数量关系几何问题

平面向量数量积教学反思

平面向量数量积教学反思平面向量数量积教学反思一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会：（1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。（2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。（3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。 1 / 1

向量数量积的概念

第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念【课程标准】了解向量数量积的概念，了解与数量积有关的投影，夹角，模的几何意义并能进行简单运算。【核心素养】逻辑推理，数学运算。【导学流程】一、基础感知 1.两个向量的夹角给定两个非零向量,a b r r ，在平面内任选一点O ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则称[0,] π内的AOB ∠为向量a r 与向量b r 的，记作。如图8－1－2，向量a r 与b r 的夹角为4 π ，即,a b <>=r r ；向量a r 与c r 的夹角为2 π ，则,a c <>=r r ；向量a r 与d u r 的夹角为，即,a d <>=r u r ；向量a r 与e r 的夹角为，即,a e <>=r r . 练一练：已知等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，求： ,,,,,,,AB AC BC AC BC CA DA BC <><><><>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 根据向量夹角的定义可知： ,a b ≤<>≤r r . ,a b <>=r r . 当,2 a b π <>=r r 时，称向量a r 与向量b r ，记作 . 规定：零向量与任意向量垂直.

2.向量数量积的定义一般地，当a r 与b r 都是非零向量时，称||||cos ,a b a b <>r r r r 为向量a r 与b r 的 .（也称为），记作，即 .由定义可知，两个非零向量a r 与b r 的数量积是一个 . 两个非零向量的数量积即可以是，也可以是，还可以是 . 向量的数量积有如下性质：（1）（2）当a r 与b r 至少有一个是零向量时，称它们的数量积为，即 . a r 与 b r 垂直的充要条件是，即 . 练一练：（1）已知5,4,,120a b a b ===?r r r r ，求a b ?r r ；（2）已知3,2,3a b a b ==?=r r r r ，求,a b <>r r . 由（2）可看出，如果,a b r r 都是非零向量，则cos ,a b <>=r r . 3.向量的投影与向量数量积的几何意义. 如图8－1－4所示，设非零向量AB a =u u u r r ，过,A B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为,A B ''，则称向量A B ''u u u u r 为向量a r 在直线l 上的或 .给定平面上的一个非零向量b r ，设b r 所在的直线为l ，则a r 在直线l 上的投影称为a r 在向量b r 上的 .如图8－1－5中，向量a r 在b r 上的投影为 .

《平面向量的数量积》的课后反思

《平面向量的数量积》的课后反思简单回顾《平面向量的数量积》这节课，首先我通过力对物体所做的功的物理模型引入数量积这一概念的，之后剖析概念，通过小组讨论，让学生分析定义应注意的问题，特别强调数量积的结果不是一个向量，而是一个数量。通过练习，进一步熟悉巩固向量的数量积的定义，这个小题目的是提醒学生要注意，两个非零向量的夹角问题要通过平移使这两个向量共起点。接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识，而且为后面证明平面向量的数量积的分配律铺垫。数量积的运算律是数量积概念的延伸，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。为了让学生完成这个探究活动，我引导学生从平面向量的数量积的几何意义入手问题，师生共同完成证明过程。通过这节课的教学，我有以下几点体会：（1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的

愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式 (2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径（3）用教材教，而不是教教材向量的数量积这一节新课标规定在2课时内完成2.3“平面向量的数量积”3小节的教学内容，为了贯彻新课标的精神，体现新课程理念，我们做了如下的调整：把“两个向量的夹角”这个概念放到2.1.1“向量的概念”中讲，把向量在轴上的正射影这个概念放到2.2 “向量的分解与向量的坐标运算”，平面向量的数量积的定义及平面向量的数量积的运算律到第一课时，把平面向量的数量积的性质及平面向量的数量积坐标运算与度量公式放到第二课时。

《平面向量的数量积》教学设计及反思教学提纲

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排： 2课时五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

