正余弦定理高考真题.doc
高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形
正弦定理、余弦定理高考真题
1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2
sin 23
A =，则sin cos A A +=
A.
15
3
B ．153-
C ．53
D ．53-
解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23
A A A +=+=，故选A
2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则
A ．111A
B
C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形
C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形
D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111
A B C ?是锐角三角形，若222
A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2
sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???
==-???==-??，得21
2
121222A A B B C C πππ?
=-??
?=-???
=-??
，那么，2222
A B C π
++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。
3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量
(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--
,若//p q ,则角C 的大小为
(A)6π
(B)3π (C)
2π (D) 23
π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=
，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23
C C π
=
?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ．
3
2
Ｂ．3 Ｃ．
158
Ｄ．
157
解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22
1522tan
15152tan 7151tan 1()
215
A
A A ?
=
==--，选D
5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
A ．1
4
B ．34
C ．
24 D ．23
解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，
222cos 2a c b B ac +-==2222
423
44
a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、
b 、
c ,A =3
π,a =3,b =1，则c =
(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理得sinB ＝12
，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B
7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则
()2a b b c =+是2A B =的
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件
（C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，
则2
sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22
a B
B C --=+， ∴ 1
(cos 2cos 2)sin sin 2
B A B
C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=，
又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到
()2a b b c =+，
所以()2
a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.
8、（06北京卷）在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.
解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，
由余弦定理可解得B ∠的大小为3
π
.
9、（06湖北卷）在?ABC 中，已知4
3
3=
a ，
b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝3
2
. 解：由正弦定理易得结论sinB ＝
32
。 10、（06江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝
【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识
【正确解答】由正弦定理得，
sin 45sin 60AC BC
=
解得46AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其
夹角运用余弦定理
11、（06全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 解析: 由ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3
B π
∠=
AD 为边BC 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD =。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，
则=C 2cos .
解：由三角形面积公式，得
1
sin 20sin 122
BC CA C C ??==，即3sin 5C =．
于是2
7
cos 212sin 25
C C =-=
从而应填725．
13、（06湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若AC=3DC,求β的值. 解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 22
22
π
π
π
απββαββ=
--=-
∴=-=- ，
即sin cos 20αβ+=．
（2）．在ABC ?中，由正弦定理得
3,.sin 3sin sin sin()sin sin DC AC DC DC
βααπβαβ
=?=∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=-，2
sin 3cos23(12sin ),βββ∴=-=--
即233
23sin sin 30.sin sin 23
ββββ--===-解得或．
30,s i n
,.
2
23
π
π
βββ<<
∴=?= 14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，
已知22
sin 3
A =， （1）求2
2tan sin 22
B C A
++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．
解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，22
sin A =
，所以cosA ＝13，
则
2
2222B C
sin B C A A 2tan sin sin B C 222
cos 2
1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33
＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－
（2）ABC ABC 1122
S 2S bcsin A bc 223
?
因为＝，又＝＝，则bc ＝3。 将a ＝2，cosA ＝1
3
，c ＝3b
代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得
42b 6b 90－＋＝
解得b ＝3
15、（06江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正
三角形，
M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN
经过
△ABC 的中心G ，
设∠MGA ＝α（23
3
π
π
α≤≤
） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数 （2）求y ＝
22
12
11
S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，
所以 AG ＝233
3
23
?＝，∠MAG ＝6π，
由正弦定理
GM GA
sin
sin 6
6
π
π
πα＝
（－－）
得3
GM 6sin 6
π
α＝
（＋）
B
D
C
α
β A
图
α
D
A
B
C
M N
则S 1＝
1
2
GM ?GA ?sin α＝sin 12sin 6
απ
α（＋）
，同理可求得S 2＝
sin 12sin 6
α
π
α（－）
（2） y ＝
22
12
11S S ＋＝22
2144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2α）， 因为23
3π
πα≤≤
，所以当α＝3π或α＝23
π
时，y 取得最大值y max ＝240 当α＝2
π
时，y 取得最小值y min ＝216
16、（06全国卷I ）ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，
cos 2cos 2
B C
A ++ 取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A
2 .
