8.1.1 第二课时 向量的投影与向量数量积的几何意义2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
第二课时向量的投影与向量数量积的几何意义
课标要求素养要求
1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义.
2.
理解投影的概念
通过学习平面向量数量积的几何意义及
投影，重点培养学生的数学抽象和数学
运算素养.
教材知识探究
水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．
问题 1.功与向量的数量积有什么联系？
2．数量积的几何意义是什么？
提示 1.物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
2．两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|·cos θ的乘积．
1．投影的概念
(1)如图所示，设非零向量AB →
＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→
为向量a 在直线l 上的投影向量或投影．
类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的投影．如图中，向量a 在向量b 上的投影为A ′B ′→.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反． (2)如图(1)(2)(3)所示．
①当〈a ，b 〉＜π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向相同，而且 |A ′B ′→|＝|a |cos 〈a ，b 〉；
②当〈a ，b 〉＝π2时，A ′B ′→为零向量，即|A ′B ′→|＝0； ③当〈a ，b 〉＞π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向相反，而且 |A ′B ′→|＝－|a |cos 〈a ，b 〉．
2．数量积的几何意义
一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．
因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a |cos 〈a ，b 〉|b |，
所以两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义． 特别地，当e 为单位向量时，因为|e |＝1，所以 a ·e ＝|a |cos 〈a ·e 〉，
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量．,
教材拓展补遗
[微判断]
1．向量a在向量b上投影数量一定是正数．(×)
提示当两向量的夹角为钝角时，a在b上投影数量为负数．
2．向量b在a方向上投影数量与向量a在b方向上投影数量不一定相同．(√) 3．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|·cos θ的乘积．(√) [微训练]
1．已知|a|＝5，b在a上的投影数量为6，则b·a＝__________．
解析b·a＝|a|·|b|·cos θ＝5×6＝30.
答案30
2．若|a|＝3，|b|＝5且〈a，b〉＝45°，则a在b上的投影的数量为__________．解析由投影数量的概念知：
|a|·cos〈a，b〉＝3×cos 45°＝32 2.
答案32 2
3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量是2
3，则a·b＝__________．
解析a·b＝|b|·|a|·cos θ＝3×2
3
＝2.
答案 2
[微思考]
b在a方向上的投影数量一定是正数吗？
提示b在a方向上的投影|b|·cos θ是个实数，可以是正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的大小.
题型一向量数量积的几何意义
a在b方向上的投影数量为|a|cos θ，b在a方向上的投影数量为|b|cos θ，解题时要注意区别
例1已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影的数量．
解(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；
(2)a在b上的投影数量为|a|·cos θ＝a·b
|b|
＝
－10
4
＝－5
2.
迁移1在例题条件不变的情况下，求b在a上的投影数量．
解b在a上的投影数量为|b|cos θ＝a·b
|a|
＝
－10
5
＝－2.
迁移2把例题中“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.
解∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
规律方法任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数量等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影数量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向量上的投影数量与该单位向量的模无关．
【训练1】已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影数量是________．
解析向量a，b的夹角θ＝60°，
故b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×1
2
＝1.
答案 1
题型二与向量的模有关的问题熟记公式
例2已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围．
解法一∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
∴1≤|a－b|≤7，
即|a－b|的取值范围是[1，7]．
法二∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ，
θ为两向量a、b的夹角，
∴θ∈[0，π]，
∴|a－b|2∈[1，49]，
∴|a－b|∈[1，7]．
规律方法运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件；方法二中将模平方，这是处理向量模的问题的基本方法，也是常用的方法，并且平方后往往涉及数量积的运算．
【训练2】已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
解∵|a＋b|＝4，
∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16.①
∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入①式得
4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3.
又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝10.
题型三投影问题证明投影概念是关键
例3已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影的数量为__________．
解析(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝13.设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝
10
4×13
＝5
213
，则a在a＋b方向上的投影数量为|a|cos θ＝4×5
213
＝
1013 13.