数量积的几何意义

每日一题[254] 数量积的几何意义 2015年9月30日 meiyun 数海拾贝向量的数量积运算有明确的几何意义，合理利用几何意义可以有效减少计算．特别是在探索对于与动点相关的数量积的最值问题中的最值点位置时，往往可以起到一矢中的的效果． 2014年高考数学浙江卷（文科）第9题：设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则下列说法正确的有______．① 若确定，则唯一确定； ② 若确定，则唯一确定；③ 若确定，则唯一确定； ④ 若确定，则唯一确定．正确答案是 ②．解取，，则在直线上运动，有，如图已知条件 θa →b → t +t ∣∣ ∣b →a →∣∣∣1θ∣∣a →∣∣θ∣∣∣b →∣∣ ∣∣∣a →∣∣θ∣∣∣b →∣∣ ∣θ=OB ?→??b →=BA ?→??a →ta →BA +t =b →a →OA ?→ ??∣→ ∣

等价于点到直线的距离为，即由此知只有 ② 正确． ④ 是比较容易错选的结果，事实上可能有两个互补的角同时满足条件．下面给出一道练习（2013年浙江高考理７，有不影响本质的修改）：设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则的形状为 ______．答案等腰三角形提示本题的条件可以翻译为:点在边上运动，当时，有最小值．过点作于点，则容易知道当点为的中点时，有最小值．于是知时，恰为的中点，所以．更多例题参见每日一题[227] 向量的几何意义． ?t ∈R ，=1+t ∣∣ ∣b →a →∣∣∣min O BA 1?sin θ=1.∣∣a →∣∣ △ABC P 0AB B =AB P 014AB P ???PB ?→??PC ?→??B P 0?→???C P 0?→???△ABC P AB P =P 0?PB ?→??PC ?→??C CH ⊥AB H ?=?,PB ?→??PC ?→??PB ?→??PH ?→ ??P BH ?PB ?→??PH ?→ ??B =AB P 014 P 0BH AC =BC

平面向量的数量积及其几何意义

课型: 新授课主备人:邱璐璐审核人:许志强审批:臧书华一、学习目标： 1.预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。 2.了解向量的模、夹角等公式。二、自学探究： 1.平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量 ,则a ·= 这就是说, 2.平面向量的夹角,模 (1)设a =(x,y),22y x +=,︱a ︱= (2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), a = = ; ︱a ︱= (3) 设a ,都是非零向量, a =(x 1,y 1), =(x 2,y 2), θ是两向量的夹角, 则cos θ = = 若a ⊥b 则cos θ = 设),(11y x a =，),(22y x =，则⊥ ? 三、预习自测: 1.已知a =(-3,4), b =(5,2),求︱a ︱,︱b ︱, a ·b

课型: 新授课主备人: 邱璐璐审核人:许志强审批:臧书华例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状, 并给出证明. 变式:求与向量a b =(1, )的夹角相等 c 的坐标例2.设a =(5,-7), b =(-6,-4),求a · 及a ,b 的夹角θ(精确到1°) 变式:已知三角形三顶点坐标为A(1,0),B(0,1),C(2,5) 求(1)2 AB →+ AC → 的模 (2) co s ∠BAC (3)试判断△ABC 的形状

课堂评价练习 1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), △ABC的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 2.已知a=(x,2), =(-3,5),且它们的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( ) a=3,4垂直的单位向量是__________ 3.() 4.已知a=(1,2)b=(1,2),则︱a+b︱= 5. a=(4,-3), ︱b︱=1,a·b=5,则的坐标为 6.

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标： 1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。 3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程：一、情景导入、引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

8.1.1 第二课时向量的投影与向量数量积的几何意义2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型

第二课时向量的投影与向量数量积的几何意义课标要求素养要求 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义. 2. 理解投影的概念通过学习平面向量数量积的几何意义及投影，重点培养学生的数学抽象和数学运算素养. 教材知识探究水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．问题 1.功与向量的数量积有什么联系？ 2．数量积的几何意义是什么？提示 1.物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． 2．两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|·cos θ的乘积． 1．投影的概念