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 12)2+ 3
2
当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2
17、（06全国II ）在25
45,10,cos 5
ABC B AC C ?∠=?==中，,求
（1）?BC =
(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。 解：（1）由255
cos sin 55
C C =
=得
2310sin sin(18045)(cos sin )210
A C C C =--=
+=
由正弦定理知10310
sin 32sin 10
22
AC BC A B =
?=?= （2）105sin 2sin 5
22
AC AB C B =
?=?=，1
12BD AB ==
由余弦定理知222
2cos 1182132132
CD BD BC BD BC B =
+-?=+-???
= 18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，
向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=
，且1m n ?=
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B
解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ?=
∴()
()1,3cos ,sin 1A A -?= 即3sin cos 1A A -=
312sin cos 122A A ???-?= ? ??
?,
1sin 62A π?
?-= ??
?
∵50,66
6A A ππ
ππ<<-<-
<
∴66
A ππ-= ∴3A π=
（Ⅱ）由题知2
2
12sin cos 3cos sin B B
B B
+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2
B =
∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123+=--853
11+= 19、（06天津卷）如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4
3
cos =C ．
（1）求AB 的值；
（2）求()C A +2sin 的值.
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，
考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，
2
2
2
2..cos AB AC BC AC BC C =+-3
41221 2.4
=+-???=
那么， 2.AB =
（Ⅱ）解：由3
cos 4
C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4
C C =-=
由正弦定理，,sin sin AB BC C A =解得sin 14
sin 8
BC C A AB ==。 所以，52cos 8A =
。由倍角公式57
sin 2sin 2cos 16
A A A =?=， 且29
cos 212sin 16
A A =-=
， 故()37
sin 2sin 2cos cos 2sin 8
A C A C A C +=+=
. 20、（07重庆理5）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）
A.33-
B.2
C.2
D.33+ 【答案】：A
【分析】：003,45,75,AB A C === 由正弦定理得：
3
,,sin sin sin 45sin 75624
a c BC AB
A C =?==+
3 3.BC ∴=-
21、（07北京文12理11）在ABC △中，若1
tan 3
A =，150C = ，1BC =，则A
B =
解析：在ABC △中，若1tan 3
A =，150C = ，∴ A 为锐角，1
sin 10
A =
，1BC =，则根据正弦定理AB =
sin sin BC C A ?=10
2
。． 22、（07湖南理12）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，
3c =，则B = ．
【答案】
5π6
【解析】由正弦定理得1373
cos ,2213
B +-=
=-??，所以5π.6B =
23、（07湖南文12） 在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，
若1,3,3
a c C π
===，则A= .
【解析】由正弦定理得
2
1
323
sin sin sin sin ===?=c C a A C c A a ，所以A=π6 24、（07重庆文13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 。
【答案】：
3
【分析】：由余弦定理得：22212212cos60 3. 3.AC AC =+-???=∴=
24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大
会，会标
是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由
四个全
等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于
．
解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a , b ，则
22251
62
a b ab ?+=?
?=??， ∴ 两条直角边的长分别为3，4，
设直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ=5
4
，cos2θ=2cos 2θ－1=
725
。 25、（07福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--?．
又0πC << ，3
π4
C ∴=．
（Ⅱ）3
4
C =π ，AB ∴边最大，即17AB =．
又tan tan 0A B A B π
??
<∈ ?2??
，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?
==???+=?
，，
且π02A ??
∈ ???，，
得17
sin 17
A =
．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C == ． 所以，最小边2BC =．
26、（07广东理16）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．
（1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．
解析： （1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =-
，
∴6161cos cos ,5255
A AC A
B -+∠=<>==?