答案1013 13
规律方法求投影数量有两种方法
(1)b在a方向上的投影数量为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影数量为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的投影数量为a·b
|a|
，a在b方向上的投影数量为a·b
|b|.
【训练3】已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影数量为()
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析向量b与a方向上的投影数量为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案 D
一、素养落地
1．通过本节课的学习，重点培养学生的数学抽象，数学运算素养．
2．求数量积的两种方法
①定义法：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉
②几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影数量，可利用数量积的几何意义求a·b.
3．b在a方向上的投影数量：|b|cos θ＝a·b
|a|是一个数量而不是向量．具体情况可
以借助下表分析：
θ的范围θ＝0°
0°<θ
<90°
θ＝90°
90°<θ
<180°
θ＝
180°
图形
b在a方
向上的
投影数量
的正负
正正0负负
二、素养训练
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影数量是() A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析根据投影数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投
影数量是|a|cos θ＝a·b
|b|
＝－4，故选A.
答案 A
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为3
2，则a·b的值为()
A．3 B.9
2C．2 D.
1
2
解析设a与b的夹角为θ，
∵|a|cos θ＝3 2，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×3
2
＝9
2.
答案 B
3．已知|a|＝6，|b|＝8，且〈a，b〉＝60°，则b在a方向上的投影数量为__________．解析由投影数量的定义知
|b|·cos〈a，b〉＝8×cos 60°＝4.
答案 4
4．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，则AB →在AC →
上的投影数量为__________． 解析 由题意|AB →|·cos 〈AB →，AC →〉＝4×cos 60°＝4×12＝2. 答案 2
基础达标
一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则()
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的投影数量与b在c方向上的投影数量必相等
解析设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos θ1＝|b|·|c|cos θ2，
即|a|cos θ1＝|b|cos θ2，故选D.
答案 D
2．已知|a|＝6，|b|＝6，a·b＝－24，则向量a在向量b方向上的投影数量是() A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析根据投影数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投
影数量是|a|cos θ＝a·b
|b|
＝－4，故选A.
答案 A
3．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影数量等于()
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
解析a在b方向上的投影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
答案 D
4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则b在a方向上的投影数量为()
A．3 B．－3 C．－33
2 D.
33
2
解析设a与b夹角为θ，因为a⊥(a＋b)，
∴a·(a＋b)＝0即a2＋a·b＝0，
∴|a|2＋|a||b|·cos θ＝0，
∴|b|cos θ＝－|a|＝－3.
答案 B
5．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影数量为－2，则a与e的数量积为()
A．8 B．－2 C．4 D．－4
解析由数量积的几何意义知
a·e＝|e|·|a|·cos θ＝1×(－2)＝－2.
答案 B
二、填空题
6．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影数量为__________．解析a在b方向上的投影数量为|a|·cos〈a，b〉＝4×cos 30°＝2 3.
答案2 3
7．已知a·b＝16，若a在b方向上的投影数量为4，则|b|＝__________．
解析设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝16，
∴|a|·|b|·cos θ＝16，
又∵a在b方向上投影数量为4，
∴|a|·cos θ＝4，
∴|b|＝4.
答案 4
8．设e1，e2为单位向量．且〈e1，e2〉＝π
3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a
在b方向上的投影数量为________．
解析 向量a 在b 方向上的投影数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|b |.|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以向量a 在b 方向上的投影的数量为a ·b |b |＝52. 答案 52 三、解答题
9．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影数量为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；
(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解 (1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1.
又a 在b 方向上的投影数量为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12， ∴θ＝2π3.
(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝|a ||b |cos θ－2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直， ∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.
10．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求：
(1)AB →·BC
→； (2)AC
→在AB →方向上的投影数量； (3)AB
→在BC →方向上的投影数量． 解 ∵|AB
→|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3.
∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.
(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →
＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·
AB →|AB →
|＝3×5×3
55＝
95； (3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝
BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|
＝－5×4×4
54
＝－4.