(1)如图所示，设非零向量AB → ＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→ 为向量a 在直线l 上的投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的投影．如图中，向量a 在向量b 上的投影为A ′B ′→.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反． (2)如图(1)(2)(3)所示． ①当〈a ，b 〉＜π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向相同，而且 |A ′B ′→|＝|a |cos 〈a ，b 〉； ②当〈a ，b 〉＝π2时，A ′B ′→为零向量，即|A ′B ′→|＝0； ③当〈a ，b 〉＞π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向相反，而且 |A ′B ′→|＝－|a |cos 〈a ，b 〉． 2．数量积的几何意义一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a |cos 〈a ，b 〉|b |，所以两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．特别地，当e 为单位向量时，因为|e |＝1，所以 a ·e ＝|a |cos 〈a ·e 〉，

用向量数量积的几何意义解题汇总

邹生书大家知道向量数量积口?6的几何意义是:数量积n?6等于口的长度l口l与6在n 的方向上的投影I 6COS目的积(其中0为向量口与向量6的夹角.本文笔者将对向量数量积0页?O百的几何意义作进一步的挖掘, 并将所得结论运用于解决有关问题. ★一、向量数量积蕊?商的几何意义已知向量蔬,商,设点B在直线OA上的射影为点C,则砣叫做商在蕊方向上的投影向量.因为蕊?碡=OA?OB cosLAOB=OA?oCcos么AOC=砣?商, 即蕊.碚一蕊?砣.于是得如下结论:两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量上的投影向量与另一个向量的数量积. (1NZAOB为锐角时,向量茄与蕊同向,则有蕊?碚一蕊?茄=OA?OC; (2N么AOB为钝角时,向量茄与萌反向,则有薇?碡一蕊?o-8一一OA ?oC. 。螽二、N_IB向量数量积的几何意义解题 1.“求”、“证”向量的数量积为定值■例1如图1,已知oM为Rt/kABC的外接圆,A(一2,0,B(o,一2在,点C在z ●■—_—、 —■k?Ne训U托zt,ersity E珏tra扎ce Examination 轴上,点P为线段OA的中点,若DE是OM 中绕圆心M运动的一条直径,则商i商一 -V Q蓊‘—、\切 J. A队尸\黝∞ 心曰图1

解延长EP交OM于点Q,连结 DQ,因DE为直径,所以DQ上QE.于是有商? 商一葡?商=-pQ?PE. 在RtAABC中,OB上OC,由射影定理得OB2一OA?0C,即(2√2‘=20C,所以 OC=4.又由相交弦定理得PQ?PE=PA? PC=1×5—5,所以商.硅一一5. ◆例2设点0是e_/kABC的外峨AB一 13,AC=12,则蔚.劢=. 解如图2,过点O分别作AB,AC的垂线,垂足分别为M,N,由垂径定理得AM —i1,AB一萼,AN—AC=6. A 图2 万方数据 6,则蔚?A---杏=专(b2__C2. 2.求向量数量积的取值范围或最值一例3若过点P(1,1的直线z与(DO: zz+j,z 一4相交于A,B两点,则商?商的取值范围是解如图3,过点B作BD上OA交直径AC于点D,则蕊?碡一商?茄一一0A ?0D=一20D.当AB为直径时, 么AOB一180。最大,0D一2也最长.当ABj_ 0P 时,△AOB为等腰直角三角形,么AOB 一90。最小,0D一0也最短.综上可知0D∈ [o,2],所以一20Dff[一4,o],故蕊? 碡取值范围是[一4,o]. % (贫一 <叫j ./ 图3 ◆例4如图4,已知I蕊|一1,I o-直1一万,石育与石育的夹角为150。,点C是AAOB 的外接圆上优弧届上的一个动点,求商. 苟的最大值. 图4 -‰一2√7,所以外接圆半径R一√7.