，∴si n ∠A ＝255；
2）若∠A 为钝角，则39160
c c -++
≠?解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞； 27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B
在同一水平面内的两个测点C 与
D
．现测得
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，
，并在
点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．
由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠?=
=
∠+． 在ABC Rt △中，
tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ?=∠=
+．
28、（07湖北理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和AC
的
夹角为θ．
（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 3cos 24f πθθθ??
=+-
???
的最大值与最小值． 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
则由1
sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ
42θ??
∈????，∴． （Ⅱ）2π
()2sin 3cos 24f θθθ??=+- ???π1cos 23cos 22θθ????=-+- ?????
?
?
(1sin 2)3cos2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ?
?=-+=-+ ???．
ππ42θ??∈????，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ?
?-+ ??
?∴≤≤．
即当5π12θ=
时，max ()3f θ=；当π
4
θ=时，min ()2f θ=． 29、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为
a b c ，，，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =，
由ABC △为锐角三角形得π
6
B =．
（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π
??+=+π-- ?6?
?
cos sin 6
A A π
??
=++ ??
?
13cos cos sin 22A A A =++3sin 3A π?
?=+ ??
?．
由ABC △为锐角三角形知，22A B π
π->-，2263
B ππππ-=-=．
2336A πππ<+<，所以13
sin 232
A π??+< ???． 由此有
333sin 3232A π?
?<+
， 所以，cos sin A C +的取值范围为3322??
? ???
，． 30、（07全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π=3
，边23BC =．设内
角B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π
=>>3
，，得20B π<<
3
．
应用正弦定理，知23
sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π??
=
=- ?3??
． 因为y AB BC AC =++， 所以224sin 4sin 2303y x x x ππ???
?=+-+<<
? ?3???
?， （2）因为1
4sin cos sin 232y x x x ??3=+++ ? ?2??
543s i n 23x x π
π
ππ??
??=++
<+< ? ?6
6
66?
?
??，
所以，当x ππ+=6
2
，即x π=3
时，y 取得最大值63．
31、（07山东理20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，
乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B 处，此时两船相距
102海里，问乙船每小时航行多少海里？
解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，
1220
30210260
A A =?
=， 1221A A A B ∴=，
又12218012060A A B =-= ∠，
122A A B ∴△是等边三角形，
1212102A B A A ∴==，
由已知，1120A B =，1121056045B A B =-= ∠， 在121A B B △中，由余弦定理，
22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+- 222
20(102)2201022
=+-???
200=． 12102B B ∴=．
因此，乙船的速度的大小为
102
6030220
?=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图，连结21A B ， 由已知1220A B =，1220
30210260
A A =?
=，112105B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=-
2(13)
4
-=
， sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)
4
+=
． 在211A A B △中，由余弦定理，
222
21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-
222(13)
(102)202102204
-=+-???
100(423)=+． 1110(13)A B ∴=+．
北
1B
2B 1A
2A
120 105 甲
乙
北
1B
2B
1
A
2A
120 105 乙
甲
由正弦定理1112111222202(13)2
sin sin 4210(13)
A B A A B B A A A B +=
==
+ ∠∠， 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，2(13)
cos15sin1054
+==
． 在112B A B △中，由已知12102AB =，由余弦定理，
22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++
2222(13)
10(13)(102)210(13)1024
+=++-?+??
200=． 12102B B ∴=，
乙船的速度的大小为
102
6030220
?=海里/小时． 答：乙船每小时航行302海里．
32、（07山东文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ；
（2）若5
2
CB CA = ，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan 3737cos C C C
=∴= ，
又22sin cos 1C C += 解得1
cos 8C =±．
tan 0C > ，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．
（2）52CB CA = ， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
33、（07上海理17）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．
若4π,2=
=C a ，5
5
22cos =B ，求ABC △的面积S ． 解： 由题意，得3cos 5
B B =，为锐角，5
4
sin =B ， 10
2
74π3sin )πsin(sin =
??? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7
10
=
c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==???= ．
34、（07天津文17）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-． （Ⅰ）求sin
B 的值；
（Ⅱ）求sin 26B π??