能力提升
11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影数量为( ) A ．1
B.77
C ．－1
D.277
解析 设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角， 则向量a －2b 在向量a 方向上的投影数量为 |a －2b |cos θ. 又cos θ＝
（a －2b ）·a |a －2b |·|a |
＝
a 2－2a ·b
|a －2b |·|a |＝1
|a －2b |，
故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1
|a －2b |＝1.
答案 A
12．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，求使a ＋k b 与k a ＋b 的夹角为锐角的实数k 的取值范围．
解 (a ＋k b )·(k a ＋b )＝k a 2＋(k 2＋1)a ·b ＋k b 2 ＝k ＋(k 2＋1)×2×cos 120°＋4k ＝－k 2＋5k －1.
令－k 2
＋5k －1＞0，解得5－212＜k ＜5＋21
2.
当a ＋k b 与k a ＋b 同向时，设a ＋k b ＝λ(k a ＋b )(λ＞0)． 由已知a ，b 不共线，可得λk ＝1，k ＝λ， 解得k ＝λ＝1.
因此，实数k 的取值范围是 ????
??k |5－212＜k ＜5＋212且k ≠1.
创新猜想
13．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．a ⊥b ?a ·b ＝0
B ．向量b 在a 方向上投影数量为|b |·cos 〈a ·b 〉
C ．数量积a ·b 的几何意义等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影数量|b |·cos θ的乘积
D ．在△ABC 中，AB →·CB →＜0，则△ABC 的形状是钝角三角形 解析 由数量积的几何意义知A 、B 、C 、D 都正确． 答案 ABCD
14．(多空题)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |的最小值是________，最大值是________．
解析 ∵||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |， ∴|a ＋b |min ＝1，|a ＋b |max ＝3. 答案 1 3
投影在向量问题中的妙用
投影在向量问题中的妙用 在人教版高中数学课本必修4《第二章 平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：OA ·OB =cos OA OB AOB 贩 ，我们把cos OA AOB 沸叫做OA 在OB 方向上的投影。它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。即过Ａ点作AN ^OB 于N 。当AOB D为锐角时，投影即ON 长度；当AOB D为钝角时，投影即ON 长度的相反数。于是，OA ·OB =OA 在OB 方向上的投影′OB . 例1、在ABC ?中，C=900 ，CB=3,点M 满足BM =2MA ，则CM ?CB = 解析：CM ? CB =CM ·CB · cosMCB.注意到ＣＭ、DMCB 都是可变的，要分别求出 来是很困难的。那么，只能把CM ·cosMCB 作为一个整体来处理。而CM ·cosMCB 不就是CM 在CB 方向上的投影吗。过M 点作MN ^BC 于N,CM 在CB 方向上的投影即CN.则 CM ?CB =CN ?CB=1′3=3. A N 例1 例2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，DBAD=600 ，E 为BC 边的中点，F 为 平行四边形内（包括边界）一动点，则AE AF ·的最大值为 。 解析：AF 、FAE ∠均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。而如果利用投影概念解 Ｃ O A
决可能会有意想不到的收获。AE AF ·=cos AE AF EAF ??∠=AF 在AE 方向上的投影 ?AE ≤AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AG AE ?，而AG 求起来又有一定困难，而如果 对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。AG AE ?＝AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AC AE ?＝（A B B C +）12AB BC ? ? ?+ ?? ? ＝223122AB BC BC AB +?+＝９＋ 92＋２＝31 2 ． 河北省雄县中学高级教师 周新华
平面向量数量积
第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
平面向量数量积教学反思
平面向量数量积教学反思 平面向量数量积教学反思 一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。 二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。 （2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。 （3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。 以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。 1 / 1
向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段 AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在 b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=
（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为() cos a b a b θ?=?或 () cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：
向量数量积的概念
第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 【课程标准】 了解向量数量积的概念，了解与数量积有关的投影，夹角，模的几何意义并能进行简单运算。 【核心素养】 逻辑推理，数学运算。 【导学流程】 一、基础感知 1.两个向量的夹角 给定两个非零向量,a b r r ，在平面内任选一点O ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则称[0,] π内的AOB ∠为向量a r 与向量b r 的 ，记作 。如图8－1－2，向量a r 与b r 的夹角为4 π ，即,a b <>=r r ；向量a r 与c r 的夹角为2 π ，则,a c <>=r r ；向量a r 与d u r 的夹角为 ，即,a d <>=r u r ；向量a r 与e r 的 夹角为 ，即,a e <>=r r . 练一练：已知等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，求： ,,,,,,,AB AC BC AC BC CA DA BC <><><><>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 根据向量夹角的定义可知： ,a b ≤<>≤r r . ,a b <>=r r . 当,2 a b π <>=r r 时，称向量a r 与向量b r ，记作 . 规定：零向量与任意向量垂直.