数量积几何意义的应用

数量积几何意义的应用一【问题背景】向量是沟通代数与几何的一座天然的桥梁，向量能进行数量积运算是向量应用广泛的一个重要原因．与的数量积?的几何意义是：?等于在的方向 θ的积，其中θ为，的夹角．由于数量积满足分配律，因此，对向量进行数量积运算就是不断地运用“有向线段的和在直线上的投影等于各有向线段的投影的和”这一结论．二、【与平面几何定理的关联】射影定理：在ABC Rt ?中，AB CD BC AC ⊥⊥,于D ，则AB AD AC ?=2 ， BA BD BC ?=2．证明：由数量积的几何意义知AB AD AB AC ?=?，又22 )(AC ==+?=?，所以AB AD AC ?=2 ，同理BA BD BC ?=2 ．圆幂定理：过点P 的直线与圆O 相交于B A ,两点，则2 2 R PO PB PA -=?，其中R 为圆O 的半径．证明：当在圆O 上时，结论显然，否则，连结BO 并延长交圆O 于点C ，连结PC AC ,，则 )()()()(-?+=+?+=? 2222R PO OC PO -=-=．另一方面，根据数量积的几何意义，当P 在圆O 内时（如图2），PB PA ?-=?，当P 在圆O 外时（如图3），PB PA ?=?，故2 2 R PO PB PA -=?．三、【范例】例1 在正ABC ?中，D 是边BC 上的点，且1,3==BD AB ，则?的值为 . 图1 P

B C C 1 23 1 1 解：如图，过D 作AB D D ⊥'于D '，则2 160cos = =' BD D B ， ∴2 5213=- ='D A ，由数量积的几何意义得D A AB '?=?2 15= ．变式在ABC ?中， 90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上，且DB CD 2=，则AD AB ?的值为 . 例2 在ABC ?中，AB AD ⊥,= 1=,则=? . 这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考，不仅思路自然，而且过程简单．解1：设点C 直线AD 上的射影为1C ，则131-==BD DC AD DC ，于是131-= DC ，则31=AC ，由数量积的几何意义得=?31= ?AD AC ．当然，考虑在AC 上的投影同样可解．另外，若注意AB AD ⊥，先利用 BC AB AC +=将AD AC ?转化为AD BC ?可得如下简解：解2：33)(===?=?+=?AD ．解法2充分利用了已知的垂直条件和数量积的几何意义，未添加一条辅助线，当为此题最佳解法．例3 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边33C B 上有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记i i AP AB m ?=2，( =i 1，2 ，…，100)，求10021m m m ++的值． B C D

平面向量的数量积知识点及归纳总结

平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积 (1) 已知两个非零向量a r 和b r ，作OA →＝a r ，OB →＝b r ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a r 与b r 的夹角．记作,a b r r ，并规定,a b r r []0,π∈.如果a r 与b r 的夹角是2 π ，就称a r 与b r 垂直，记为a b ⊥r r . (2) |a r || b r |cos ,a b r r 叫作a r 与b r 的数量积(或内积)，记作a b ?r r ,即a b ?r r ＝| a r || b r |cos ,a b r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是a b ?r r =0. 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是a b ?r r ＝±| a r || b r |. 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度| a r |与b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θ的乘积．即a b ?r r ＝| a r || b r |cos θ.( b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θa b a ?=r r r ;a r 在b r 方向上的射影| a r |cos θa b b ?=r r r ). 三．平面向量数量积的重要性质性质1 ||cos e a a e a θ?=?=. 性质2 .a b a b 0⊥??= 性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ?=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ?=. 22||a a a a ?==或||a 性质4 cos ().|||| a b a 0b 0a b 且θ?= ≠≠ 性质5 ||||||.a b a b ?≤ 注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b=b a ??（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ??=?为实数）；（3）(+)=a b c a c b c ??+?（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ??≠?，不可约分 =a b a c b c ???=. 五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

向量数量积的几何意义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容： 1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3．“投影”的概念：作图 4.向量的数量积的几何意义： 5．两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量. 1?e?=e = 2?⊥??= 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量. e?=?e = 3?当与同向时，?=当与反向时，?= 特别的 ?= ||2或 4?cosθ = 5? |?| ≤||||

三、提出疑惑：课内探究学案一、学习目标 1说出平面向量的数量积及其几何意义； 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是量， ②F（力）是量， ③S（位移）是量， ④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos （2）定义说明： ①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。 ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：的范围=90°< ·的符号例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·. 解：

2.4《平面向量的数量积》教案(第一课时)

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种理解规律和体会概念法则的学习过程. 二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存有一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断. 三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学水平的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例理解理解平面向量数量积的含义及物理意义。过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。