+ ??
?
的值．
本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在ABC △中，2
2
43
sin 1cos 155A A ??=-=--= ?
??
， 由正弦定理，
sin sin BC AC A B =．所以232
sin sin 355
AC B A BC ==?=． （Ⅱ）解：因为4
cos 5
A =-，所以角A 为钝角，从而角
B 为锐角，于是
2
2
221cos 1sin 155B B ??
=-=-= ???
，
22117cos 22cos 121525
B B =-=?
-=， 221421
sin 22sin cos 25515
B B B ==??=
． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ?
?+=+ ??
?4213171252252=?+?1271750+=．
35、（07浙江理18）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数．
解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，
两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积1
1sin sin 2
6
BC AC C C = ，得13
BC AC = ，
由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=
22()21
22
AC BC AC BC AB AC BC +--== ， 所以60C = ．
36、（07天津文理15） 如图，在ABC ?中，
120,2,1,BAC AB AC D ∠=?==是边BC 上一点，
2,DC BD =则AD BC =
__________.
【答案】83
-
【分析】法一：由余弦定理得222222
cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD
+-+-=
=????
可得7BC =
13
,3
AD =
， 又,AD BC 夹角大小为ADB ∠，2223298
cos 29413791
BD AD AB ADB BD AD +-∠==-?=-???，
所以8cos 3
AD BC AD BC ADB =??∠=-
.
法二：根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-
112()333
AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+
,此时
2212122()()33333
AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+- ··
18183333
=--=-.
A
B
D
C
2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』
高考复习·归纳训练
2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题4.5 正弦定理和余弦定理 目录 一、题型全归纳 (1) 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1) 类型一用正弦定理解三角形 (2) 类型二用余弦定理解三角形 (2) 类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二利用正、余弦定理边角互化 (5) 题型三与三角形面积有关的问题 (7) 二、高效训练突破 (10) 一、题型全归纳 题型一利用正、余弦定理解三角形 【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及a sin A＝ b sin B＝ c sin C，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理a sin A＝b sin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)， 可求出角C，再由a sin A＝c sin C可求出c，而通过a sin A＝ b sin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
类型一 用正弦定理解三角形 【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53 ，则b ＝( ) A ．3 3 B ．3 C.32 D.43 【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75° D ．105° 类型二 用余弦定理解三角形 【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19 D.7 【例4】．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72 ，则BC ＝________． 类型三 综合利用正、余弦定理解三角形 【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. △求A ； △若2a ＋b ＝2c ，求sin C. 【例6】在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12 .
正余弦定理练习题(答案)
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
新课标高考数学题型全归纳正余弦定理常见解题类型典型例题
正余弦定理常见解题类型 1． 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角． 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 例1 已知在ABC △中，4526A a c ∠===，，，解此三角形． 解：由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=， 从而有31b =±． 又222(6)222cos b b C =+-?， 得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=． 因此，31b =+，60C ∠=，75B ∠= 或31b =-，120C ∠=，15B ∠=． 注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2． 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或
边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理： A B C ++=π；利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题． 例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形． 3． 求三角形中边或角的范围 例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b 的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠． 04B π∴<∠<．可得210sin 2 B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件． 4． 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===．
考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】
温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1