2.向量数量积的定义 一般地，当a r 与b r 都是非零向量时，称||||cos ,a b a b <>r r r r 为向量a r 与b r 的 .（也称为 ），记作 ，即 .由定义可 知，两个非零向量a r 与b r 的数量积是一个 . 两个非零向量的数量积即可以是 ，也可以是 ，还可以是 . 向量的数量积有如下性质： （1） （2） 当a r 与b r 至少有一个是零向量时，称它们的数量积为 ，即 . a r 与 b r 垂直的充要条件是 ，即 . 练一练：（1）已知5,4,,120a b a b ===?r r r r ，求a b ?r r ； （2）已知3,2,3a b a b ==?=r r r r ，求,a b <>r r . 由（2）可看出，如果,a b r r 都是非零向量，则cos ,a b <>=r r . 3.向量的投影与向量数量积的几何意义. 如图8－1－4所示，设非零向量AB a =u u u r r ，过,A B 分别作直线l 的垂线，垂 足分别为,A B ''，则称向量A B ''u u u u r 为向量a r 在直线l 上的 或 .给 定平面上的一个非零向量b r ，设b r 所在的直线为l ，则a r 在直线l 上的投影称为a r 在向量b r 上的 .如图8－1－5中，向量a r 在b r 上的投影为 .
23 五 向量的模、方向角、投影 第二节 数量积 向量积 混合积
五 向量的模、方向角、投影 1 向量的模与两点间的距离公式 设{}, , x y z =a , 则 设()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 为两点, 则 即12M M 的坐标等于终点()2222, , M x y z 的坐标减去起点()1111, , M x y z 的坐 标. 点()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 之间的距离 特别地, 点(), , M x y z 和原点()0, 0, 0O 的距离 例4 求证:以点()14, 3, 1M 、()27, 1, 2M 和()35, 2, 3M 为顶点的三角形是等腰三角形. 证 因为 12M M == 23M M == 31M M = =故得证. 例5 在z 轴上, 求与点()4, 1, 7A -和()3, 5, 2B -等距离的点. 解 所求的点可设为()0, 0, M z , 于是MA MB =, 即 ,
从而149z = . 于是, 点M 为140, 0, 9M ? ? ??? . 例6 设已知两点()4, 0, 5A 和()7, 1, 3B . 求与AB 方向相同的单位向量 e . 解 {}{}74, 1 0, 353, 1, 2AB =---=-. 于是 23AB ==从而 14 AB AB = =??e . 作业 P.301 4, 5, 13, 14 提示 5 有两解. 13 设该点为()0, , P y z . 2 方向角与方向余弦 非零向量a 的方向角: a 与x 轴正向的夹角α、a 与y 轴正向的夹角β, a 与 z 轴正向的夹角γ. a 的方向角α、β和γ可表示a 的方向, 且0απ≤≤, 0βπ≤≤, 0γπ≤≤. cos α、cos β和cos γ称为a 的方向余弦. 设{}, , x y z =≠0a , 则 方向余弦满足: 2 22cos cos cos 1αβγ++=. 与非零向量a 同方向的单位向量 {}cos , cos , cos αβγ=a e .
