m+1=(m+1)2=(x 2+5x+5)2

小结 换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如

上题中的x 2+5x+4与x 2+5x+6就有相同的项x 2+5x.，换元法实际上是

用的整体的观点来看问题。

实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9

实践题答案

实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2

实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.

原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2

实践题2 分解因式2

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xy y x ++ 实践详解 原式=(2x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2=(2x +3

y )2

实践题3 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4

指点迷津 把a 4看成(a 2)2，b 4=(b 2)2

实践详解 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2