解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2. 正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0 高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 15 3 B ．153- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111 A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-??? ==-???==-??，得21 2 121222A A B B C C πππ? =-?? ?=-??? =-?? ，那么，2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ．3 Ｃ． 158 Ｄ． 157 解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22 1522tan 15152tan 7151tan 1() 215 A A A ? = ==--，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C ． 24 D ．23 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、 b 、 c ,A =3 π,a =3,b =1，则c = 2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，2=a ，2=c ，则=C （ ） A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答：0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到： 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ，C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 （Ⅰ）求C B sin sin ； （Ⅱ）若1cos cos 6=C B ，3=a ，求ABC ?的周长。 本题解答：（Ⅰ）ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 （Ⅱ）61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ，3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到：921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据（Ⅰ）得到：898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到：3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为：333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答：根据射影定理得到：b A c C a =+cos cos ，b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2 解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）. 平面向量题型归纳（全） 题型一：共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ）A.→ →b a ,方向相 同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在 ,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→ →b a λλλλ 变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→ → ⊥b a B. 若→ → ⊥b a ，则→ →→→=+b a b a _ C. 若 → →→→ =+b a b a _，则存在实数λ，使得 →→ =a b λ D 若存在实数λ，使得→ →=a b λ，则 → →→→ =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。 变式一：设→ → 21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ） A. += B. += C. += D. ++= 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 1、【2015新课标2】?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求 C B ∠∠sin sin ;(Ⅱ) 若A D =1，DC =22求BD 和AC 的长. 2、【2014新课标2】钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 3、【2013新课标2】△ABC 的内角的对边分别为,,,c b a 已知B c C b a sin cos += （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值。 4、【2012新课标2】已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 5、【2011新课标2】在ABC V 中，60,3B AC ==o ，则2AB BC +的最大值为 。 6、【2010新课标2】在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD= 12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC=_______ 7、(2014课标Ⅱ文)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2. (I )求C 和BD;(II )求四边形ABCD 的面积。 8、(2013课标Ⅱ文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC 的面积为( )． A ．23+2 B ．3+1 C ．232- D ．31- 9、(2012课标Ⅱ文)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A (2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c 10、(2011课标Ⅱ文)△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 。 11、(2010课标Ⅱ文)在ABC V 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则BD=_____ 12、【2015高考天津，理13】在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ? 1. 【2019全国【2】】【理】15. ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6b =，2a c =， 3B π= ，则ABC ?的面积为 . 2. 【2019浙江】14．在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?， 则BD = ，cos ABD ∠= ． 3. 【2019北京】【理】（15）（本小题13分）在ABC ?中，13,2,cos 2a b c B =-==- ． （Ⅰ）求,b c 的值； （Ⅱ）求()sin B C -的值． 4. 【2019江苏】15．（本小题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若23,3 a c b B ===，求 c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π+的值． 5. 【2019天津】【理】15．（本小题满分13分）在AB C △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已 知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π? ?+ ??? 的值． 6. 【2019新课标【1】】【理】17．（12分）ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，设 ()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ； （22b c +=，求sin C . 7. 【2019全国3卷】【理】18.（12分）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别是c b a ,,，已知 s i n =s i n 2 A C a b A +. （1）求 B ； （2）若ABC ?为锐角三角形，且1=c ，求ABC ?面积的取值范围. 高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 153 B ．153- C ．53 D ．53 - 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25 (sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-?? ? ==-?? ? ==-?? ，得21 2121222A A B B C C πππ? =-???=-???=-??，那么， 2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2 π (D) 23π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=u r r ，利用余弦定理可得 2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ．3 Ｃ． 158 Ｄ． 