两个向量的数量积说课稿
《两个向量的数量积》说课稿 各位评委：您们好！ 我叫李健，来自川师成都学院。今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。 一、教材分析 本节课是人教B版选修2-1第三章第节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。 二、教学目标 介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。 ！ 过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想 情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神 三、教学重难点分析 根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用 教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题
高中数学：4 24 利用投影法巧解数量积 教案
利用投影法巧解数量积 片断教案 （ 人教版 第二章 第四节） 广东实验中学 该片断的教学目的、内容分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。 数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。同时它也是高考的热点内容。考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。 对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=?（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=?去转化。解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。 事实上，数量积具有几何意义，b a ?a b 在θ的乘积。利 用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。 可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。希望学生能理解它的原理并会运用。特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。 该片断教学的重点和难点： 重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。 难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。
向量的加减法运算及其几何意义
课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
高中数学-两个向量的数量积测试题
高中数学-两个向量的数量积测试题 自我小测 1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( ) A ．垂直 B ．共线 C ．不垂直 D ．以上都有可能 2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．61 3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝ π3 ，则cos 〈OA →，BC →〉＝( ) A.12 B.22 C ．－12 D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0， 则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 5．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( ) A.??????0，π6 B.??????π3，π C.??????π3，23π D.???? ??π6，π 6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________． 7．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a⊥b ，则实数k 的值为__________． 8．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ?平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则点C 与D 之间的距离为__________． 9．已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD → 的值．
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB u u u r 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=u u u r ，且当AB u u u r 与轴同向时，0λ>，当AB u u u r 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB u u u r 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线 l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往 往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b r r ，若a r 的起点,A B 在b r 所在轴l （与b r 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量''A B u u u u r 在轴l 上的值称为a r 在b r 上的投影，向量'' A B u u u u r 称为a r 在b r 上的投影 向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号， 记θ为向量,a b r r 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a r 在b r 上的投影还是b r 在a r 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a r 在b r 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=r ，因为0λ>，所以cos b λθ=r （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-r r ，因为0λ<，所以cos b λθ-=-r 即cos b λθ=r （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=r
求解平面向量数量积的三种方法
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/8810434988.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。
《平面向量的数量积》的课后反思
《平面向量的数量积》的课后反思 简单回顾《平面向量的数量积》这节课，首先我通过力对物体所做的功的物理模型引入数量积这一概念的，之后剖析概念，通过小组讨论，让学生分析定义应注意的问题，特别强调数量积的结果不是一个向量，而是一个数量。通过练习，进一步熟悉巩固向量的数量积的定义，这个小题目的是提醒学生要注意，两个非零向量的夹角问题要通过平移使这两个向量共起点。接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识，而且为后面证明平面向量的数量积的分配律铺垫。数量积的运算律是数量积概念的延伸，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。为了让学生完成这个探究活动，我引导学生从平面向量的数量积的几何意义入手问题，师生共同完成证明过程。 通过这节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程 高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的
愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式 (2）鼓励学生自主探索、自主学习 教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径 （3）用教材教，而不是教教材 向量的数量积这一节新课标规定在2课时内完成2.3“平面向量的数量积”3小节的教学内容，为了贯彻新课标的精神，体现新课程理念，我们做了如下的调整：把“两个向量的夹角”这个概念放到2.1.1“向量的概念”中讲，把向量在轴上的正射影这个概念放到2.2 “向量的分解与向量的坐标运算”，平面向量的数量积的定义及平面向量的数量积的运算律到第一课时，把平面向量的数量积的性质及平面向量的数量积坐标运算与度量公式放到第二课时。
《向量加法运算及其几何意义》教学设计
《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标
备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题27向量的数量积——数量积的投影定义
专题27 向量的数量积——数量积的投影定义 【热点聚焦与扩展】 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时， 0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值. （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直. A （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量'' A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量'' A B 称为a 在b 上的投影向量. 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ= （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=
向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)
2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，
空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
《平面向量的数量积》教学设计及反思教学提纲
《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用
【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）
向量的减法及其几何意义
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则： 。 2、向量加法的运算定律： 。 四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义： 。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （ ）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （） 如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作 。 2.向量的减法的三角形法则： 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：
例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。 例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -
练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ； 例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？ 变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？ 变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？
两个向量的数量积的性质.