157 解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22 1522tan 15152tan 7151tan 1() 215 A A A ? = ==--，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C ． 24 D ．23 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 第六节正弦定理和余弦定理 [考纲传真]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理和余弦定理 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b (1)S＝1 2a·h a(h a表示边a上的高)； (2)S＝1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A； (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [常用结论] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋B 2＝ π 2－ C 2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (2)sin A＋B 2＝cos C 2；(4)cos A＋B 2＝sin C 2. 3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b， cos A＞cos B?A＜B?a＜b. 4．三角形射影定理 a＝b cos C＋c cos B b＝a cos C＋c cos A c＝a cos B＋b cos A 5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．() (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．() (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.() (4)在△ABC中， a sin A＝ a＋b－c sin A＋sin B－sin C . () [解析](1)正确．A＞B?a＞b?sin A＞sin B. (2)错误．由cos A＝b2＋c2－a2 2bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三 角形． (3)错误．由b＜a知，B＜A. (4)正确．利用a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，可知结论正确． [答案](1)√(2)×(3)×(4)√ 2018年高考试题 训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，0 90=∠ADC ， 045=∠A ，2=AB ，5=BD 。 （Ⅰ）求ADB ∠cos ； （Ⅱ）若22=DC ，求BC 。 本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。 如下图所示： 根据正弦定理得到： A A B ADB BD ADB AB A BD sin sin sin sin ?=∠??∠= 5 2522 2sin sin =? =?= ∠?BD A AB ADB 。 根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADB ADB ∠-=∠2 2 sin 1cos 25 23 2521= - =。 根据大边对大角得到：ADB ADB A ADB BC AB ∠?<∠?<∠?<0 45 为锐角5 23cos 0cos = ∠?>∠?ADB ADB 。 （Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。 在BCD Rt ?中：5=BD ，22=CD ，ADB BDC ∠-=∠0 90 )90cos(cos 0 ADB BDC ∠-=∠?。 诱导公式：0 90终边在y 轴正半轴ADB ∠-?0 90是第一象限角 cos ?在第一象限为正，0 90是0 90的奇数倍cos ?名称改为sin 名称。 5 2sin )90cos(cos 0 = ∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。 根据余弦定理得到：BDC BD DC BD DC BC ∠???-+=cos 22 2 2 5258335 2 5222258=?=-=? ??-+=BC 。 训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ?的面积为 。 本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。 边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的 边全部转化为对角正弦，保持次数不变。 C B A B C C B C B a B c C b sin sin sin 4sin sin sin sin sin sin 4sin sin =+?=+ 621sin sin 21sin sin sin 4sin sin 2π=?= ?=?=?A A A C B A C B 或6 5π = A 根据余弦定理得到：A bc bc bc a c b A ?>==-+= 04282cos 222是锐角6 π =?A ， 33 82 346cos 446cos 4cos = ==?=?= ππbc bc bc A 。 3 3 22133821sin 21=??== ?A bc S ABC 。 训练三：2018年高考数学新课标Ⅱ卷理科第6题文科第7题：在ABC ?中， 5 5 2cos =C ，1=BC ， 5=AC ，则=AB （ ） A 、24 B 、30 C 、29 D 、52 本题解析：本题目是二倍角公式和余弦定理已知两边和夹角的综合经典题型。 根据三角函数二倍角公式得到：5 3 151212cos 2)22cos(cos 2-=-?=-=? =C C C 。 根据余弦定理得到：)5 3 (512251cos 22 2 2 -???-+=???-+=C AC BC AC BC AB 高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝( ) A. 3 B. 23 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°. 由余弦定理可得b＝2 3. 2. △ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝ 2 2 ，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个答案：B 解析：∵a sin B＝10 2 ， ∴a sin B 3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3 bc，sin C＝23sin B，则A＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：A 解析：利用正弦定理，sin C＝23sin B可化为c＝23b. 又∵a2－b2＝3bc， ∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b. 在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝b2＋?23b?2－?7b?2 2b×23b ＝ 3 2 ， ∴A＝30°. 4．(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b B．a 解析：由正弦定理，得 c sin120° ＝ a sin A ， ∴sin A＝a· 3 2 2a ＝ 6 4 > 1 2 . ∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b. 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a， ∴腰长为2a，由余弦定理知cosα＝?2a?2＋?2a?2－a2 2×2a×2a ＝ 7 8 . 方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则AC＝2a，CD＝a 2 ，∴sin α 2 ＝ 1 4 ， ∴cosα＝1－2sin2α2 ＝1－2× 1 16 ＝ 7 8 .正弦余弦历年高考题及详细答案
正余弦定理高考真题.doc
2017年高考试题：正余弦定理解三角形
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2019年高考数学真题分类之正余弦定理
正余弦定理高考真题.doc教学文稿
高考数学一轮复习教案(含答案)：第3章 第6节 正弦定理和余弦定理
2018年高考试题：正余弦定理解三角形
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案定稿版