课 题：向量的数量积（1） 教学目的：掌握向量的数量积及其几何意义；掌握向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、问题情境： 1.问题：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ 2.实例:一个物体在力的作用下发生了位移,那么该力对此物体所做的功为多少? 力做的功：θcos ||.||s F w =，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课： （一）概念形成与知识建构： 1．两个非零向量夹角: ，叫做向量a 与b 的夹角. 注：当0=θ时，与同向；当πθ=时，与反向；当2π θ=时，与垂直，记⊥. 2．平面向量数量积（或内积）的定义： ，记作?，即?a b θcos ||.||b a =，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0. 注:当与同向时，?= ；当与反向时，? ； 特别地, ?a a 2||a = 或=||a (二)?探究： 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别: （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定 （2）两个向量的数量积称为内积，书写时符号“· ”不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若0≠a ，且0=?b a ，则0=b ；但是在数量积中，若0≠a ，且?0=，不能推出0 =. (三)知识应用: 例1. 判断正误，并简要说明理由 ①00=?；②00=?；③-0＝；④?||.||b =；⑤若0≠a ，则对任一
平面向量投影的运用
巧 用 投 影 出 奇 制 胜 ————向量数量积几何意义的运用 江西省崇义中学 胡述洪 (341300) 向量数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模与b 在a 方向上投影|b |θcos 的乘积。向量“投影”的概念：|b |θcos 叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量：⑴当θ为锐角时投影为正值；⑵当θ为钝角时投影为负值；⑶当θ为直角时投影为0；⑷当θ = 0?时投影为 |b |；⑸当θ= 180?时投影为 -|b |。 向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们通过例题来体会向量“投影”的神奇。 例一．ABC ? 中，4==BC AB ，030=∠ABC ，AD 是边BC 上的高，求?。 【分析】本题若用普通方法求出、 的模及夹角，再求数量积，运算量较大， 也容易出错。如果向量数量积的几何意义， 巧用向量“投影”就能快速求解。 解：易求=2， 由向量数量积的几何意义知： AD ?AC 等于AC 在AD 上的投影与的乘积。 BC AD ⊥ ∴ AC 在上的投影就是AD ∴ ?AC =2= 4 【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择AD 在AC 上的投影进行计算则显然复杂。 D B C A
例二．等腰三角形ABC 中，2π=A ，2==AC AB ，M 是BC 的中点，P 点在ABC ?的内部或边界上运动，求BP ?AM 的范围。 【分析】本题的常规方法是建立平面直角坐标系， 设P ()y x ,，建立线性约束条件及线性目标函数，利用 线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。 下面用向量“投影”巧妙求解。 解： AM 是确定的， =AM 2 ∴ 只需求出BP 在AM 上的投影的范围。 由向量“投影”的意义知： 当P 点与M 点重合时， BP ⊥AM ， （BP ?AM ）max = 0 当P 点与A 点重合时，BP 在AM 上的投影就是MA ， 注意到此时BP 与AM 的夹角为钝角,（BP ?AM ）min = 222-=?- 综上， BP ?AM ∈ []0,2- 【小结】运用投影解题，要注意： 1、 数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。 2、 投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。 例三．平行四边形AB CD 中,AP ⊥BD ,垂足为P 且AP =3, 则AP ?AC =__ (2012年湖南卷（文科）15) 【分析】本题若试图通过用数量积的定义直 接求解是徒劳的，因为AC 的模及〈AP ，〉 都求不出。注意到AP ⊥BD ，所以可以考虑将AC 分解成AD AB +，再转化成AB 、AD 在AP 上的投影进行计算。 M C B A P D C B A P